江蘇省天一中學(xué)高三八班(214000) 孫逸科 ●

高中數(shù)學(xué)中不等式的證明方法總結(jié)

江蘇省天一中學(xué)高三八班(214000) 孫逸科 ●

本文對(duì)高中數(shù)學(xué)中不等式證明方法進(jìn)行總結(jié)，針對(duì)不同類型題目采取有效的解題方法．

高中數(shù)學(xué);不等式;證明方法

不等式問題是高中數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)，并且解決方法有很多種．在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)應(yīng)不斷積累，做好總結(jié)，熟練掌握不等式的證明方法．

一、采用分析法證明不等式

在學(xué)習(xí)不等式的證明方法時(shí)，應(yīng)在學(xué)習(xí)過程中反思有哪些證明方法，以及每種方法的具體應(yīng)用和特點(diǎn)．在應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，應(yīng)熟練掌握關(guān)于不等式的知識(shí)，掌握分析法的用法．分析法的實(shí)際應(yīng)用就是通過從證明的結(jié)論考慮，然后求出能夠使結(jié)論成立的充分條件，再證明充分條件成立，從而保證要證明的結(jié)論成立．并且通過積極思考和探究，對(duì)新知識(shí)進(jìn)行充分的理解，創(chuàng)新性地用分析法證明不等式．

通過充分了解題意，從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行分析，逐步找到逆結(jié)論成立的必要條件，按照分析法的邏輯原理進(jìn)行分析，從而正確分析解決問題．同時(shí)應(yīng)了解不等式的實(shí)際問題，靈活應(yīng)用解題方法．

例2 建筑學(xué)中規(guī)定，住戶的住宅窗戶面積不能大于地板面積，同時(shí)窗戶面積和地板面積之比不能小于1:10，并且兩者的比值越大，采光效果就越好，問窗戶面積和地板面積等面積增加時(shí)，采光條件效果是好了還是壞了?

二、通過常數(shù)變易法證明不等式

常數(shù)變易法也是解決不等式問題的常用方法．一般是用來(lái)證明數(shù)值不等式，這種類型的需要作輔助函數(shù)來(lái)進(jìn)行證明．基本的證明步驟是:一將不等式中的某個(gè)常數(shù)變易為x，二對(duì)不等式進(jìn)行移項(xiàng)，通過移項(xiàng)使得不等式一端為0，另一端令其為F(x)，三求F'(x)或者F''(x)，然后判斷F'(x)或者F''(x)的符號(hào)．四通過利用F'(x)的單調(diào)性來(lái)得出數(shù)值不等式的證明．

例3 設(shè)e＜a＜b＜e2，證明ln2b－ln2a＞(b－a)．

分析 根據(jù)一般解題步驟，需要得出F'(x)、F″(x)等，直到能夠判斷出F'(x)的單調(diào)性，再利用端點(diǎn)值進(jìn)行大小比較．

證明:令F(x)=ln2x－ln2a－(x－a)(將b變易成x)．由于F'(x)=，則F″(x)=．當(dāng)x＞ e時(shí)，F(xiàn)″(x)＜0，因此當(dāng)x＞e時(shí)，F(xiàn)'(x)單調(diào)遞減，當(dāng)e＜x＜e2時(shí)，F(xiàn)'(x)＞ F'(e2)==0，即當(dāng) e＜x＜e2時(shí)，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增．由于F(a)=0，因此當(dāng)e＜a＜b＜e2時(shí)，有F(b)＞F(a)，即ln2x－ln2a－(x－a)＞0，因此ln2b－ln2a＞(b－a)．

合理應(yīng)用常數(shù)變易法能夠有效解決這一類型不等式證明，但在證明的過程中，應(yīng)注意合理應(yīng)用函數(shù)，準(zhǔn)確判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式．

三、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

導(dǎo)數(shù)是函數(shù)中的一個(gè)重要概念，并且很多不等式證明題型中會(huì)應(yīng)用到．導(dǎo)數(shù)在不等式中應(yīng)用的方式很多，一般有通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明，以及通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值來(lái)證明．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，需要先構(gòu)造函數(shù)，具體形式有直接構(gòu)造函數(shù)以及將不等式變形之后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明函數(shù)單調(diào)性．

例4 當(dāng)x∈(0，x)時(shí)，證明不等式sinx＜x．

證明 設(shè)F(x)=sinx－x，則F'(x)=cosx－1，因?yàn)閤∈(0，π)，所以F'(x)＜0，所以 F(x)=sinx－x在區(qū)間(0，π)上是單調(diào)遞減的，并且F(0)=0．所以F(x)=sinx－x＜F(0)=0．因此當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，sinx＜x成立．

通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值也是解決不等式問題的重要方法．根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求出函數(shù)的最值，當(dāng)求出此函數(shù)的最大值或者最小值時(shí)，不等式成立，從而得出不等式恒成立的結(jié)論．

例5 設(shè)n∈N，n≥3，證明2n＞2n+1．

證明 要證明2n＞2n+1，需要證明2n－2n－1＞0，n≥3時(shí)成立．設(shè) F(x)=2x－2x－1(x≥3)，則F'(x)= 2xln2－2(x≥3)，因?yàn)閤≥3，因此F'(x)=2xln2－2≥23ln2－2＞0，所以當(dāng)x大于等于3時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增的．所以函數(shù)最小值為F(3)=23－6－1=1＞0，因此n∈N，n≥3時(shí)，F(xiàn)(n)≥F(3)＞0，即n≥3時(shí)，2n－2n－1＞0成立．

總之，不等式形式多樣，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)不等式的內(nèi)容時(shí)，應(yīng)充分掌握對(duì)應(yīng)的各種方法，靈活判斷各種類型不等式題型的解題思路．

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