王 強，張培林，王懷光，楊望燦，陳彥龍

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

(*通信作者電子郵箱ZPL1955@163.com)

壓縮感知中測量矩陣構造綜述

王 強，張培林*，王懷光，楊望燦，陳彥龍

(軍械工程學院 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

(*通信作者電子郵箱ZPL1955@163.com)

壓縮感知測量矩陣構造方式多樣并不斷發(fā)展，為梳理現有研究成果，掌握測量矩陣發(fā)展動態(tài)，對壓縮感知測量矩陣構造進行系統(tǒng)介紹。首先，針對傳統(tǒng)信號采集理論存在的信息冗余問題，闡述了壓縮感知理論在信號采集過程中資源利用率高、存儲空間小的優(yōu)勢；其次，以壓縮感知理論框架為基礎，從測量矩陣構造原則、測量矩陣產生方法、測量矩陣結構設計、測量矩陣優(yōu)化方法四個方面，對壓縮感知測量矩陣構造進行分析，討論了測量矩陣構造過程中不同原則、結構、方法的優(yōu)勢；最后，在總結現有研究成果的基礎上，對測量矩陣的發(fā)展方向進行了展望。

壓縮感知；測量矩陣；有限等距性質；信號重構；信號采集

0 引言

在傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理條件下，要實現原始信號的精確重構，采樣過程中的采樣頻率至少高于原始信號中最高頻率的兩倍。但奈奎斯特采樣定理是原始信號能夠精確重構的充分條件，而非必要條件。依照該定理采樣后的數據中包含大量冗余信息，數據在應用過程中，經過處理只保留了部分有用信息，大部分無用信息被舍棄，這就導致在采樣、壓縮過程中，大量時間、空間被浪費。因此學者們嘗試突破奈奎斯特采樣定理的限制，提出利用少量的采樣數據來精確重構原始信號。Candes等[1-2]在壓縮感知理論上取得重大突破。他們結合隨機矩陣，利用少量隨機采樣的頻率系數，通過求解一個凸優(yōu)化問題，實現了原始信號的精確重構[3]，并提出了魯棒的不確定性原則。隨后，壓縮感知的理論被正式提出，并得到了不斷的完善、發(fā)展與應用[4]。在壓縮感知條件下，某個變換域具有稀疏、近稀疏性的信號或者圖像，可以通過“全息”測量的方式，將采樣與壓縮的過程合并，直接獲得原始信號的有用信息，并能夠通過近似優(yōu)化算法，實現原始信號的精確重構[5]。

壓縮感知理論主要包括信號稀疏表示、測量矩陣構造、重構算法設計三方面的內容[6]。在壓縮感知理論中，要求信號具有可壓縮性，信號的稀疏表示是信號可壓縮性能的具體體現，而可壓縮性能的好壞依賴于稀疏字典的設計，在壓縮感知之初，信號的稀疏字典是基于變換域(傅里葉變換、小波變換等)的正交基字典[7]，這種方法應用廣泛，易于操作，但是適用性不強，對于任意信號，基于變換的正交基字典無法準確表達信號的可壓縮性。因此過冗余的稀疏字典設計引起越來越多的關注，并且通過引入學習算法，克服稀疏字典構造面臨的先驗知識依賴缺陷，從而構造出與原始信號相適應的優(yōu)化字典，如應用廣泛的最優(yōu)方向算法(Method of Optimal Directions, MOD)[8]、K-奇異值分解(K-Singular Value Decomposition,K-SVD)[9]等。

測量矩陣的構造效果直接影響到壓縮采樣后獲取的信息量，因此矩陣的構造理論是壓縮感知理論形成的一大瓶頸，Candes等[10]在對線性編碼系統(tǒng)的系統(tǒng)特性描述中提出：有限等距常數(Restricted Isometry Constant, RIC)在滿足特定條件下，重構信號具有唯一性與準確性，隨后，Candes[11]針對壓縮感知理論提出測量矩陣的有限等距特性(Restricted Isometry Property, RIP)。RIP作為測量矩陣構造的必要條件得到了廣泛認可與發(fā)展。以此為基礎，測量矩陣的構造原則不斷豐富，但在本質上保持著一致性，針對不同的編碼、構造方式，滿足的不同條件，都能在一定程度上保證原始信號的唯一精確重構。

經過壓縮采樣的信號保留了原始信號重構的必要信息，但信號的重構仍然是一個NP難問題。重構過程利用了原始信號的稀疏特性，在變換域內信號的非零系數有限，這就為信號重構提供了可能。解決這類問題的算法主要包括貪婪算法、凸優(yōu)化算法等。貪婪算法包括匹配追蹤[12]、正交匹配追蹤[13]、壓縮采樣匹配追蹤[14]等，這類算法運算速度較快，但是運算精度有限。凸優(yōu)化算法包括基追蹤算法[15]、梯度投影法[16]、內點迭代法[17]等。該類算法運算時間較長，但重構精度較高，適用于原始信號的重構精度要求較高的情況。

在壓縮感知理論中，測量矩陣作為原始信號的壓縮采樣系統(tǒng)，發(fā)揮了關鍵的作用，因此引起國內外學者的廣泛關注，測量矩陣大致可以分成隨機矩陣以及確定性矩陣。在壓縮感知理論之初，服從特定分布的隨機矩陣作為測量矩陣，取得了很好的重構效果[5]，隨后，貝努力隨機矩陣[2]、托普利茲測量矩陣[13]以及基于特定編碼[6]的確定性矩陣等被證明也能夠用于壓縮感知的測量矩陣。發(fā)展至今，各種矩陣構造方式多樣并不斷發(fā)展，因此本文在總結國內外測量矩陣研究現狀的前提下，對壓縮感知中測量矩陣構造進行了探討與研究。

1 壓縮感知理論模型

假定離散信號x∈RN，長度為N，把x看作N維列向量，向量中第n個元素可以表示為：xn(n=1,2,…，N)，給定一組正交基Ψ={Ψ1，Ψ2，…，ΨN}，Ψi為N維列向量，則x可以表示為：

(1)

其中s是由權重系數si組成的N維向量，si可以表示為：

si=〈x,Ψi〉=ΨiTx

(2)

其中T表示轉置運算。x與s是信號在時域以及Ψ域內的不同表現方式，因此二者從本質上是等價的。假設信號在Ψ域為K-稀疏信號，則s向量中非零元素的個數為K?N(遠小于)，x可以看作是K個基向量的線性組合。若s中只有K個數值較大的權重系數，N-K個系數數值較小或近似于零時，信號在Ψ域可以看作為近似K-稀疏信號，滿足上述條件的信號均視為可壓縮信號。

y=Φx=ΦΨs=Θs

(3)

其中感知因子Θ=ΦΨ。當原始信號為時域稀疏信號時，變換域可以看作是單位陣，此時，壓縮感知因子與測量矩陣相同，由于M?N，因此從y中直接恢復x的數學模型中，未知量遠大于方程個數，求解過程表現為病態(tài)，但是由于信號具有可壓縮性，即s為K-稀疏信號，這就為y恢復s提供了可能，因此可以通過感知因子求解信號的稀疏系數向量s，在已知原始信號稀疏域的條件下，原始信號就能夠得到精確重構。壓縮感知理論避免了傳統(tǒng)方法先采樣、后壓縮的復雜過程，基于壓縮感知理論的信號獲取與傳輸方法中如圖1所示，通過觀測矩陣實現了傳統(tǒng)方法中采樣與壓縮兩個過程，因此能夠有效利用資源，提高信號獲取與傳輸的效率。

圖1 信號獲取與傳輸

信號獲取過程是測量矩陣壓縮觀測的過程，信號獲取的效果決定了信號能否被精確重構，因此構造合理的測量矩陣是信號能夠精確恢復的關鍵。針對測量矩陣的構造過程，本文將從以下四個方面進行闡述：測量矩陣構造原則、測量矩陣產生方法、測量矩陣結構設計和測量矩陣優(yōu)化方法。

2 測量矩陣構造原則

對于可壓縮信號x，在Ψ域內的K-稀疏信號為s，但s中非零元素的位置信息是未知的。感知因子Θ能夠保留稀疏信號s中的足夠信息，滿足信號重構的要求。對于稀疏性能已知的可壓縮信號，變換域Ψ已知，因此測量矩陣的設計直接影響稀疏信號的感知效果，為進一步簡化問題，假設可壓縮信號x為稀疏信號，因此變換域Ψ為單位陣I，感知因子Θ=ΦΨ=Φ，則壓縮感知過程如圖2所示。

圖2 壓縮感知測量過程

壓縮采樣后得到了M維向量y，測量矩陣構造原則通過對測量矩陣Φ進行約束，保證了原始信號x壓縮采樣后，依然能夠從降維信號y中得到準確的恢復，例如高斯隨機矩陣，在K≤O(MlogN)的條件下，能夠以很高的概率滿足RIP[18]，RIP是測量矩陣構造原則中的一種。圖3為不同條件下測量矩陣對稀疏信號的壓縮感知效果，圖3中原始信號為稀疏信號，仿真電壓信號在時域的變化趨勢，觀測矩陣為高斯隨機矩陣。當觀測采樣后信號數據量由1 024減低到512時，測量矩陣能夠滿足RIP，信號重構后標準差為2.75×10-13，如圖3(c)；當壓縮采樣后信號數量由1 024降低到120時，測量矩陣不滿足RIP，信號重構標準差為1.18，重構信號嚴重失真，如圖3(b)。因此RIP能夠約束測量矩陣，保證原始信號的精確重構，除了RIP之外，學者們對測量矩陣構造原則的研究不斷深入，矩陣的構造原則不斷豐富，包括RIP1、列相干性等。

圖3 稀疏信號壓縮感知

2.1 RIP

2.1.1RIC

對于可壓縮信號，Armin等[19]給出RIC的定義，若信號為時域稀疏信號，則RIC定義如下。

定義1 對于任意K=1，2，…，定義矩陣Φ的RICδK為滿足式(4)的最小值：

(4)

其中x為任意K-稀疏信號。

當信號在時域不具有稀疏性時，需要找到信號的稀疏域，假設信號為Ψ域稀疏信號，則δK定義如下。

定義2 對于任意任意Ψ域K-稀疏信號，K=1，2，…，定義壓縮感知因子Θ的RICδK為滿足式(5)的最小值：

(5)

對于時域K-稀疏信號，通常情況下x中非零元素位置未知，要精確重構原始信號，需定義δ2K如下。

定義3 對任意索引子集T?{1，2，…，N}，|T|≤2K，ΦT根據Φ中T所指示的相關列收縮獲得，c={xj∣j∈T}，則δ2K為滿足式(6)的最小值：

(6)

若信號為Ψ域稀疏信號，則δ2K定義與之相類似，但ΦT不能夠直接測量非稀疏信號，因此δ2K為滿足式(7)的最小值：

(7)

2.1.2RIP的條件描述

RIP通過限制觀測矩陣，保證了不同信號在壓縮觀測后能夠映射到不同的集合，同時充分保留原始信號的特性，因此能夠保證原始信號的唯一精確重構。RIP的提出，是壓縮感知理論上的重要突破：一方面在滿足RIP的條件下，遠低于奈奎斯特采樣定理的信號采樣存在精確重構的可能，為壓縮感知理論提供基礎；另一方面，RIP能夠指導測量矩陣的構造，成為部分矩陣構造是否合理的評判標準。文獻[20]通過Johnson-Lindenstrauss引理[21]證明，許多密集隨機矩陣都能夠滿足RIP，保證了壓縮感知重構效果。

2.2 RIP1性質

滿足RIP條件的密集隨機矩陣能夠滿足信號重構的需求，但是在測量以及重構過程中，時間復雜度較高，例如基于l1范數的凸優(yōu)化重構算法，重構時間復雜度為O(n3)，測量個數為O(Klog(N/K))。當原始信號個數N較大時，測量與重構的過程的實現變得十分困難，為此學者提出構造二進制稀疏的測量矩陣，例如離散chirps[16]、邊膨脹圖[22]等，能夠在有限測量次數以及重構時間復雜度的條件下精確重構原始信號。但是在RIP的理論框架下，證明矩陣是否滿足RIP顯得十分困難，為此學者們提出RIP1[23]以及統(tǒng)計有限等距特性(StatisticRestrictedIsometryProperty，StRIP)和保證唯一性的統(tǒng)計有限等距特性(Uniqueness-guaranteedStatisticRestrictedIsometryProperty，UStRIP)[24]等。

基于邊膨脹圖的測量矩陣構造方法被提出之后，Berinde等[23]證明了邊膨脹圖具有與RIP相類似的RIP1性質。滿足RIP條件的測量矩陣通過限制壓縮采樣信號與原始信號的歐幾里得距離，保留了原始信號的有用信息，文獻[23]將l2范數延伸至l1范數，定義了RIP1性質，并指出邊膨脹圖通過限制采樣信號與原始信號的曼哈頓距離，能夠保留原始信號中的有用信息。

定義4 RIP1性質[25]。設Φ為邊膨脹圖V(K，ε)的M×N鄰接矩陣，那么對于任意K-稀疏信號x∈RN，滿足：

(1-2ε)d‖x‖1≤‖Φx‖1≤d‖x‖1

(8)

其中：d為Φ每列中1的個數，ε為常數。

RIP1性質是RIP的擴展，二者在本質上保持著一致性。RIP1通過擴展歐幾里得空間至曼哈頓空間，豐富了RIP的應用范圍，建立了膨脹圖與壓縮感知之間的聯系，為邊膨脹圖的確定性矩陣構造方式提供依據。同時，進一步揭示了RIP的實質，即通過保證壓縮觀測過程保留原始信號在歐幾里得空間的基本特性，保證原始信號具有精確重構的可能。

2.3 列相干性

為避免RIP的復雜求解過程，Donoho等[26]從壓縮采樣后信號的精確重構條件出發(fā)，提出利用列相干性優(yōu)化測量矩陣設計。

Tropp[27]提出，在冗余字典滿足特定列相干性條件的情況下，基追蹤(BasisPursuit,BP)、正交匹配追蹤(OrthogonalMatchingPursuit,OMP)等追蹤算法能夠對原始信號實現準確的稀疏近似。在此基礎上，Donoho等[26]將這一結論應用到壓縮感知矩陣優(yōu)化中，作為測量矩陣優(yōu)化標準，提出了基于列相干性的測量矩陣構造原則。

定義5 對于任意字典Ψ，其互相干系數定義為μ以及累積互相干系數μ1定義為:

(9)

定理1 對于一般字典而言，其相干系數有下界：

(10)

若字典中所有原子都滿足等式條件，那么字典叫作等角緊框架。

對于可壓縮信號x，其在稀疏字典下的系數表示為：

x=ψs

(11)

若測量矩陣為Φ，則Θ=ΦΨ，列相干性條件通過感知因子的列相干系數定義，若滿足：

(12)

則矩陣Θ滿足列相干性條件。

相對于RIP，列相干性條件更為簡單，計算量相對較小，Rauhut等[28]證明，二者之間存在必然聯系，定理2對二者的關系進行了描述，可以證明：在滿足列相干性條件的情況下，感知因子滿足RIP。

定理2 若字典互相干系數為μ以及累積互相干系數為μ1，則RICδK滿足下列約束：

δK≤μ1(K-1)≤(K-1)·μ

(13)

列相干性從信號重構的角度，提出了在壓縮采樣過程，感知因子需要滿足的性質。式(13)反映出列相干性與RIP之間的關系，列相干性條件通過限制感知因子不同列向量之間的相互關聯性，保證了感知因子能夠從各個維度對原始信號完成壓縮感知，因此能夠保證壓縮觀測的效果，為信號的精確重構保留足夠的信息量。

2.4 StRIP/UStRIP性質

針對RIC以及RIP的計算困難問題，Calderbank等提出統(tǒng)計有限等距特性(StRIP)以及保證唯一性的統(tǒng)計有限等距特性(UStRIP)[24]，同時，提出StRIP/UStRIP的簡單評判標準，通過判斷測量矩陣是否滿足特定標準，來確定測量矩陣是否滿足StRIP/UStRIP性質，具有較強的可行性。

定義6Φ為M×N測量矩陣，對于任意K-稀疏信號x∈RN，若下列不等式能夠以超過1-δ的概率成立：

(1-ε)‖x‖2≤‖Φx/M‖2≤(1+ε)‖x‖2

(14)

則Φ為(K，ε，δ)-StRIP矩陣。

滿足上述條件的StRIP矩陣并不能保證滿足重構信號的唯一性要求，因此定義嚴格約束的UStRIP矩陣。

定義7M×N階測量矩陣Φ為(K，ε，δ)-StRIP矩陣，若下列等式(15)能夠以超過1-δ的概率成立：

(15)

則Φ為(K，ε，δ)-UStRIP矩陣。

以上給出StRIP/UStRIP性質的定義，但是在判斷矩陣是否滿足上述性質過程中，仍然存在一定困難，為此給出η-StRIP-able矩陣的評判標準定義。

定義8 定義η-StRIP-able矩陣，0<η<1，為滿足以下標準的Φ矩陣。

1)Φ任意行向量正交，并且行元素求和為零。即：

(16)

(17)

其中：j為列索引，a、b為行索引。

2)Φ的任意列向量滿足“逐點相乘”，即對于任意列向量Φj″(a)(j″∈{1,2，…，N})，存在不同的列索引j，j′，對任意x滿足：

Φj″(a)=Φj′(a)Φj(a)

(18)

3)對任意j∈{2，…，N}滿足：

(19)

文獻[24]證明，滿足標準1)～3)的測量矩陣，具有統(tǒng)計意義上的有限等距性質，即具有StRIP/UStRIP性質。η-StRIP-able矩陣可行性強，成為許多二進制稀疏編碼測量矩陣的評價指標，例如離散Chirp編碼[16]、Bose-Chaudhuri-Hocquenghem編碼[24]等。

StRIP/UStRIP性質通過縮小測量矩陣的應用對象，簡化了測量矩陣的評價條件，降低了測量矩陣性質的檢驗難度。對于滿足條件的稀疏信號而言，簡單的評價條件具有與RIP類似的性質，能夠保證測量矩陣在壓縮觀測過程中充分保留原始信號的有用信息，從而保證原始信號的唯一精確重構。

除此之外，測量矩陣構造原則還包括Spark理論[29]、零空間理論[30]等，Spark理論與列相干性理論相類似，利用矩陣的最小線性相關向量組的數目作為Spark常數，判斷是否滿足矩陣構造條件。零空間理論通過判斷稀疏信號是否在感知因子的零空間內，判斷解的唯一性。

3 測量矩陣產生方法

自壓縮感知理論產生以來，壓縮感知測量矩陣的構造方法不斷豐富，產生的矩陣大致可以分成隨機測量矩陣、確定性測量矩陣兩大類。

3.1 隨機測量矩陣

3.1.1 高斯隨機矩陣

Candes等[2]證明，獨立同分布于高斯正態(tài)分布的高斯矩陣，在K≤O(MlogN)的條件下，能夠以很高的概率滿足RIP[18]，因此作為測量矩陣對K-稀疏信號進行壓縮采樣后，能夠以很高的概率實現原始信號的精確重構。

高斯隨機矩陣中，每個元素獨立同分布且均值為0、方差為1/n的正態(tài)分布，即：

Φi, j～N(0,1/M)

(20)

其中i、j表示矩陣的第i行、第j列。

3.1.2 貝努力隨機矩陣

與高斯矩陣性類似，獨立同分布的貝努力隨機矩陣能夠以很高的概率滿足RIP。貝努力矩陣為二值隨機矩陣，兩取值的概率相等，均為1/2，其元素取值可以描述為如下形式：

(21)

文獻[31]豐富了貝努力隨機矩陣的構造方法，提出了通過部分哈達瑪集合、二進制集合以及二者相組合的方式構造貝努力隨機矩陣，并證明了這些方式能夠以超過1-2exp(-c1M)的概率滿足RIP。

與高斯隨機矩陣相比，貝努力隨機矩陣保留了高斯矩陣隨機性以及獨立性，能夠在相同的測量次數下滿足RIP，同時，貝努力隨機矩陣的數值變化少，結構相對簡單。

除此之外，隨機矩陣還包括部分傅里葉矩陣[32]、部分正交矩陣[2]、稀疏隨機矩陣[33]等。這些隨機矩陣的獨立性較好，在一定程度上具有RIP，但是由于其隨機性，矩陣的硬件實現較為復雜，因此學者們研究確定性矩陣的構造算法[34]，通過確定性矩陣來實現原始信號的壓縮觀測過程。

3.2 確定性測量矩陣

3.2.1 邊膨脹圖鄰接矩陣

Xu等[22]提出利用非平衡二部圖(如圖4)鄰接矩陣作為測量矩陣，應用于壓縮觀測過程。非平衡二部圖直接模擬了壓縮感知壓縮觀測過程，其圖形分為左右兩部分，左子圖定義為A1，右子圖定義為A2，圖中包含有兩種節(jié)點。根據編碼理論的數值描述，將A1中節(jié)點定義為可變節(jié)點，A2中節(jié)點定義為奇偶校驗節(jié)點。A1節(jié)點個數為N，對應于壓縮感知原始信號x；A2節(jié)點個數為M，對應于壓縮觀測后信號y。假設M≤N，A1、A2節(jié)點之間有邊線連接，連接關系對應于鄰接矩陣C：

(22)

其中：i=1，2，…，M；j=1，2，…，N。

圖4 (k，ε)-邊膨脹圖

定理3 定義C(K，ε)-邊膨脹圖為形如圖4的非平衡二部圖V(A1，A2)，|A1|=N，|A2|=M，A1為可變節(jié)點，A2為奇偶檢驗節(jié)點。假設A1的度為d，對于任意S?A1，若|S|≤K，則鄰居節(jié)點數N(S)滿足：N(S)>(1-ε)|S|。

Jarfarpour等[25]指出，在1≤K≤N/2的情況下，若(K，ε)-邊膨脹圖存在左子圖的度d以及右子圖大小M為：

(23)

則其鄰接矩陣C，對任意K-稀疏信號滿足RIP1性質。

3.2.2 多項式確定性矩陣

基于壓縮感知理論，Devore[35]提出利用多項式映射矩陣構造確定性矩陣，多項式確定性矩陣利用了有限域的理論。假設素數p，有限域F內的元素為p的整數模，因此有限域F的階為p，即F域內有p個元素，F可以表示為：{0，1，…，p-1}。構建p×p矩陣E，因此E中含有p2個元素，E中元素的賦值方式如下。

定義整數r(0

(24)

Pr中多項式的個數為pr+1，對于任意Q∈Pr，把Q當作F→F的映射函數，則E為t→Q(t)的映射矩陣，滿足：

Q(t)=Et*

(25)

式中t*表示t所有取值的集合。

將矩陣E的位置索引定義為：

(26)

則E中索引為(t,Q(t))位置處元素為1，其他位置為零，將E變換成p2×1的向量vQ，vQ中每p個元素中包含一個1，總共有p個1，多項式系數取值不同，產生不同的向量，因此當系數取完時，可以構造出pr+1個向量，將每一個的向量作為一列，構造一個p2×pr+1的矩陣。

Devore[35]證明，按照上述方式構造的確定性矩陣在稀疏信號稀疏度K

3.2.3 編碼矩陣

受有限域思想的啟發(fā)，學者們擴展現有編碼方式的應用領域，構造用于壓縮觀測的測量矩陣。

Nam等[36]提出利用正交光碼(OpticalOrthogonalCode,OOC)構造壓縮感知確定性矩陣，光正交碼的構造由Brickell等[37]提出，廣泛應用在光線信道的碼分多址信道設計，Nam等[36]通過OOC的循環(huán)位移以及哈達瑪矩陣的嵌套，構造了一個三元實數矩陣，并證明了其優(yōu)越性能，OOC定義如下。

定義9 (n,ω,λ)光正交碼(OOC)為一組元素個數為n的二元序列，如{v(i)∣0≤i≤n-1}。每一序列的非零元素個數為ω，兩序列之間，滿足：

?τ∈[0,n-1],θv(i),v(j)(τ)≤λ;τ=0,若i=j

(27)

(28)

其中⊕表示模n加。

光正交碼的構造利用了循環(huán)差集組G，G(n,ω)為ω個非零模n整數，任意兩個整數之間的差值互異。定義特征序列a={at∣t∈(0,1,…，n-1)}，若t∈G，則at=1，否則at=0，則a∈(n,ω,1)OOC。

在OOC碼的基礎上，測量矩陣的構造方式如下：

1)生成S個0-1序列v(i)(0≤i≤n-1)，屬于(n,ω,λ)OOC碼，將每一序列v(i)進行循環(huán)位移，共產生nS個序列，每一序列作為矩陣B的列向量。

2)構造v×v(v=ω+δ,0≤δ≤ω)哈達瑪矩陣H，對于B的每一列，將元素1用H中不同的行替換，將元素0擴展成長度為v的行，元素均為0，生成n×vnS矩陣Be。

除此之外，Bose-Chaudhuri-Hocquenghem編碼[38]、離散Chirp編碼[16]、代數編碼[39]、Reed-Muller編碼[24]、Berlekamp-Justesen編碼[40]以及各種低密度奇偶校驗碼(Low-DensityParity-Check,LDPC)編碼[41]等，均被證明能夠作為壓縮感知測量矩陣，實現原始信號的精確重構。

4 測量矩陣結構設計

隨著壓縮感知測量矩陣構造算法的不斷豐富，學者們提出通過優(yōu)化測量矩陣結構設計的方法，綜合不同算法的優(yōu)勢，構造更為合理的測量矩陣。Do等[42]提出的結構隨機矩陣，通過隨機置換不同的列或將元素的位置索引進行翻轉，構造一種正交矩陣，能夠保留原有高斯隨機矩陣以及貝努力隨機矩陣的所有優(yōu)勢。常用的測量矩陣的結構設計方式主要包括托普利茲輪換矩陣、分塊矩陣、嵌套矩陣。

4.1 托普利茲輪換矩陣

托普利茲矩陣通過向量輪換的方式構造矩陣[43]，這種方式的結構化特點明顯，因此易于硬件實現，與獨立同分布的隨機矩陣相比，生成隨機變量數目少，運算復雜度低，重構算法相對簡單，因此輪換的矩陣構造形式引起廣泛關注。在構造過程中首先生成元素為±1貝努力分布的向量g=(g1,g2,…,gn)，并作為托普利茲矩陣的第一行向量，然后通過輪換的方式構造矩陣其他行向量，最后按列進行歸一化處理，歸一化后元素定義為u，矩陣如式(29)所示：

(29)

Bajwa等[44]提出，當矩陣中元素獨立服從特定P(u)，且M≥K3ln(N/K)時，存在3K階RICδ3K∈(0,1/3)，滿足RIP。

托普利茲矩陣可以與特定序列相結合，生成具有托普利茲結構的特定序列矩陣，如離散Chirps托普利茲矩陣[44]等。

4.2 分塊矩陣

大量滿足RIP的測量矩陣在結構上表現為密集矩陣，這種矩陣在原始信號重構上表現出優(yōu)異性能，但是在矩陣的構造上，由于其密集性，存在存儲困難、計算復雜等問題。為此學者提出了分塊矩陣的結構設計方式來克服上述缺陷。

文獻[19]提出分塊對角的矩陣結構設計，采用亞高斯的隨機矩陣構造方法，實現對稀疏信號的壓縮觀測，其模型可以描述為：

(30)

其中測量矩陣Φ為M×N矩陣。若式中每個矩陣塊Φj元素不同，則稱為不同塊對角矩陣(DistinctBlockDiagonal,DBD)，若相同則稱為重復塊對角矩陣(RepeatBlockDiagonal,RBD)。Armin等[19]指出，二者在保證測量次數的條件下，均能夠滿足RIP，實現與高密度亞高斯隨機矩陣幾乎相同的測量效果。

除此之外，分塊的矩陣結構與循環(huán)、稀疏矩陣融合，產生分塊循環(huán)矩陣[46]、稀疏分塊循環(huán)矩陣[47]等，在一定程度上都能滿足RIP。

4.3 嵌套矩陣

列相干性是衡量測量矩陣性能的重要指標，對于一些二元矩陣而言，由于元素具有非負性，因此低相干性的矩陣構造顯得十分困難，這也使得矩陣維度受到極大限制。Amini等[38]從矩陣結構角度提出了嵌套矩陣的構造方法，能夠在保證矩陣列相干性的條件下擴展矩陣維度，從而使得確定性矩陣的構造方式更加靈活。

定理4 假設二元矩陣VM×N1，矩陣V中每一列具有相同的非零元素，元素個數為p，列相干系數為μ(V)，矩陣W為p×N2，矩陣中所有元素的絕對值相同，則可以構造一個嵌套矩陣ZM×(N1N2)，列相干性系數滿足μ(Z)≤max(μ(V),μ(W))。

矩陣構造過程如圖5所示，矩陣V中的第i個非零元素用矩陣W中的第i行代替，零元素延伸至相同維度，直至矩陣中非零元素替換完畢。

圖5 嵌套矩陣

根據定理4，通過嵌套列相干系數小的矩陣，可以實現在列相干系數不變的條件下擴展矩陣維度，如嵌套哈達瑪矩陣[36]、離散傅里葉變換矩陣[48]等。

5 測量矩陣優(yōu)化方法

無論是確定性觀測矩陣還是隨機矩陣，由于受限于矩陣的構造方式，觀測矩陣構造完成后不再發(fā)生改變，但大部分矩陣仍然有很大的優(yōu)化空間，為此學者們從測量矩陣的性能出發(fā)，提出了對測量矩陣進行優(yōu)化的方法，來進一步改善壓縮觀測的效果。

5.1 基于Gram的優(yōu)化算法

Elad[49]提出把壓縮感知因子Θ的互相干系數作為目標函數，通過構造Gram矩陣以及閾值縮放處理方法降低測量矩陣Φ與稀疏域Ψ的相干性。根據互相干系數的定義，壓縮感知因子互相干系數為：

(31)

其中Θ經過單位化處理，Θi為Θ的第i行，定義Gram矩陣Ξ為：

Ξ=ΘTΘ

(32)

感知因子的互相干系數的最大值為矩陣Ξ非對角位置元素的最大值，定義Ξ元素為Ξij，則μmax(Θ)=max(Ξij)(i≠j)。因此優(yōu)化過程中，根據預設閾值與矩陣Ξ中元素的大小關系，來對矩陣Ξ重新進行賦值，已達到降低互相干系數的目的，整個優(yōu)化過程通過迭代次數控制，每次迭代過程中元素賦值方法為：

(33)

經過優(yōu)化后，感知因子的互相干系數變小，測量矩陣與稀疏域的相關性減弱，文獻[49]表明，采用Elad優(yōu)化算法優(yōu)化的測量矩陣，在壓縮采樣后，重構信號的精度得到提高。

Elad算法改善了測量矩陣壓縮采樣效果，但是其復雜度較高，為此在矩陣Ξ的基礎上，學者們進一步優(yōu)化了目標函數[50]。

對于滿足式(32)的矩陣Ξ，在壓縮感知因子的互相干性系數為0的理想狀態(tài)下，Ξ為單位陣：

Ξ=ΨTΦTΦΨ=I

(34)

對式(34)進行變換得到：

ΨΨTΦTΦΨΨT=ΨΨT

(35)

(36)

式(36)通過改進目標函數，測量矩陣的優(yōu)化復雜度得到明顯降低，優(yōu)化求解的效率得到有效提高。

除此之外，基于Gram矩陣的優(yōu)化方法還包括交互投影法[51]、特征值分解[52]等。不同的優(yōu)化方法都是通過降低Gram矩陣非對角元素的大小，降低測量矩陣與稀疏域的相干性，從而保證感知因子具有較小的互相干系數，改善壓縮感知效果。

5.2 聯合優(yōu)化算法

基于Gram矩陣的優(yōu)化算法假設信號的稀疏變換域為固定的正交基字典，但是隨著自適應稀疏算法的產生，信號的稀疏域更多地轉向自適應冗余字典。為此測量矩陣與稀疏字典聯合優(yōu)化的方法得到越來越多的關注，文獻[53]基于K-SVD算法，提出了稀疏字典-測量矩陣聯合優(yōu)化的算法，并應用在圖像壓縮領域，取得了更高的重構精度。

聯合優(yōu)化算法具體步驟為：

1)初始化稀疏字典Ψ。

2)固定稀疏字典Ψ，采用基于Gram矩陣的優(yōu)化方法，初始化測量矩陣Φ。

3)固定感知因子Θ，利用OMP算法求得稀疏分解系數矩陣。

4)利用K-SVD算法實現稀疏字典Ψ與測量矩陣Φ的迭代更新，直至滿足迭代條件。

除此之外，聯合優(yōu)化算法還包括基于梯度下降的聯合優(yōu)化[54]、基于奇異值分解的聯合優(yōu)化[55]等。聯合優(yōu)化算法引用了自適應稀疏字典的學習訓練過程，通過不斷的迭代，構建了一個與原始信號相適應的稀疏字典以及觀測矩陣，因此壓縮感知效果得到改善，但是相比非聯合優(yōu)化算法而言，算法復雜度提高，優(yōu)化時間消耗增加。

6 測量矩陣構造發(fā)展方向探討

測量矩陣構造為基于壓縮感知理論的信號采集與傳輸提供了支撐，然而目前測量矩陣構造方式并不完善，仍然有一些問題需要在今后的研究中取得突破，為此在總結國內外現有研究成果的前提下，對測量矩陣設計的發(fā)展方向進行展望：

1)在測量矩陣構造原則上，RIP是測量矩陣設計的必要條件，但是無法有效指導測量矩陣構造，列相干性條件與RIP存在一致性，其計算簡單、指導性強，并且基于列相干性條件的矩陣訓練方法被證明能夠用來優(yōu)化測量矩陣，因此列相干性條件在具體指導測量矩陣構造中將發(fā)揮越來越大的作用；另一方面J-R引理在證明矩陣RIP上體現出巨大優(yōu)勢，因此其作為評價矩陣優(yōu)劣的簡單途徑，將得到廣泛應用。

2)在測量矩陣產生方法上，確定性矩陣無疑將成為研究熱點，現有確定性矩陣在部分信號的重構精度以及普遍適用性上與隨機矩陣稍顯不足，但是其構造復雜度低、硬件實現簡單，已經得到學者的廣泛關注，因此在保證重構精度的基礎上，更加適用、簡單的確定性矩陣是測量矩陣產生方法的發(fā)展趨勢。

3)測量矩陣結構設計能夠彌補不同測量矩陣產生方法的不足，從而起到優(yōu)化測量矩陣的作用，現階段，矩陣結構設計方法相對較少，理論基礎相對薄弱，因此針對測量矩陣的結構設計方法有待于進一步完善，相應的理論有待于進一步研究。

4)對于按照特定方式構造的測量矩陣，矩陣優(yōu)化方法是對其性能的一種完善，能夠進一步改善測量矩陣壓縮觀測效果。隨著自適應稀疏分解算法的不斷成熟，測量矩陣與稀疏字典聯合優(yōu)化的方法將得到越來越多的重視，并逐漸體現出單一測量矩陣優(yōu)化所不具有的優(yōu)化效果。但由于現有聯合優(yōu)化算法的復雜度較高，聯合優(yōu)化算法仍處于理論研究階段，因此未來高效率的聯合優(yōu)化算法將成為學者們的研究熱點。

7 結語

壓縮感知測量矩陣設計是壓縮感知理論框架的核心，本文在對國內外學者眾多文獻梳理研究的前提下，對測量矩陣構造進行系統(tǒng)介紹，分析現有研究成果，從測量矩陣構造原則、測量矩陣產生方法、測量矩陣結構設計、測量矩陣優(yōu)化方法等角度比較不同方法、理論的優(yōu)缺點，為后續(xù)壓縮感知測量矩陣構造提供了參考?，F階段，低復雜度的測量矩陣構造方式、測量矩陣的優(yōu)化方法大多處于理論研究階段，在實際應用過程中壓縮感知效果、適用性有待于進一步檢驗與提高。此外，本文著重對測量矩陣的構造進行了介紹，而壓縮感知效果是稀疏字典、測量矩陣、重構算法共同作用的結果，因此構建與稀疏字典、重構算法相適應的測量矩陣有待于進一步研究。

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[1]CANDESEJ,ROMBERGJ.Quantitativerobustuncertaintyprinciplesandoptimallysparsedecompositions[J].FoundationofComputationalMathematics, 2006, 6(2): 227-254.

[2]CANDESEJ,ROMBERGJK,TAOT.Robustuncertaintyprinciples:exactsignalreconstructionfromhighincompletefrequencyinformation[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2006, 52(2): 489-509.

[3]CANDESEJ,ROMBERGJK,TAOT.Stablesignalrecoveryfromincompleteandinaccuratemeasurements[J].CommunicationsonPureandAppliedMathematics, 2006, 59(8): 1207-1223.

[4]BOUCHHIMAB,AMARAR,ALOUANETH.Designofoptimalmatricesforcompressivesensing:applicationtoenvironmentalsounds[C]//Proceedingsofthe2015SignalProcessingConference.Piscataway,NJ:IEEE, 2015: 130-134.

[5]DONOHODL.Compressedsensing[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[6] 王強,李佳,沈毅.壓縮感知中確定性測量矩陣構造算法綜述[J].電子學報,2013,41(10):2041-2050.(WANGQ,LIJ,SHENY.Asurveyondeterministicmeasurementmatrixconstructionalgorithmsincompressivesensing[J].ActaElectronicaSinica, 2013, 41(10): 2041-2050.)

[7] 焦李成,楊淑媛,劉芳,等.壓縮感知回顧與展望[J].電子學報,2011,39(7):1651-1662.(JIAOLC,YANGSY,LIUF,etal.Developmentandprospectofcompressivesensing[J].ActaElectronicaSinica, 2011, 39(7): 1651-1662.)

[8]ELADM,AHARONM.Imagedenoisingviasparseandredundantrepresentationsoverlearneddictionaries[J].IEEETransactionsonInformationTheory, 2006, 15(12): 3736-3745.

[9]AHARONM,ELADM,BRUCKSTEINAM.TheK-SVD: an algorithm for designing of overcomplete dictionaries for sparse representations [J].IEEE Transactions on Image Processing, 2006, 54(11): 4311-4322.

[10] CANDES E J, TAO T.Decoding by linear programming [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2005, 51(12): 4203-4215.

[11] CANDES E J.The restricted isometry property and its implication for compressed sensing [J].Comtes Rendus Mathematique, 2008, 346(9/10): 589-592.

[12] MALLAT S, ZHANG Z F.Matching pursuits with time frequency dictionaries [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 1993, 41(12): 3397-3415.

[13] TROPP J A, GILBERT A C.Signal recovery from random measurement via orthogonal matching pursuit [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2007, 53(12): 4655-4666.

[14] NEEDELL D, TROPP J A.CoSaMP: iterative signal recovery from incomplete and inaccurate samples [J].Applied and Computational Harmonic Analysis, 2008, 26(3): 301-321.

[15] CHEN S B, DONOHO D L, SAUNDERS M A.Atomic decomposition by basis pursuit [J].SIAM Journal on Scientific Computing, 1998, 20(1): 33-61.

[16] APPLEBAUM L, HOWARD S, SEARLE S, et al.Chirp sensing codes: deterministic compressed sensing measurements for fast recovery [J].Applied and Computational Harmonic Analysis, 2009, 26(2): 283-290.

[17] ROMBERG J.Compressive sensing by random convolution [J].SIAM Journal on Imaging Sciences, 2009, 2(4): 1098-1128.

[18] CANDES E J, TAO T.Near-optimal signal recovery from random projections: universal encoding strategies? [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12): 5406-5425.

[19] ARMIN E, LUN Y H, CHRISTOPHER J R, et al.The restricted isometry property for random block diagonal matrices [J].Applied & Computational Harmonic Analysis, 2015, 38(1): 1-31.

[20] BARANIUK R, DAVENPORT M, DEVORE R, et al.A simple proof of the restricted isometry property for random matrices [J].Constructive Approximation, 2008, 28(3): 253-263.

[21] JOHNSON W, LINDENSTRAUSS J.Extensions of Lipschitz maps into a Hilbert space [J].Contemporary Mathematics, 1984, 26: 189-206.

[22] XU W, HASSIBI B.Efficient compressive sensing with deterministic guarantees using expander graphs [C]// ITW’07: Proceedings of the 2007 Information Theory Workshop.Piscataway, NJ: IEEE, 2007: 414-419.

[23] BERINDE R, GILBERT A C, INDYK P, et al.Combining geometry and combinatorics: a unified approach to sparse signal [EB/OL].[2016-05-15].https://arxiv.org/abs/0804.4666.

[24] CALDERBANK R, HOWARD S, JAFARPOUR S.Construction of a large class of deterministic sensing matrices that satisfy a statistical isometry property [J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2010, 4(2): 358-374.

[25] RAGINSKY M, JAFARPOUR S, HARMANY Z T, et al.Performance bounds for expander-based compressed sensing in Poisson noise [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(9): 4139-4153.

[26] DONOHO D L, ELAD M.Optimally sparse representation in general (nonorthogonal) dictionaries via l1 minimization [J].Proceedings of the National Academy of Sciences, 2003, 100(5): 2197-2202.

[27] TROPP J A.Greed is good: algorithmic results for sparse approximation [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2004, 50(10): 2231-2242.

[28] RAUHUT H, SCHNASS K, VANDERGHEYNST P.Compressed sensing and redundant dictionaries [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2008, 54(5): 2210-2219.

[29] ELAD M, BRUCKSTEIN A M.A generalized uncertainty principle and sparse representation in pairs bases [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2002, 48(9): 2558-2567.

[30] KASHIN B S, TEMLYAKOV V N.A remark on compressed sensing [J].Mathematics and Statistics, 2007, 42(5/6): 748-755.

[31] ZHANG G, JIAO S, XU X, et al.Compressed sensing and reconstruction with Bernoulli matrices [C]// Proceedings of the 2010 International Conference on Information and Automation.Piscataway, NJ: IEEE, 2010: 455-460

[32] GILBERT A C, GUHA S, INDYK P.Near-optimal sparse Fourier representation via sampling [C]// Proceedings on the 34th Annual ACM Symposium on Theory of Computing.New York: ACM, 2006: 152-161.

[33] BERINDE R, INDYK P.Sparse recovery using sparse random matrices [C]// LATIN 2010: Proceedings of the 9th Latin American Symposium on Theoretical Informatics, LNCS 6034.Berlin: Springer, 2010: 157-157.

[34] ZENG L, ZHANG X, CHEN L, et al.Deterministic construction of Toeplitzed structurally chaotic matrix for compressed sensing [J].Circuits, Systems, and Signal Processing, 2015, 34(3):797-813.

[35] DEVORE R A.Deterministic construction of compressed sensing [J].Journal of Complexity, 2007, 23(4/5/6): 918-925.

[36] NAM Y Y, NA Z.Deterministic construction of real-valued ternary sensing matrices using optical orthogonal codes [J].IEEE Signal Processing Letters, 2013, 20(11): 1106-1109.

[37] BRICKELL E F, WEI V K.Optical orthogonal codes and cyclic block designs [J].Congressus Numerantium, 1987, 58: 175-192.

[38] AMINI A, MONTAZERHODJAT V, MARVASTI F.Matrices with small coherence using parry block codes [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(1): 172-181.

[39] LI S X, GAO F, GE G N, et al.Deterministic construction of compressed sensing matrices via algebraic curves [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2012, 58(8): 5035-5041.

[40] GE X, XIA S T.LDPC codes based on Berlekamp-Justesen codes with large stopping distances [C]// ITW’06: Proceedings of the 2006 IEEE Information Theory Workshop.Piscataway, NJ: IEEE, 2006: 214-218.

[41] DIMAKIS A G, SMARANDACHE R, VONTOBEL P O.LDPC codes for compressed sensing [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2010, 58(5): 3093-3114.

[42] DO T T, TRAN T D, LU G.Fast compressive sampling with structurally random matrices [C]// Proceedings of the 2008 IEEE International Conference on Acoustics.Piscataway, NJ: IEEE, 2008: 3369-3372.

[43] 李浩.用于壓縮感知的確定性測量矩陣研究[D].北京：北京交通大學,2011:26-38.(LI H.Research on deterministic measurement matrix for compressed sensing [D].Beijing: Beijing Jiaotong University, 2011: 26-38.)

[44] BAJWA W U, HAUPT J D, RAZ G M, et al.Toeplitz-structured compressed sensing matrices [C]// SSP’ 07: Proceedings of the 2007 IEEE/SP 14th Workshop on Statistical Signal Processing.Washington, DC: IEEE Computer Society, 2007: 294-298.

[45] SALIGRAMA V.Deterministic designs with deterministic guarantees: Toeplitz compressed sensing matrices, sequence design and system ID [J].IEEE Transactions on Information Theory, 2012, 99(PP): 1-1.

[46] SEBERT F, ZOU Y M, YING L.Toeplitz block matrices in compressed sensing and their applications in imagine [C]// Proceedings of the 2008 International Conference on Information Technology and Applications in Biomedicine, Piscataway, NJ: IEEE, 2008: 47-50.

[47] SUN J M, WANG S, DONG Y.Sparse block circulant matrices for compressed sensing [J].IET Communications, 2013, 7(13): 1412-1418.

[48] 夏樹濤,劉璐,劉鑫吉.基于Berlekamp-Justesen碼的壓縮感知確定性測量矩陣的構造[J].電子與信息學報,2015,37(4):763-769.(XIA S T, LIU L, LIU X J.Deterministic constructions of compressive sensing matrices based on Berlekamp-Justesen codes [J].Journal of Electronics & Information Technology, 2015, 37(4): 763-769.

[49] ELAD M.Optimized projections for compressed sensing [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(12): 5695-5702.

[50] 張勁東,張弓,潘匯,等.基于濾波器結構的壓縮感知雷達感知矩陣優(yōu)化[J].航空學報,2013,34(4):866-868.(ZHANG J D, ZHANG G, PAN H, et al.Optimized sensing matrix design of filter structure based compressed sensing radar [J].Acta Aeeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(4): 866-868.)

[51] LI B, SHEN Y, LI J.Dictionaries construction using alternating projection method in compressive sensing [J].IEEE Signal Processing Letters, 2011, 18(11): 662-666.

[52] 趙瑞珍,秦周,胡紹海,等.一種特征值分解的測量矩陣優(yōu)化方法[J].信號處理,2012,38(5):654-656.(ZHAO R Z, QIN Z, HU S H, et al.An optimization method for measurement matrix based on eigenvalue decomposition [J].Signal Processing, 2012, 38(5): 654-656.)

[53] DUARTE-CARVAJALINO J M, SAPIRO G.Learning to sense sparse signal： simultaneous sensing matrix and sparsifying dictionary optimization [J].IEEE Transactions on Imagine Processing, 2009, 18(7): 1395-1408.

[54] ABOLGHASEMI V, SAIDEH F, BAHADOR M.On optimization of the measurement matrix for compressive sensing [C]// EUSIPCO 2010: Proceedings of the 18th European Signal Processing Conference, 2010:23-27.

[55] ZHANG J D, ZHU D Y, ZHANG G.Adaptive compressed sensing radar oriented towards cognitive detection in dynamic sparse target scene [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(4): 1718-1729.

This work is supported by the Natural Science Foundation of China (E51305454).

WANG Qiang, born in 1992, M.S.candidate.His research interests include signal processing, data compression.

ZHANG Peilin, born in 1955, Ph.D., professor.His research interests include machine condition monitoring, fault diagnosis.

WANG Huaiguang, born in 1979, Ph.D., lecturer.His research interests include signal processing, data compression.

YANG Wangcan, born in 1988, Ph.D.candidate.His research interests include fault diagnosis, pattern recognition.

CHEN Yanlong, born in 1987, Ph.D.candidate.His research interests include fault diagnosis, signal processing.

Survey on construction of measurement matrices in compressive sensing

WANG Qiang, ZHANG Peilin*, WANG Huaiguang, YANG Wangcan, CHEN Yanlong

(DepartmentofVehiclesandElectricalEngineering,OrdnanceEngineeringCollege,ShijiazhuangHebei050003,China)

The construction of measurement matrix in compressive sensing varies widely and is on the development constantly.In order to sort out the research results and acquire the development trend of measurement matrix, the process of measurement matrix construction was introduced systematically.Firstly, compared with the traditional signal acquisition theory, the advantages of high resource utilization and small storage space were expounded.Secondly, on the basis of the framework of compressive sensing and focusing on four aspects: the construction principle, the generation method, the structure design of measurement matrix and the optimal method, the construction of measurement matrix in compressive sensing was summarized, and advantages of different principles, generations and structures were introduced in detail.Finally, based on the research results, the development directions of measurement matrix were prospected.

Compressive Sensing (CS); measurement matrix; Restricted Isometry Property (RIP); signal reconstruction; signal acquisition

2016-08-06;

2016-09-06。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(E51305454)。

王強(1992—)，男，山東棲霞人，碩士研究生，主要研究方向：信號處理、數據壓縮； 張培林(1955—)，男，安徽太和人，教授，博士，主要研究方向：機械狀態(tài)監(jiān)測、故障診斷； 王懷光(1979—)，男，河北石家莊人，講師，博士，主要研究方向：信號處理、數據壓縮； 楊望燦(1988—)，男，河北辛集人，博士研究生，主要研究方向：故障診斷、模式識別； 陳彥龍(1987—)，男，四川資陽人，博士研究生，主要研究方向：故障診斷、信號處理。

1001-9081(2017)01-0188-09

10.11772/j.issn.1001-9081.2017.01.0188

TP301.6

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