王少璞+何麗

摘要：傳統(tǒng)的歐拉角插值方案在解決三維物體的旋轉(zhuǎn)上應(yīng)用范圍有限，且易生成錯(cuò)誤路徑，而四元數(shù)樣條插值以其快捷、準(zhǔn)確的特點(diǎn)正在受到越來越多的關(guān)注。本文以Unity3D作為開發(fā)平臺(tái)，研究了四元數(shù)的發(fā)展，設(shè)計(jì)了一套基于四元數(shù)樣條的坦克炮塔旋轉(zhuǎn)與瞄準(zhǔn)方案，最終實(shí)現(xiàn)了在移動(dòng)端通過觸摸屏操控坦克炮塔。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，四元數(shù)樣條插值較常規(guī)歐拉角插值而言描述準(zhǔn)確、變化流暢，可以使三維物體的旋轉(zhuǎn)在視覺上更加平滑、真實(shí)。

關(guān)鍵詞：計(jì)算幾何；Unity3D；四元數(shù)樣條；三維旋轉(zhuǎn)；

中圖分類號(hào)：TP319 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2016）34-0237-02

Abstract： The traditional scheme that Euler Angle interpolation can cover limited situations when dealing with the rotation of three-dimensional objects. However， the Quaternion Spherical and Quadrangle interpolation are drawing attention for its quickness and accuracy. Base on a development platform named Unity3D， this paper studies the development of the quaternion， and designs a scheme about tanks turret rotating and targeting based on Quaternion， and finally achieved a project that can control tanks turret through the touch screen with a mobile terminal. The experimental result shows that the Quaternion Spherical and Quadrangle interpolation can make the rotation of three-dimensional objects looks more smoothly and real thanks to its satisfactory precise which the Euler Angle cannot match.

Key words： Computing geometry； Unity3D； Quaternion Splines； 3D rotation

1 概述

在三維圖形系統(tǒng)的開發(fā)過程中，描述模型的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)成了計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要研究領(lǐng)域。隨著相關(guān)需求愈發(fā)地旺盛，先后出現(xiàn)了歐拉角、矩陣、四元數(shù)等方式，三種方式各有利弊。歐拉角由于其易于理解的特性而被較早地使用，但由于容易導(dǎo)致路徑錯(cuò)誤、自由度減少等缺陷而較少用于底層狀態(tài)控制。矩陣是目前計(jì)算機(jī)引擎底部使用較多的表達(dá)方法，但易導(dǎo)致矩陣蠕變，且使用不夠直觀，因此在許多軟件中都被隱藏在其他表達(dá)方式下[1]。四元數(shù)由于其易插值、增量旋轉(zhuǎn)速度快等特性而被廣泛使用，在許多軟件中均得到豐富的支持。

本次實(shí)驗(yàn)通過目前較為流行的開發(fā)平臺(tái)Unity3D進(jìn)行坦克炮塔的旋轉(zhuǎn)模擬操作，通過對比幾種方法的特性后使用四元數(shù)作為表達(dá)方式，并通過插值優(yōu)化了炮塔旋轉(zhuǎn)時(shí)視覺效果，使之更加流暢。

2 關(guān)鍵技術(shù)分析

2.1四元數(shù)

定義：四元數(shù)是一種三維空間中描述復(fù)數(shù)的表達(dá)方式，由四個(gè)元素，即一個(gè)實(shí)部和三個(gè)虛部組成，如下所示：

3 坦克炮塔旋轉(zhuǎn)及平滑處理實(shí)現(xiàn)

3.1旋轉(zhuǎn)

本次實(shí)驗(yàn)使用Unity3D打包生成的Android平臺(tái)應(yīng)用，其輸入方式為手指在觸摸屏的移動(dòng)。手指的移動(dòng)可以由一個(gè)二維數(shù)組（x，y）組成，其中x表示橫向移動(dòng)距離，y表示縱向移動(dòng)距離。應(yīng)用到坦克炮塔時(shí)可以認(rèn)為x表示炮塔的橫向旋轉(zhuǎn)幅度，y表示炮口的縱向旋轉(zhuǎn)幅度。雖然可以直接用于歐拉角體系，但其中產(chǎn)生的萬向節(jié)死鎖將導(dǎo)致生成錯(cuò)誤的更長的路徑，從而導(dǎo)致在瞄準(zhǔn)時(shí)浪費(fèi)寶貴的時(shí)間，因此使用四元數(shù)來描述坦克炮塔，并利用乘法將多個(gè)維度的旋轉(zhuǎn)綜合為單個(gè)旋轉(zhuǎn)序列，降低操作復(fù)雜度。

3.2平滑處理

在使用常規(guī)歐拉角解決方案時(shí)，火炮會(huì)在瞄準(zhǔn)較遠(yuǎn)目標(biāo)時(shí)產(chǎn)生劇烈的顫抖，因此需要較高的精確度以模擬炮口朝向在不同時(shí)刻的狀態(tài)。

實(shí)驗(yàn)中炮塔的初狀態(tài)和末狀態(tài)分別為此時(shí)炮塔的方位和期望方位，炮塔從初狀態(tài)旋轉(zhuǎn)至末狀態(tài)往往需要一定的時(shí)間，所以需要在炮塔的旋轉(zhuǎn)過程中采用樣條插值。由于Unity3D已經(jīng)提供了完善的四元數(shù)保存方案，所以數(shù)據(jù)在讀取和傳入時(shí)無需更改形式，通過FixedUpdate（）函數(shù)調(diào)用機(jī)制[5]，可以在每一定的時(shí)間間隔后進(jìn)行一次采樣，計(jì)算整個(gè)樣條后插值改變炮塔方位。與歐拉角方案對比，可明顯看出采用Squad樣條的炮塔旋轉(zhuǎn)更加平滑，并且在瞄準(zhǔn)較遠(yuǎn)距離目標(biāo)時(shí)不易發(fā)生顫抖現(xiàn)象，對坦克狀態(tài)的模擬更加真實(shí)。實(shí)驗(yàn)效果如圖所示。

4 結(jié)論

本文主要研究了基于四元數(shù)的三維物體旋轉(zhuǎn)。借助Unity3D平臺(tái)較為完善的四元數(shù)支持，完成了使用觸摸屏指定任意目標(biāo)的坦克炮塔旋轉(zhuǎn)控制，并通過插值算法使?fàn)顟B(tài)之間的變化平滑流暢，通過四元數(shù)樣條生成一條類似曲線替代了普通線性插值，從而大大減少了瞄準(zhǔn)遠(yuǎn)處目標(biāo)時(shí)帶來的顫抖現(xiàn)象。

四元數(shù)的諸多特性克服了傳統(tǒng)歐拉角表示下的一些無法避免的問題，但本身也存在著誤差累積、不易理解等缺陷。但是瑕不掩瑜，隨著時(shí)間的發(fā)展和相關(guān)知識(shí)體系的完善，四元數(shù)無疑會(huì)在三維圖形的表示和操作方面擴(kuò)大使用范圍。

參考文獻(xiàn)：

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