武漢市黃陂區(qū)前川街道魯臺(tái)中學(xué)(432200)
沈永寬●
化靜為動(dòng)求線段長度最值的嘗試
武漢市黃陂區(qū)前川街道魯臺(tái)中學(xué)(432200)
沈永寬●
求動(dòng)態(tài)問題中線段長度的最值是近年來數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容,對(duì)學(xué)生來說解題的難度較大.盡管老師用了不少的方法引導(dǎo)學(xué)生解題,但能“消化”的學(xué)生不多.本文談?wù)剺?gòu)建模型來攻克這一難關(guān).
線段長度;最值;動(dòng)態(tài)
某些動(dòng)態(tài)線段長度的最值,學(xué)生很難從靜止的圖形中求出來,甚至有時(shí)覺得束手無策.教師可運(yùn)用課件,適當(dāng)添加輔助線,讓圖形“動(dòng)”起來,在圖形運(yùn)動(dòng)的過程中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建三角形三邊關(guān)系,從而求出最值.
一個(gè)三角形的一邊和它所對(duì)的角為定值,則這個(gè)角的頂點(diǎn)的軌跡是以這邊為弦這個(gè)角為圓周角的兩條弧(特別當(dāng)這個(gè)角是直角時(shí),這個(gè)角的頂點(diǎn)在這邊為直徑的兩個(gè)半圓上).
由題目中的已知點(diǎn)或三角形作圓,再在圓中移動(dòng)線段或點(diǎn),根據(jù)圓形中直徑的長度大于弦的長度以及點(diǎn)到圓的最大距離和最小距離為經(jīng)過這點(diǎn)和圓心的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離,便可求得動(dòng)態(tài)線段的最值.
1.如圖,扇形OAB的半徑OA=2,M為弧AB上一點(diǎn),∠AOM=30°,P為弧BM上一點(diǎn),C為OP的延長線上一點(diǎn),且∠ACO=30°,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),則線段AC的最大值為____,最小值為____.先作△AOC的外接圓,再在圓上移動(dòng)C點(diǎn),通過觀察,發(fā)現(xiàn)當(dāng)AC為圓的直徑時(shí),AC的長度最大,最大值為4;當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到OM的延長線上時(shí),AC的長度最小,最小值為2.
三 、構(gòu)建動(dòng)態(tài)線段與已知線段長度的數(shù)量關(guān)系
在圖形運(yùn)動(dòng)的過程中,可以發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)線段的長度與某已知線段間存在一定的數(shù)量關(guān)系,再通過作輔助線,引導(dǎo)學(xué)生分析它們之間的關(guān)系.
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,4),P(1,0).B為y軸上的動(dòng)點(diǎn),以AB為邊構(gòu)造△ABC,使點(diǎn)C在x軸上,∠BAC=90°.M為BC的中點(diǎn),則PM的最小值為____.
此題有多種解法可以求解,運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解簡潔、明了,學(xué)生容易想到并能順利完成.可以用下面這種解法求解:過A作AM⊥y軸,垂足為M,過C作CN⊥AM,垂足為N,設(shè)OB=a,OC=b,由△ABM∽△CAN得,b=10-2a,則
當(dāng)然,用課件解決動(dòng)態(tài)問題的方法遠(yuǎn)不止這些,但只要課件設(shè)計(jì)得生動(dòng)、形象,又能將運(yùn)動(dòng)過程呈現(xiàn)出來,教師引導(dǎo)得法,學(xué)生的解題能力就能得到很好的培養(yǎng).
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[2]尚曉青.DGS技術(shù)與初中幾何教學(xué)整合研究[D].重慶:西南大學(xué)博士學(xué)位論文,2008
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