山西省芮城縣芮城中學(xué)(044600)

劉書寧●

試論高中數(shù)學(xué)競賽解題技巧

山西省芮城縣芮城中學(xué)(044600)

劉書寧●

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)競賽發(fā)揮著重要的補(bǔ)充效用，對競賽解題思想和技巧的探討是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個重要內(nèi)容.本文從高中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽解題技巧的重要性出發(fā)，從解題思維和命題解析兩個方面探討具體的解題技巧.

高中數(shù)學(xué)；競賽；解題技巧

一、高中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽解題的重要性

在準(zhǔn)備參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽過程中，我感覺到我同大多數(shù)同學(xué)一樣，對數(shù)學(xué)競賽存在畏難、畏懼心理.只有更科學(xué)地改進(jìn)和創(chuàng)新既有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式和方法，更好地掌握高中數(shù)學(xué)競賽解題技巧，以便更好地把抽象性概念轉(zhuǎn)變成個人理解和數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而促進(jìn)我們分析和解決實(shí)際問題的能力，實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維的協(xié)調(diào)、全面發(fā)展.

二、高中數(shù)學(xué)競賽解題技巧解析

1.命題解析之演繹深化

對于競賽數(shù)學(xué)題目，要想快而準(zhǔn)地解答，首要任務(wù)就是對命題進(jìn)行解析，以明確問題，明晰條件，為解題奠定基礎(chǔ).演繹深化是對競賽數(shù)學(xué)題目分析的重要方法.其定義就是以一般性、常規(guī)性且正確的基本問題作為出發(fā)點(diǎn)，基于邏輯思維循序漸進(jìn)地演繹和深化數(shù)學(xué)競賽題目.和傳統(tǒng)解題技巧是相反的，是基于邏輯來分析和掌握問題實(shí)質(zhì)，即從定理、圖形、公式、具體問題等，自淺入深逐步演繹深化出新問題.有諸多數(shù)學(xué)解題技巧，比如：數(shù)形結(jié)合、聯(lián)想類比等，均可自反向應(yīng)用到該技巧中.

注:本題通過演繹配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪.一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開.

2.解題策略之局部思維

(1)分解成多個局部

高中數(shù)學(xué)競賽中有諸多綜合性題目，因題目相對復(fù)雜無法直接解出答案，而需要把具體問題分解成多個部分，再逐一解決進(jìn)而對整個問題進(jìn)行有效解決.但是要指出的是，局部問題之間存在一定的獨(dú)立性或者遞進(jìn)性，所以在解決局部問題過程中，必須準(zhǔn)確、妥善處理相互間的關(guān)系，進(jìn)而才可確保解題思路的正確.

例2 假設(shè)n(>4)是一個給定整數(shù)，且x1，x2，x3,…,xn∈[0，1]，請證明：

(2)反證法

反證法是高中數(shù)學(xué)中常用的解題方法，其基本思想就是先提出一個和命題結(jié)論完全相反的假設(shè)，再通過既有公式、定理等進(jìn)行一系列正確、嚴(yán)密的推理，由此得到新結(jié)論，而該結(jié)論或和既定條件矛盾，或和既定結(jié)論相矛盾，那么該結(jié)論就是正確的.此方法是高中競賽解題中常用的方法，能夠迅速明確命題中心內(nèi)容，找準(zhǔn)切入點(diǎn).應(yīng)用此方法的步驟有三個：反設(shè)；歸謬；結(jié)論.其中，反設(shè)是最為基本的，歸謬是關(guān)鍵.此方法應(yīng)用推導(dǎo)過程無固定方式，但必須基于反設(shè)進(jìn)行，要不然推導(dǎo)就失去意義.在推導(dǎo)中必須做到嚴(yán)謹(jǐn)，所得到的矛盾有這幾種情況：一是和命題已知條件相矛盾；二是和既有定理公式矛盾；三是和反設(shè)相矛盾；四是自相矛盾.

例3 在一次國際數(shù)學(xué)研討大會上有9名數(shù)學(xué)家做到一起，發(fā)現(xiàn)其中任意3個，最少2個可用一種語言交流.假如每名數(shù)學(xué)家至少會3種語言，那么請證明這9名數(shù)學(xué)家中，至少有3名能有一種語言進(jìn)行交流.

解析 可先假定不存在三個人能夠說相同一種語言，那么每種語言最多有2人會說，進(jìn)而每個人用一種語言最多可和另一人交流.

假設(shè)9名數(shù)學(xué)家分別為M1，M2，M3，…，M9，那么自M1最多能夠說3種語言，所以最少把和另外5個人，可設(shè)是M2，M3，M4，M5，M6不能進(jìn)行交流，同時又因?yàn)镸2也最多會3種語言，所以其至少和M3、M4，M5，M6中的任何一個人不能交流，可假設(shè)是M3，那么M1，M2，M3三個人相互間無法交流，而這和題設(shè)是相矛盾的，因此原來的結(jié)論是正確的.

總而言之，高中數(shù)學(xué)競賽解題過程，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法.

[1] 陳小瑩,陳宇.一道2014年波羅地海數(shù)學(xué)奧林匹克不等式的推廣[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015(11)

[2] 王慧興.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(196)[J]. 中等數(shù)學(xué)，2015(10)

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