陜西省山陽縣城區(qū)第三中學(xué)(726400) 杜忠書 ●

解直角三角形與實(shí)際生活

陜西省山陽縣城區(qū)第三中學(xué)(726400) 杜忠書 ●

銳角三角函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的典范，涉及數(shù)學(xué)各個(gè)分支，在工程，測(cè)量，軍事，工業(yè)，農(nóng)業(yè)，航海，航空等領(lǐng)域都有應(yīng)用，特別是在日常生活中的應(yīng)用更加廣泛，因而，必須引起足夠的重視．下面舉幾例與同學(xué)們共賞．

例1 如圖1所示是某立式家具(角書櫥)的橫斷面，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案(角書櫥高2米，房間高2．6米，所以不從高度方面考慮方案的設(shè)計(jì))，按此方案可以使該家具通過如圖2中的長廊搬入房間，在圖2中把你的設(shè)計(jì)方案畫成草圖，并說明按此方案可把家具搬入房間的理由(注:搬動(dòng)過程中不準(zhǔn)拆卸家具，不準(zhǔn)損壞墻壁)．

思路解析 如說理圖所示，作直線AB，延長DC交AB于E，由題意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE= 0．5，DE=DC+CE=2．作DH⊥AB于H，則DH=DE·可按此方案設(shè)計(jì)圖將家具從長廊搬入房間．

答案:設(shè)計(jì)方案草圖如圖所示．

溫馨提示 本題是一道比較貼近生活的實(shí)際問題，重點(diǎn)考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的探究和創(chuàng)新能力．本題反映生活中常見的實(shí)際情況，很有創(chuàng)意，并充分體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的價(jià)值．

例2 如圖3所示，福潤萬家超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請(qǐng)你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算回答:小高身高1．78米，他乘電梯會(huì)有碰頭危險(xiǎn)嗎?姚明身高2．29米，他乘電梯會(huì)有碰頭危險(xiǎn)嗎?(可能用到的參考數(shù)值:sin27°=0．45，cos27°=0．89，tan27°=0．51)

思路點(diǎn)撥 本題是一道設(shè)計(jì)比較新穎的實(shí)際問題，要判斷乘電梯是否會(huì)碰頭，從圖形來看需要計(jì)算電梯和天花板之間的最小距離，然后與人的高度比較．

解 如圖3，作CD⊥AC交AB于D，則∠CAD=27°，在Rt△ACD中，CD=AC·tan∠CAB=4×0．51=2．05 (米)．所以小高不會(huì)有碰頭危險(xiǎn)，姚明則會(huì)有碰頭危險(xiǎn)．

例3 如圖4，已知某小區(qū)的兩幢10層住宅樓間的距離為AC=30m，由地面向上依次為第1層、第2層、…、第10層，每層高度為3m．假設(shè)某一時(shí)刻甲樓在乙樓側(cè)面的影長EC=h，太陽光線與水平線的夾角為 α．當(dāng) α= 30°時(shí)，甲樓樓頂B點(diǎn)的影子落在乙樓的第幾層?若α每小時(shí)增加15°，從此時(shí)起幾小時(shí)后甲樓的影子剛好不影響乙樓采光?

思路點(diǎn)撥 過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，本題可轉(zhuǎn)化為在Rt△BEF中解直角三角形求解，當(dāng)B點(diǎn)的影子落在C處時(shí)，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光．

解 過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，由題意，四邊形ACEF為矩形．∴EF=AC=30，AF=CE=h，∠BEF=α，∴BF=3 ×10－h(huán)=30－h(huán)．又在Rt△BEF中，即30－h(huán)=30tanα，解得h=30－30tanα．

當(dāng)B點(diǎn)的影子落在C處時(shí)，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光．此時(shí)，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴(45－30)/ 15=1(小時(shí))．故經(jīng)過1小時(shí)后，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光．

溫馨提示 本題是一道與實(shí)際生活密切聯(lián)系的應(yīng)用題，解決本題的關(guān)鍵要準(zhǔn)確找出所要解的直角三角形，如解Rt△BEF;其次要弄清題意，找出已知條件和未知條件關(guān)系，正確選擇銳角三角函數(shù)來求解．

例4 如圖5，某鄉(xiāng)村小學(xué)有A、B兩棟教室，B棟教室在A棟教室正南方向36米處，在A棟教室西南方向300米的C處有一輛裝載機(jī)以每秒8米的速度沿北偏東60°CF，100，的方向 行駛 若裝載機(jī)的噪聲污染半徑為 米試問A、B兩棟教室是否受到裝載機(jī)噪聲的影響?若有影響，影響的時(shí)間有多少秒?(計(jì)算過程中取1．7，各步計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù))

思路點(diǎn)撥 要判斷A、B兩棟教室是否受到裝載機(jī)噪聲的影響，只需分別算出兩棟教室到CF的距離，然后與100米進(jìn)行比較即可．若要計(jì)算影響時(shí)間，可根據(jù)勾股定理算出裝載機(jī)從開始影響到結(jié)束時(shí)之間的距離就行．

解 如圖6，過點(diǎn)C作直線AB的垂線交AB的延長線于D．

溫馨提示 本題將生活中常見的現(xiàn)象以數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出來，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)性，使同學(xué)們感到數(shù)學(xué)無處不在，充分體現(xiàn)了“關(guān)注對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題能力的考查”．

方法總結(jié) 以上幾題都是解直角三角形應(yīng)用題，解題時(shí)要善于將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素間的關(guān)系，即把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型(構(gòu)造直角三角形)，然后根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求解．解題時(shí)應(yīng)注意:(1)認(rèn)真分析題意，畫圖找出或構(gòu)建要解的直角三角形(或特殊的四邊形)．(2)選擇合適的邊角關(guān)系，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算．(3)按照題目要求的精確度確定答案并注明單位．

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