江蘇省海州高級(jí)中學(xué)(222000) 謝 身 ●

與橢圓相關(guān)的高考定值問(wèn)題的求解策略

江蘇省海州高級(jí)中學(xué)(222000) 謝 身 ●

橢圓相關(guān)的定值是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容．本文以幾道近幾年的高考題為例，說(shuō)明與橢圓相關(guān)的定值問(wèn)題的求解策略，以供參考．

高考數(shù)學(xué);橢圓相關(guān)定值;求解

一、設(shè)直線方程，求目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)或線段長(zhǎng)度

1．設(shè)一條直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體求解

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P．

(ⅱ)求證:PF1+PF2是定值．

例2 (2011年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第21題)橢圓有兩頂點(diǎn)A(－1，0)、B(1，0)，過(guò)其焦點(diǎn) F (0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P．直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)設(shè)出一條直線的方程，將單個(gè)目標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)換成兩個(gè)相關(guān)點(diǎn)(直線與橢圓的兩個(gè)公共點(diǎn))，再由方程聯(lián)立消元，運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行整體運(yùn)算，求出目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)或是相關(guān)的線段長(zhǎng)度，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，克服了列出方程(組)卻解不出來(lái)的困難(計(jì)算本身就是例2求解的難點(diǎn))．

2．設(shè)兩條直線方程，由對(duì)偶性代換配對(duì)求解

例3 (2012年高考數(shù)學(xué)上海卷理科第22題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1:2x2－y2=1．

(1)(2)略;(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1，若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，求證:O到直線MN的距離是定值．．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于成對(duì)出現(xiàn)的目標(biāo)點(diǎn)，常利用對(duì)偶性設(shè)出兩條直線的方程，分別與曲線方程聯(lián)立，通過(guò)代換或是同理得到兩個(gè)式子進(jìn)行配對(duì)運(yùn)算，可以起到整體求解、降低運(yùn)算難度的效果．類似的考題有2010年高考數(shù)學(xué)山東卷理科第21題．

二、設(shè)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求目標(biāo)點(diǎn)軌跡方程

1．設(shè)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)而不求整體代入，求出目標(biāo)點(diǎn)軌跡

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2．設(shè)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，代入求點(diǎn)坐標(biāo)消參，求出目標(biāo)點(diǎn)軌跡

例5 (同例1)

一般地，與橢圓相關(guān)的定值問(wèn)題的求解，歸根結(jié)底是運(yùn)用方程的思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程(組)的問(wèn)題，體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)．解決的途徑是通過(guò)引入適當(dāng)?shù)膮?shù)合理地表示所求證的量，再消參后得出常數(shù)或是求得相應(yīng)的軌跡方程，以算代證．這一類問(wèn)題的求解對(duì)于轉(zhuǎn)化、計(jì)算都有著很高的要求，需要在平時(shí)的解題過(guò)程中重視并且學(xué)會(huì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化、計(jì)算，講求根據(jù)條件、結(jié)論進(jìn)行合理設(shè)參、合理表示、合理變形、合理計(jì)算．

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