鮑倚天

【摘要】一致收斂性是函數(shù)項級數(shù)的重要性質(zhì)，函數(shù)項級數(shù)與數(shù)項級數(shù)有許多相似之處，但是我們不僅要判斷它在哪些點上收斂，還要研究其和函數(shù)具有的解析性質(zhì)，這對函數(shù)項級數(shù)的收斂性提出了更高的要求.判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂問題是數(shù)學分析中的一個重點，也是難點，尤其是面對和函數(shù)不容易求出來甚至有些根本求不出來的情況.類比數(shù)項級數(shù)，我們也可得到一系列判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法推廣，但我們要注意對基本方法的掌握.

【關鍵詞】函數(shù)項級數(shù)；數(shù)學；基本判別法

本文提供了關于函數(shù)項級數(shù)一致收斂基本的判定方法，通過分析、歸納、總結并結合相關例子說明方法的實用性，以方便讀者更好地理解函數(shù)項級數(shù)，快速地對函數(shù)項級數(shù)是否一致收斂做出判定.

一、利用一致收斂的定義判斷

設{un（x）}是定義在數(shù)集I上的一個函數(shù)列，表達式u1（x）+u2（x）+…+un（x）+…，x∈I稱為定義在I上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為∑∞n=1un（x）或者

∑un（x）.稱Sn（x）=∑∞n=1un（x），n=1，2，…為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列.

若x0∈I，數(shù)項級數(shù)u1（x0）+u2（x0）+…+un（x0）+…收斂，即部分和Sn（x0）=∑∞n=1un（x0），當n→∞時極限存在，則稱級數(shù)在點x0收斂，x0稱為級數(shù)的收斂點.若級數(shù)在I的某個子集D上每點都收斂，則稱級數(shù)在D上收斂.若D為級數(shù)全體收斂點的集合，這時則稱D為級數(shù)的收斂域.級數(shù)在D上每一點x與其所對應的數(shù)項級數(shù)的和S（x）構成一個定義在D上的函數(shù)，稱為級數(shù)的和函數(shù)，并寫作u1（x）+u2（x）+…+un（x）+…=S（x），x∈D，

即 limn→∞Sn（x）=S（x），x∈D.

也就是說，函數(shù)項級數(shù)的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列的收斂性.

四、結語

以上例子利用各種不同的基本方法證明了函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，還有其他方法在此不再討論，可類比證明數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法推廣，如，根式判別法、比式判別法等.雖然有的我們已經(jīng)很熟悉但是在實際證明中我們要根據(jù)已知選擇特定的方法，加快解題速度，往往我們證明函數(shù)項級數(shù)一致收斂的問題時需要綜合運用多種不同的方法，所以，要求我們要區(qū)分各個方法之間的優(yōu)越性和缺點，把握解題關鍵.這也需要在平時多思考、總結、歸納，在不斷的練習和實踐中提高自身的分析問題、解決問題的能力.

【參考文獻】

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