黨文靜，李德權(quán)，韋 慧

（安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001）

基于M-S模型的三種圖像分割算法的比較

黨文靜，李德權(quán)*，韋 慧

（安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001）

M-S模型的水平集圖像分割方法依賴于圖像同質(zhì)區(qū)域的全局信息，因而分割過程時間效率較低。為了提高計算效率，該方法在圖像處理領(lǐng)域得到很多改進。本文在簡化的M-S模型即C-V模型的基礎(chǔ)上，討論了現(xiàn)有3種改進分割演化算法，即：去掉C-V模型中的正則項；用| ?φ|取代狄拉克函數(shù),使得方法具有更好的全局優(yōu)化性；加入梯度局部項，使之適合處理弱邊緣和邊緣斷裂的圖像。最后，通過3個實例進一步驗證了各算法的優(yōu)劣性以及適用性范圍。

M-S模型；C-V模型；水平集方法；圖像分割；梯度

1988年Osher和Sethian提出了關(guān)于幾何變形模型的水平集方法[1]。由于水平集方法具有自由改變曲線的拓撲結(jié)構(gòu)，易于數(shù)值求解等優(yōu)點，目前水平集方法在眾多領(lǐng)域，尤其是于圖像分割處理方面得到廣泛應(yīng)用。水平集方法被引入應(yīng)用于圖像分割后，關(guān)于水平集方法的區(qū)域型模型成為近年來的研究熱點。Mumford-Shah模型(簡稱MS模型)[2]是最早的基于區(qū)域分割的幾何主動輪廓模型，通過構(gòu)造如下能量泛函來同時實現(xiàn)圖像的光滑和分割：

式中，u0(x,y)是待優(yōu)化的輸出圖像，Ω為圖像u0(x,y)的定義域，C是待優(yōu)化的閉合曲線，它將圖像的定義域Ω，劃分為兩部分Ω-(C的內(nèi)部)和 Ω+(C的外部)；要求u(x,y)是分段光滑函數(shù)，即| |?u(x,y)只允許在曲線C上有很大的值；要求輸出圖像u0(x,y)與輸入圖像u(x,y)非常接近，即數(shù)據(jù)保真項；μ·Length(C)要求閉合曲線C足夠平滑且盡可能短。該模型依賴于圖像同質(zhì)區(qū)域的全局信息，因而對于處理強噪聲、邊緣模糊或邊緣不連續(xù)圖像具有較好的分割結(jié)果，突破了經(jīng)典模型基于局部信息的局限性限制。由于M-S模型是通過幾何測度項去控制圖像中的邊緣等跳躍部分，其數(shù)值逼近或數(shù)值解不易求出。因此，針對該問題，Chan和Vese提出一種簡化的M-S分割模型，即不依賴梯度的主動輪廓水平集算法(簡稱C-V模型)[3]。

C-V模型中圖像u0(x,y)的定義域Ω被閉合曲線C劃分為兩個同質(zhì)區(qū)域，各個區(qū)域的灰度均值為c1和c2，其分割的能量泛函構(gòu)造如下：

其中，μ≥0，ν≥0，λ1≥0，λ2≥0為各個能量項權(quán)重系數(shù)。當(dāng)閉合曲線C即輪廓線位于兩個同質(zhì)區(qū)域的邊界時，該能量泛函達到最小值。該模型需要根據(jù)輪廓內(nèi)外圖像的灰度均值去描述圖像，而實際中大部分圖像都無法滿足該條件。因此，C-V模型較適合于處理二值圖像，很難將其推廣到一般圖像的分割處理。

為了更精確地提取目標(biāo)圖像的輪廓，研究者在C-V模型算法的基礎(chǔ)上做了各種改進，使得改進后的方法能夠解決更多復(fù)雜的圖像分割問題。Darolti等人[4]提出了基于局部區(qū)域描述器的算法；Wang等人[5]提出了融合新的局部項和全局項的算法；Suk-Ho等人[6]去掉了C-V模型中的正則項；Marquina-Osher[7]用C-V模型中的| |?φ 取代狄拉克函數(shù)δ(φ)，大大提高了時間效率；朱峰等人[8]提出了在C-V模型中加入梯度項，提高了圖像分割的整體性能。本文對其中的三種改進算法，即Suk-Ho、Marquina-Osher以及朱峰等人的算法進行了討論，并給出實例驗證各算法分割不同類型圖像的效果。

1 C-V模型的求解及其三種改進算法

本節(jié)主要介紹了C-V模型的能量泛函極小值的求解方法，并簡要介紹了Suk-Ho、Marquina-Osher以及朱峰的三種改進算法。

1.1 C-V模型的求解

根據(jù)水平集方法，極小化C-V模型的能量泛函，采用有限差分法[9]求解演化方程，并給出方程的離散格式。

Siddiqi等人[10]將海氏函數(shù)狄拉克函數(shù)引入C-V模型的能量泛函中，將式(2)改寫為：

采用歐拉-拉格朗日方法求解式(3)的能量泛函極小值，解為：

式中，φ是輪廓線C所構(gòu)成的水平集函數(shù)，初始條件φ(x,y,0)=φ0(x,y)。

本文采用有限差分法對式(6)進行離散求解，其離散格式如下：

1.2 基于C-V模型的三種改進分割算法

下面介紹基于C-V模型的三種改進的圖像分割算法，三種改進算法中演化方程的離散格式同樣采用有限差分法。

算法1（Suk-Ho等人[6]）：去掉C-V模型中的正則項。該算法將式(6)中的演化曲線C的長度項Length(C)和C內(nèi)部區(qū)域的面積項Area(inside(C))去掉，其演化方程變?yōu)椋?/p>

由式(4)、(5)和(8)可看出，該算法在曲線演化過程中僅利用了圖像的全局特征得到圖像全局優(yōu)化邊界線。采用該方法處理二值圖像可得到其準(zhǔn)確邊界，但對于非二值圖像則只能得到圖像的一個粗分割輪廓，演化曲線會停留在目標(biāo)邊界的附近，無法達到圖像的實際邊緣輪廓。該算法利用了圖像的全局信息，因此和初始輪廓的選取無關(guān)。

算法 2（Marquina-Osher[7]）：用 C-V模型中|?φ|替代狄拉克函數(shù)δ(φ)傳統(tǒng)模型中狄拉克函數(shù)可能會導(dǎo)致演化曲線無法到達圖像邊緣的情況，Marquina-Osher將傳統(tǒng)模型中狄拉克函數(shù)替換成距離函數(shù)梯度的模值即，由此演化方程變?yōu)椋?/p>

上式中的兩個未知參數(shù)c1，c2的計算同式(4)，(5)。當(dāng)| ?φ|≈1，可消除狄拉克函數(shù)對非零水平集的抑制。對于遠離演化曲線的圖像邊緣，由于| ?φ|的絕對值很大，可能會使得距離函數(shù)φ的符號取反向。這樣，該算法可以檢測出遠離演化曲線的圖像內(nèi)外部邊緣。因此該改進算法比算法1具有更好的全局優(yōu)化特性。

該改進方法需要在整個定義域Ω內(nèi)不斷的更新水平集函數(shù)來求解，因此所需的計算量較大，但是該算法是基于全局信息的演化方法，因此可在較短的演化時間內(nèi)達到較為理想圖像分割結(jié)果。

算法3（朱峰等人[8]）：在C-V模型中加入局部梯度項。從C-V模型的能量泛函式(2)可知，Length(C)，Area(inside(C))分別是演化曲線的邊界長度和邊界的內(nèi)部區(qū)域面積，作用僅僅是保持圖像邊界的光滑，不含邊界附近的局部特征；而式(2)中的后兩項

是背景圖像和目標(biāo)圖像的區(qū)域信息，具有全局特征，是曲線演化的主要驅(qū)動力，因此可以看出C-V模型不具有局部優(yōu)化的作用。

圖像梯度是描述圖像局部信息的重要特征，在曲線演化過程中具有重要的作用。為使輪廓線在演化過程中既受到全局特征的約束，又受局部特征的影響，提出了在式(2)中的Length(C)使用演化曲線C邊界項長度的求長線積分式，在邊界長度積分中增加含有圖像梯度信息的勢函數(shù)g(x,y)[11]作為權(quán)值的加權(quán)長度積分，g(x,y)的定義為：

其中，σ＞0，p≥1，Gσ(x,y)?u0(x,y)指圖像u0(x,y)和高斯函數(shù)的卷積，表示對圖像的平滑。由定義可知，在圖像同質(zhì)區(qū)域內(nèi)部g(x,y)的值是正的，在圖像的邊界時值為0。因此，改進后式(2)中第一項Length(C)不僅具有光滑作用，還具有局部調(diào)節(jié)能力。

綜上可得該算法的能量泛函可表示為：

對該式用歐拉-拉格朗日方法推導(dǎo)出該算法的演化方程為：

基于梯度的算法充分利用圖像的局部邊緣信息特征項和全局區(qū)域信息特征項，在曲線演化過程中將同時考慮全局和局部特征項，因此其分割效果更好。

2 實例分析

下面通過幾個實例來比較本文所提到的3種改進算法處理圖像分割問題的優(yōu)缺點，比較的指標(biāo)是各算法的演化速度以及最終的分割結(jié)果。

為使結(jié)果比較可靠，實驗中設(shè)置相同的相關(guān)參數(shù)，初始條件。時間步長Δt=0.1，網(wǎng)格步長h=1，參數(shù)λ1=λ2=ε=1。

圖1是對灰度均勻圖像(大小61×64)進行的分割實驗，其中圖1(a)圓曲線表示隨機選取的初始輪廓，圖1(b)-(d)分別是三個算法演化10 s后的輪廓結(jié)果。由圖可知，算法2在演化10 s后已經(jīng)能夠完整地提取到目標(biāo)圖像的輪廓，而算法1、3的演化曲線此時還未收斂到目標(biāo)圖像的邊緣。由此例可知，算法2的演化速度較算法1、3要快。

圖 2(a)-(c)是3種算法分別演化 25 s、1 s、300 s后的分割結(jié)果。從演化收斂速率來看，算法2最高，算法1次之。算法2用| | Δφ代替了狄拉克函數(shù)，消除了狄拉克函數(shù)對非零水平集的抑制，較另兩個算法具有更好的全局優(yōu)化特性，其分割速度較快；算法1只是利用了圖像的全局信息，沒有演化曲線的長度項和區(qū)域面積兩個正則項，不能保證圖像邊緣的光滑性，使得分割速度相對較慢；算法3雖然利用了圖像的全局特征和局部特征，但在演化的過程中無法有效的平衡全局項和局部項的相互影響，大大減緩了演化速度。

圖3 是對兩個細胞組成的圖像(大小65×83)進行分割，其中圖3(a)是原始圖像和初始輪廓線(隨機選取)，圖3(b)-(d)分別是三種算法演化200 s后的曲線演化結(jié)果。由圖可知，算法3提取出了大部分的細胞區(qū)域，分割結(jié)果相對滿意，適合處理帶有弱邊緣的圖像；算法1、2在分割的過程中，將背景和目標(biāo)的過渡區(qū)域當(dāng)成了目標(biāo)，導(dǎo)致錯誤的分割，而算法2也因無法自動檢測出帶有空洞目標(biāo)的內(nèi)部區(qū)域，使得分割結(jié)果更加不理想。

圖4是對醫(yī)學(xué)MR圖像(大小600×546)進行的分割實驗，其中圖4(a)是腦部MR圖像的初始化，圓曲線是初始輪廓(隨機選取)，圖4(b)-(d)分別是三種算法演化300 s的曲線演化結(jié)果。由圖可知，算法2的輪廓提取相對來說較完整，而算法1和3只提取了圖像的部分輪廓，分割效果不是很好，因為算法2可以檢測出遠離初始輪廓的內(nèi)外部邊緣，所以比其他兩個算法有更好的全局優(yōu)化特性。

3 小結(jié)

本文在C-V模型的基礎(chǔ)上討論了三種改進的分割演化算法處理不同類型圖像的效果，在理論分析的基礎(chǔ)上給出實例進行驗證。本文所討論的三種改進算法僅利用圖像全局特征，因此初始輪廓的形狀、位置都和分割結(jié)果無關(guān)，各算法的初始輪廓可以隨機選取。通過幾個實例，發(fā)現(xiàn)算法1和算法2比較適用于灰度均勻圖像，算法3對弱邊緣和邊緣斷裂的圖像分割效果相對較好。需要指出的是：本文主要考慮了圖像輪廓曲線的演化速率以及算法的最終分割效果，而對各算法用于處理噪聲圖像、拓撲結(jié)構(gòu)復(fù)雜的圖像等問題將是我們下一步研究的內(nèi)容。

[1]Osher S,Sethian J A.Fronts propagating with curvature-dependent speed:Algorithms based on Hamilton-JacobiFormulation [J].Journalof Computational Physics.1988,79:12-49.

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[3]Chan T F,Vese L A.Active contours without edges[J]. IEEE Transactions on Image Processing,2001,10(2): 266-277.

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[9]王大凱，侯榆青，彭進業(yè).圖像處理的偏微分方程方法[M].北京：科學(xué)出版社，2008：28-35．

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Comparison of three image segmentation algorithms based on M-S model

DANG Wen-jing,LI De-quan*,WEI Hui
(College of Science,Anhui University of Science and Technology,Huainan Anhui 232001,China)

The level set image segmentation method of M-S model depends on the global information of image homogeneous region,thus the time efficiency in segmentation process is low.To improve the computational efficiency,this method has been improved by many researchers in the field of image processing.In this paper,the advantages and disadvantages of three kinds of improved segmentation evolutionary algorithms based on the C-V model is discussed:the algorithm based on the C-V model without the regularization term;the algorithm of replacing the Dirac function by| |?φ for the purpose of better global optimization;the algorithm of adding the local gradient term suitable for dealing with image of weak edges and edges fracture.Finally,three examples is presented to further illustrate the efficiency and the range of applicability of the algorithms.

M-S model;C-V model;level set method;image segmentation;gradient

TP391.41

A

1004-4329（2017）01-080-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-080-05

2016-12-06

國家自然科學(xué)基金項目(61472003，11601007)資助。

黨文靜(1987- )，女，碩士生，研究方向：圖像分割。

李德權(quán)(1973- )，男，博士，教授，研究方向：多個體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制、分布式優(yōu)化。Email:leedqcpp@126.com。