董正武

【摘要】在“冪函數(shù)”的教學中，當學生自主探究完y=x-1，y=x0，y=x，y=x2等冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，有一個明顯的感受是：冪函數(shù)的圖像與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像相比情形較為復雜.本文借助幾何畫板，動態(tài)地探究冪函數(shù)（其中α≠0，1）在第一象限的圖像與性質(zhì)，以饗讀者.

【關(guān)鍵詞】冪函數(shù)；幾何畫板；動態(tài)；圖像與性質(zhì)

一、利用幾何畫板畫冪函數(shù)的圖像

（1）在x軸的負半軸構(gòu)造一點A，過A作x軸的垂線j.

（2）在j上構(gòu)造一點B，選中點A，B，構(gòu)造線段AB，隱藏垂線j.

（3）度量點B的縱坐標，將標簽設(shè)置為α.

（4）單擊【繪圖】中的【繪制新函數(shù)】，鍵入y=xα.

二、冪函數(shù)之花即將綻放

（5）上下拖動點B，改變α的值，觀察y=xα的圖像變化情況如下.

α<0

0<α<1

α>1

（6）接畫法步驟的第（5）步，選中點B，單擊【編輯】中的【操作類按鈕】，選擇動畫.

（7）選中點B及圖像，單擊【構(gòu)造】中的【軌跡】，觀察冪函數(shù)圖像的動態(tài)變化.

α<0

0<α<1

α>1

三、冪函數(shù)的性質(zhì)

（一）相同點：過定點（1，1）.

（二）不同點：

（1）單調(diào)性：當α<0時，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，當α>0時，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）函數(shù)值變化：當α<0時，若x∈（0，1），則y∈（1，+∞）；若x∈（1，+∞），則y∈（0，1）.當α>0時，若x∈（0，1），則y∈（0，1）；若x∈（1，+∞），則y∈（1，+∞）.

（3）圖像形態(tài)特征：當0<α<1時，若x∈（0，1），則圖像在y=x上方（稱為上凸）；若x∈（1，+∞），則圖像在y=x下方.圖像先陡峭、后平緩，增長速率是先快后慢.當α>1時，若x∈（0，1），則圖像在y=x下方（稱為下凸）；若x∈（1，+∞），則圖像在y=x上方.圖像先平緩、后陡峭，增長速率是先慢后快.

（三）圖像隨α變化情況：當α<0時，隨著α逐漸增大，在（0，1）上的圖像越來越靠近y軸，在（1，+∞）上的圖像越來越遠離x軸；如果α→0，那么圖像趨近于y=1.

當0<α<1時，隨著α逐漸增大，在（0，1）上的圖像突出y=x的部分越來越少；如果α→1，那么圖像趨近于y=x.

當α>1時，隨著α逐漸增大，在（0，1）上的圖像突出y=x的部分越來越多.

四、授課感受

波利亞說道：“觀察可能導致發(fā)現(xiàn)，觀察將揭示某種規(guī)則模式和定律.”當我們觀察冪函數(shù)圖像的變化時，我們就會體驗到無窮的動態(tài)之美，體會“數(shù)與形”的高度統(tǒng)一，讓我們用“運動”的觀點研究數(shù)學吧！

【參考文獻】

[1]陶維林.幾何畫板課件制作教程[M].北京：人民教育出版社，2005.