曹小杉 師俊平

(西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系,西安710048)

線性微分約束可積充要條件的簡捷證明

曹小杉1)師俊平

(西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系,西安710048)

線性微分約束，也稱Pfaf f約束是工程領(lǐng)域中常見的一種微分約束，其可積性是判斷該約束是否為完整約束的準(zhǔn)則.許多分析力學(xué)教材和研究非完整系統(tǒng)的教材都給出了 Pfaf f約束可積的充要條件但并未證明.本文給出了Pfaf f約束可積的充要條件的簡捷證明方法，僅采用高等數(shù)學(xué)中所授場論部分的基本內(nèi)容，供分析力學(xué)課程教學(xué)的教師和學(xué)習(xí)相關(guān)課程的學(xué)生參考.

Pfaf f約束,可積性,充分必要條件

前言

在分析力學(xué)理論中，研究完整系統(tǒng)和非完整系統(tǒng)常常采用完全不同的方法，尤其是有些動(dòng)力學(xué)方程和原理僅僅適用于完整系統(tǒng)[1-2].那么，確定研究對象屬于完整系統(tǒng)或非完整系統(tǒng)是首要環(huán)節(jié).只要系統(tǒng)中存在非完整約束，則該系統(tǒng)就屬于非完整系統(tǒng).非完整約束，是指不可積分的微分約束.因此，判斷微分約束的可積性在分析力學(xué)理論中具有十分重要的意義.

線性微分約束，也稱Pfaf f約束，是工程中常見的一種微分約束，導(dǎo)彈追蹤問題、純滾動(dòng)問題等都屬于線性微分約束.凡是涉及到非完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題的教材中都給出了Pfaf f約束可積的充要條件，但是大多證明從略[1-3].即便追溯到1977年的文獻(xiàn)，也僅僅是對 Pfaf f約束可積條件在特定條件下的充分性予以說明[4].2012年北京大學(xué)陳濱在所著《分析動(dòng)力學(xué)》中詳細(xì)地討論了 Pfaf f約束的可積性定理[5].該著作對單個(gè)Pfaf f約束方程的可積性分兩個(gè)變元、三個(gè)變元和多個(gè)變元進(jìn)行了詳細(xì)的討論.針對兩個(gè)變元、三個(gè)變元的情況，利用構(gòu)造法，給出了積分曲面的形式，從而證明其定理的充要性.但對于多個(gè)變元的情況，也是略去了證明.與微分幾何相關(guān)的數(shù)學(xué)書籍也針對Pfaf f方程進(jìn)行討論，其主要思路為先定義微分流形，引入切空間的概念，給出Frobenius定理，再進(jìn)一步證明Pfaf f方程可積性的充要條件[6-8].

在分析力學(xué)教學(xué)過程中，首先講授約束和約束類型，突然引入一個(gè)略去證明而數(shù)學(xué)形式較為復(fù)雜的定理，學(xué)生覺得難以理解.盡管在幾個(gè)典型例題之后，學(xué)生能夠靠記憶掌握求解該類問題的基本方法，但不符合力學(xué)類課程邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn).而微分幾何教材中的證明方法，相關(guān)基礎(chǔ)的概念非常龐雜，可能幾個(gè)學(xué)時(shí)都無法介紹清楚，并不適合力學(xué)課程的教學(xué)，這或許也是力學(xué)類教材中該部分證明從略的原因.本文采用高等數(shù)學(xué)基本知識(shí)，直接給出多個(gè)變元條件下定理的必要性；而對于定理的充分性，基于前人已經(jīng)嚴(yán)格證明的兩個(gè)變元Pfaf f約束可積，利用數(shù)學(xué)歸納法，并引入一個(gè)簡單定理，予以證明.這種Pfaf f約束可積的充要條件簡捷證明方法，可供喜歡探究力學(xué)問題來龍去脈的學(xué)生參考.

1 Pfaf f約束可積的充要條件

設(shè)一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，受到線性Pfaf f約束為

其中Ψi，A均是各質(zhì)點(diǎn)位置的函數(shù)，˙ri表示的是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度.在直角坐標(biāo)系中有

為了便于表示，將不再區(qū)分位形變量和時(shí)間變量，得到線性微分約束的統(tǒng)一形式.

2 必要性證明

設(shè)方程(3)可積，則存在一個(gè)等效方程

其中U=U(r1,r2,…,rN)，為一個(gè)待求的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù).

由式(5)得到

如果式(3)和式(6)為等效方程，則

其中Φ=Φ(r1,r2,…,rN)，其倒數(shù)就是數(shù)學(xué)中的積分因子.

2.1 分量形式的證明

將式(7)代入式(4)，從而得到

從而命題的必要性得證.

2.2 場量形式的證明

對于U=U(r1,r2,…,rN)，任意取α,β,γ，如果僅選用α,β,γ對應(yīng)的rα,rβ,rγ為變量，其余的ri并不參與到求偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.可將U=U(r1,r2,…,rN)看作是BZ_85_1584_1354_1214_1254=BZ_85_1584_1354_1214_1254(rα,rβ,rγ),相對應(yīng)的是一個(gè)三維坐標(biāo)系的量，簡化形式為

由場論的基本性質(zhì)有[9]

其中Φ是一個(gè)標(biāo)量，而F是任意一個(gè)向量.進(jìn)而，如果F是一個(gè)量的梯度，則有

這也就是通常所述的梯度場是無旋場[9].

將式(10)代入式(11)，并考慮性質(zhì)(12)可以得到

代入式(4)得到

顯然，向量?BZ_85_1584_1354_1214_1254與?Φ×?BZ_85_1584_1354_1214_1254垂直，且兩個(gè)垂直向量的點(diǎn)積為零.從而命題的必要性得證.

3 充分性證明

采用數(shù)學(xué)歸納法，即需證明：

如果對于N-1的情況，由對于任意α,β,γ滿足 (AαAβAγ)·[?×(AαAβAγ)]=0，方程必然可積這個(gè)命題成立；那么對于N的情況，由對于任意α,β,γ滿足 (AαAβAγ)·[?×(AαAβAγ)]=0，方程也必然可積.

首先，如果對于式(4)中N=2時(shí)，式(4)自動(dòng)滿足，方程也必然可積[5].其可積性在很多教材中都有說明，此處不再贅述.

如果將Ai(r1,r2,…,rN)中rN看作是常數(shù)，函數(shù)自變量維數(shù)由N個(gè)降為N-1個(gè)，新函數(shù)為i(r1,r2,…,rN).

那么如果滿足(AαAβAγ)·[?×(AαAβAγ)] =0，那么也必然滿足

其中B=B(r1,r2,…,rN)為一待定函數(shù)，Φ=Φ(r1,r2,…,rN)，U=U(r1,r2,…,rN)，滿足

那么對于任意不同且不等于N的α,β

代入式(4)左半部分得到

情況1：如果?×Bk=0可得

從而得到B與rα,rβ無關(guān).同理可得B與ri,i=1,2,…,N-1無關(guān).則令=(rN)=B/Φ，代入式(14)得到

則式(3)的等效式可由式(19)得到

式(20)可以積分為

則式(3)可積.

情況2：如果?×Bk/=0，可得?·(?×Bk)= 0

引理：對于兩個(gè)函數(shù)u1(r1,r2,…,rN),u2(r1,r2,…,rN)中任意α,β，滿足α,β/=N,那么u1可以表示為u1=F(u2,rN)

由該引理可得，函數(shù)B可以表示為U和rN的函數(shù)，那么式(14)可以簡化并得出

顯然方程(21)中僅含兩個(gè)變量，由于含兩個(gè)變量的線性微分約束必然可積，則該方程可積.

引理的證明：

對于兩個(gè)函數(shù)u1(r1,r2,…,rN),u2(r1,r2,…,rN)，不失一般性，u1可以表示為

那么由鏈導(dǎo)法可得

4 結(jié)論

本文中，Pfaf f約束可積充要條件的證明僅僅運(yùn)用了高等數(shù)學(xué)中場論部分的基礎(chǔ)知識(shí)，便于學(xué)生理解.相對而言，必要性證明更加簡單.必要性的命題是：如果可積，那么式(4)成立.對應(yīng)的逆否命題是：如果式(4)不成立，那么不可積.學(xué)生采用這個(gè)逆否命題就可以判斷不可積的微分約束.教學(xué)中，建議可以給出必要性證明，但具體采用分量表示形式還是梯度表示形式，可由學(xué)生整體的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)決定.

1 梅鳳翔.分析力學(xué)(上卷).北京：北京理工大學(xué)出版社，2013

2 葉敏，肖龍翔.分析力學(xué).天津：天津大學(xué)出版社，2001

3 梅鳳翔.非完整系統(tǒng)力學(xué)基礎(chǔ).北京：北京工業(yè)學(xué)院出版社, 1985

4 Rosenberg RM.Analytical Dynamics of Discrete Systems. New York：Pleum Press,1977

5 陳濱.分析動(dòng)力學(xué).北京：北京大學(xué)出版社，2012

6 威爾頓霍爾茲.數(shù)學(xué)物理中的微分形式.葉以同譯.北京：北京大學(xué)出版社，1990

7 陳省身，陳維恒.微分幾何講義.北京：北京大學(xué)出版社，2001

8 梅向明，黃敬之.微分幾何.北京：人民教育出版社，1981

9 埃伯哈德·蔡德勒等.數(shù)學(xué)指南——實(shí)用數(shù)學(xué)手冊.李文林等譯.北京：科學(xué)出版社，2012

(責(zé)任編輯：胡 漫)

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A

10.6052/1000-0879-16-092

2016-03-22收到第1稿，2016-03-30收到修改稿.

1)曹小杉,教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橹悄懿牧辖Y(jié)構(gòu)中的彈性波.E-mail：caoxsh@xaut.edu.cn

曹小杉,師俊平.線性微分約束可積充要條件的簡捷證明.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(1)：79-82

Cao Xiaoshan,Shi Junping.A simple method to prove the necessary and sufficient conditions of integrability for linear dif f erential constraints.Mechanics in Engineering,2017,39(1)：79-82