湖北省水果湖高級中學(430071)
邱俊逸●
不等式恒成立問題的解題技巧分析
湖北省水果湖高級中學(430071)
邱俊逸●
不等式是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容之一,其中又以不等式恒成立問題最為重要.它在眾多的知識板塊均有著廣泛的運用,是處理問題的常用方法之一.近年來,不等式恒成立問題已逐漸成為了高考數(shù)學的熱門考點,因此,本文著重對不等式恒成立問題的解題技巧進行了分析.
不等式恒成立;解題技巧;高中數(shù)學
近年來,不等式恒成立問題逐漸成為了高考數(shù)學的熱門考點.其題型靈活多變,又常常出現(xiàn)在考高的壓軸題型中,因此,不等式恒成立問題常常讓很多同學在考場中心生畏懼,成為高中數(shù)學學習的一個瓶頸.因此,現(xiàn)結合自身學習經(jīng)驗,對不等式恒成立問題的解題技巧進行了簡要探討,希望對一些同學解題能力的提升有所助力.
變量轉(zhuǎn)換法在不等式恒成立問題中十分常見,其主要用于參數(shù)和變量相結合的問題,在這類問題中,我們可以根據(jù)具體的題設條件,將參數(shù)和變量相互轉(zhuǎn)換,從而達到簡化解題過程中的目的.
分析 本題是一道典型的含參變量的問題,若按照常見方法進行求解,則需對a在a=0和a≠0兩種不同的情況下展開討論.當a≠0時,又涉及到二次函數(shù)的相關知識點,從而使解題過程變得復雜.但如果轉(zhuǎn)換變量,將x看成參數(shù),a看成變量,這樣就將二次函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù),從而起到簡化解題過程的目的.
點評 在涉及到此類含有兩個字母的不等式恒成立問題中,且其中一字母取值范圍已經(jīng)告知的情況下,可通過變量轉(zhuǎn)換的方法,將函數(shù)進行改寫,從而實現(xiàn)對討論函數(shù)的簡化,可快速對問題進行求解.
函數(shù)性質(zhì)是對函數(shù)特征的具體表征,因此,其常常結合不等式恒成立問題來設計題目.遇到這類問題時,可以結合函數(shù)的性質(zhì)展開討論,例如將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,這樣一來就能使解題思路更加清晰.
例2 已知在函數(shù)f(x)=x3+ax+x+3中,a為實數(shù),如果f(x)在區(qū)間(-2/3,-1/3)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù),試求a的取值范圍.
分析 該題已告知自變量的范圍,因此,學生在解題過程中只需考慮對變量進行討論,同時要注意二次函數(shù)的零點分布問題以及函數(shù)的一些特殊點,這樣一來,就能使問題得到簡化.
解 因為函數(shù)f(x)=x3+ax+x+3在區(qū)間(-2/3,-1/3)內(nèi)是減函數(shù),所以在區(qū)間(-2/3,-1/3)內(nèi),對函數(shù)求導,則有:f′(x)=3x2+2ax+1≤0恒成立.
點評 在此類不等式恒成立問題中,首先要熟悉函數(shù)的相關性質(zhì),再結合函數(shù)的性質(zhì),進行求解,可使解題思路更加清晰,同時要注意函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的分布情況.
在不等式恒成立問題中,常常出現(xiàn)一個已知范圍的變量和一個需要求解范圍的變量,這時可以先將需要求解的變量作為參數(shù),已知范圍的參量作為變量,再對方程進行恒等變形,最后將問題轉(zhuǎn)化成為與函數(shù)最值相比較的問題.如將參數(shù)分離為:a>f(x)或者a 分析 由題設條件可知,h與f均為未知量,且其中f的取值范圍已告知,所以,可將h看做參數(shù),f作為變量,然后將h與f進行分離,構造關于f的函數(shù)表達式,進而可求出h的取值范圍. 令G(f)=(f2-2f)/(f-lnf),對G(x)進行求導,利用函數(shù)導數(shù)性質(zhì),求出其最小值,從而可解出h的取值范圍為:h≤-1. 點評 參數(shù)分離在不等式恒成立問題中較為常用,其目的是實現(xiàn)對參數(shù)的分離,從而將問題回歸到對函數(shù)討論的本質(zhì)上來,可實現(xiàn)對解題過程的清晰化.但在進行恒等變形的時,需要注意符號的變化情況,且注意對可能存在的情況進行分類討論. [1]吳永貴.高中數(shù)學不等式恒成立問題的解題思路分析[J].科學中國人,2016,12:342. [2]龔小霞.關于高中數(shù)學不等式恒成立問題的解題方法分析[J].數(shù)理化解題研究,2015,19:9. [3]郭喜紅.高中數(shù)學不等式恒成立問題的解題思路研究[J].數(shù)理化解題研究(高中版),2013,12:22. G632 B 1008-0333(2017)07-0051-01