浙江省紹興市上虞區(qū)竺可楨中學(xué)(312352) 徐 駿 ●

利“刃”在手 化“折”成“直”
——例析坐標系中三角形周長最小值問題

浙江省紹興市上虞區(qū)竺可楨中學(xué)(312352) 徐 駿 ●

在近幾年的各地中考中，與線段相關(guān)的最值問題頻頻出現(xiàn)，已然成為一道亮麗的風(fēng)景線．而其中以平面直角坐標系為載體來設(shè)計三角形周長最小值問題，更是中考命題所關(guān)注的熱點之一．本文以近幾年中考題為例，歸納其類型與解法，供參考．

1．三角形的三個頂點中僅有一個頂點是動點

例1 (2015年河南省，有改動)如圖1，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A、C間的一個動點(含端點)，過點P作PF⊥BC于點F．點D、E的坐標分別為(0，6)，(－4，0)，連接PD，PE，DE．是否存在點P，使△PDE的周長最小?若存在，求出點P的坐標;若不存在，請說明理由．

如圖2，過E點作EG⊥BC于點G．當(dāng)E，P，F(xiàn)三點共線，即點P為EG與拋物線的交點時，EP+PF的值最小，此時，所以△PDE周長最小時點P的坐標為(－4，6)．

點評 本例三角形的三個頂點中，點P為動點，點D、E均為定點．由于DE的長為定值，欲使△PDE的周長最小，只需滿足PD+PE的值最小即可．進而利用“點P運動的過程中，PD與PF的差為定值”這一有力武器，將問題轉(zhuǎn)化為“求定直線BC上一動點F與直線外一定點E的距離的最小值”，最終借助“連結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”確定點P的位置．

例2 (2012年山西省，有改動)如圖3，在平面直角坐標系中，拋物線y=－x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．請在直線AC上找一點M，使△BDM的周長最小，求出M點的坐標．

分析 易知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，故直線AC的解析式為y= 3x+3．

如圖4，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B'，連接B'D，交AC于點M，則△BDM即為符合題意的周長最小的三角形．(證明如下:不妨在直線AC上取異于點M的任一點M'，連接B'M'，DM'，BM'．由對稱性可知:BM=B'M，BM' =B'M'，于是△BDM的周長=B'M+DM+BD，△BDM'的周長=B'M'+DM'+BD．而在△B'DM'中，B'M'+DM'＞B'D，即B'M'+DM'＞B'M+DM，所以△BDM'的周長大于△BDM的周長．)

若BB'交AC于點 E，則∠ABE=90°－∠CAO=∠ACO，BB'=2BE=2AB·cos∠ABE=2AB·cos∠ACO=2

過B'點作B'F⊥x軸于點F，則xB'=3－BF=3－BB'故，易求直線B'D的解析式為

點評 本例三角形的三個頂點中，點M為動點，點B、D均為定點，且均位于動點M所在直線AC的同一側(cè)．通過尋找定點B關(guān)于動點M所在直線AC的對稱點B'，將問題轉(zhuǎn)化為“求定直線AC上一動點M與直線異側(cè)兩定點B'，B的距離和的最小值”，從而可利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”加以解決(當(dāng)B'、M、D三點共線，即點M為直線B'D與直線AC的交點時，DM+BM的值最小，此時△BDM的周長最小)．

2．三角形的三個頂點中有兩個頂點是動點

例3 (2013年湖南張家界，有改動)如圖5，拋物線y =ax2+bx+c(a≠0)過點C(0，1)，頂點為Q(2，3)，點D在x軸正半軸上，且OD=OC．將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問:在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值?若存在，求出這個最小值;若不存在，請說明理由．

分析 存在．理由:如圖6，分別作點 C關(guān)于直線QE，x軸的對稱點C'，C″，連接C'C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，此時△PCF的周長等于線段C'C″的長．(證明如下:不妨在線段OD上取異于點F的任一點F'，在線段QE上取異于點P的任一點P'，連接CF'，CP'，F(xiàn)'P'，F(xiàn)'C″，P'C'．由軸對稱的性質(zhì)可知△P'CF'的周長=F'C″+F'P'+P'C'，而F'C″+F'P'+P'C'的值為折線段C'－P'－F'－C″的長，由兩點之間線段最短可知 F'C″+F'P'+P'C'＞C'C″，即△P'CF'的周長大于△PCF的周長．)

如圖6，過點Q作QG⊥y軸于點G，過點C'作C'H⊥y軸于點H，則△CGQ∽△CHC'，可得即，所以CH=C'H=4，C″H=CH+CC″=6．

所以，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為

點評 本例三角形的三個頂點中，點C為定點，點P、F均為動點，且分別在定直線QE、OD上，通過尋找定點C關(guān)于兩個動點所在直線的對稱點C'、C″，就得到由三條與△PCF三邊分別相等的線段組成的折線，然后借助“兩點之間線段最短”化“折”成“直”(當(dāng)C'、P、F、C″四點共線，即點P、F分別為直線QE、OD與直線C'C″的交點時，△PCF的周長最小)．

3．三角形的三個頂點都是動點

例4 (2015年遼寧沈陽，有改動)如圖7，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于B、C兩點(點B在點C的左側(cè))，與y軸交于點A．若點P是線段BC上的動點(點P不與點B、C重合)，點Q是線段AB上的動點(點Q不與點A、B重合)，點R是線段AC上的動點(點R不與點A、C重合)，請直接寫出△PQR周長的最小值．

分析 易求A(0，2)，B(－3，0)，C(1，0)，故AB=

如圖9，分別作點P關(guān)于直線AB，AC的對稱點P'， P″，連接P'P″，交AB于點Q，交AC于點R，則△PQR是過點P的△ABC的內(nèi)接三角形中周長最小的三角形，且△PQR的周長等于線段P'P″的長．

若PP'交AB于點D，PP″交AC于點E，連接DE，則∠ADP=∠AEP=90°，DP=DP'，EP=EP″，故P'P″=2DE．

延長DF交⊙F于點G，連接GE，則∠DEG=90°，∠BAC=∠DGE，所以△PQR的周長=P'P″=2DE=2DG ·sin∠DGE=2AP·sin∠BAC≥2AO·sin∠BAC=2×2×

如圖10，當(dāng)點P與點O重合時，△PQR的周長最小，最小值

點評 本例三角形的三個頂點均為動點，應(yīng)采取“以退為進”的策略，即:先假設(shè)P點的位置已經(jīng)確定(即視點P為一定點)，容易得出結(jié)論:待求三角形周長最小時，其周長等于線段P'P″的長，然后繼續(xù)探究點P的位置后，發(fā)現(xiàn)線段P'P″長度的最小值即為點A到x軸的距離．因為AP'=AP=AP″，∠P'AP″=2∠BAC，所以△AP'P″為等腰三角形，且其頂角∠P'AP″為定值．由于本例對解答過程不作要求，也可以根據(jù)“頂角為定值的等腰三角形底邊長的最小值由腰長的最小值來確定”這一經(jīng)驗來判定點P的位置．然而，對該例的思考卻不止于此，我們還可以再進一步探索BR和AC，CQ和AB的位置關(guān)系．參考本例分析問題的方法，我們可以得出這樣的結(jié)論:AP，BR，CQ為銳角三角形ABC的三條高，以P，Q，R三個垂足為頂點的三角形即為周長最小的內(nèi)接三角形．證明留待讀者自行完成．

通過上述問題的探究，我們可以發(fā)現(xiàn)，解決此類問題通?？梢圆扇〉牟呗允?把已知問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題，即關(guān)聯(lián)我們熟知的幾何基本模型，構(gòu)造一條以動點為轉(zhuǎn)折點的折線，從而為性質(zhì)的運用創(chuàng)造條件．如:解答例1時，需分析點在運動的過程中保持不變的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為“求定直線上一動點與直線外一定點的距離的最小值”問題，然后利用“垂線段最短”把折線化“折”成“直”．解答例2，例3時，則需牢牢抓住圖形的幾何特征，將問題轉(zhuǎn)化為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離之和的最小值”問題，借助軸對稱變換使兩定點與定直線的位置關(guān)系發(fā)生改變，即化“同”為“異”，最后利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”或“兩點之間線段最短”把折線化“折”成“直”．例4題目的背景看似復(fù)雜，但圖形上似乎可以捕捉到上述兩個幾何基本模型的“影子”，認清了這一點，便能使復(fù)雜問題簡單化，迅速找到問題的突破口．在平面幾何的教學(xué)中，教師要重視幾何基本模型的提煉，幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟模型的本質(zhì)特征，鼓勵學(xué)生嘗試從不同角度拓展模型，并在應(yīng)用中彰顯其魅力，從而促進學(xué)生解題經(jīng)驗的積累和思維水平的提升，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力．

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