云南省紅河哈尼族彝族自治州第一中學(xué)(661400)
馬 宏●
關(guān)于橢圓和雙曲線(xiàn)中點(diǎn)弦問(wèn)題的幾個(gè)結(jié)論
云南省紅河哈尼族彝族自治州第一中學(xué)(661400)
馬 宏●
橢圓和雙曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題是解析幾何中的一大重點(diǎn),也是一大難點(diǎn),同時(shí)也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).為此,我們有必要對(duì)它進(jìn)行深刻的研究.本人在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了以下幾個(gè)結(jié)論,供大家參考.
證明 由題意可設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:A(x0+Δx,y0+Δy),B(x0-Δx,y0-Δy),
兩式相減,并整理得b2x0Δx+a2y0Δy=0,
(這種證明方法稱(chēng)為“增量法”,在解決中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)發(fā)揮了巨大的作用,建議學(xué)生掌握.)
證明 同結(jié)論一(略).
證明 同結(jié)論一(略).
證明 同結(jié)論一(略)
參考答案解析:本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、設(shè)而不求、中點(diǎn)公式、斜率公式.
解 顯然a2-b2=9,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
點(diǎn)評(píng) 這種算法比較常規(guī),但對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求非常高,故很多學(xué)生都無(wú)法完成.
若用上面的結(jié)論,解法如下:
又a2-b2=9,解得a2=18,b2=9.
點(diǎn)評(píng) 這種算法簡(jiǎn)潔明了,對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求不高,而上面的結(jié)論也不難記憶,故大多數(shù)學(xué)生都能完成.
例題2 (2010年全國(guó)高考寧夏卷)已知雙曲線(xiàn)E的中心為原點(diǎn),F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn),過(guò)F的直線(xiàn)l與E相交于A,B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為M(-12,-15),則E的方程式為( ).
又a2+b2=9,解得a2=4,b2=5.
解決橢圓和雙曲線(xiàn)的中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)會(huì)經(jīng)常出現(xiàn),故掌握以上幾個(gè)結(jié)論是非常有必要的.
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1008-0333(2017)07-0013-02