郭今戈

(山西省太原市第五中學(xué),山西 太原 030001)

·問題討論·

非等質(zhì)量的多星系統(tǒng)及黑洞問題探討

郭今戈

(山西省太原市第五中學(xué),山西 太原 030001)

穩(wěn)定狀態(tài)下的雙星及多星系統(tǒng)的天體運(yùn)動(dòng)角速度相同,呈直線型或多邊形分布,這是多星系統(tǒng)保持穩(wěn)定的必要條件,分析多星問題的關(guān)鍵在于受力分析,清晰分辨萬有引力半徑與圓周運(yùn)動(dòng)的向心力半徑.本文重點(diǎn)分析穩(wěn)定狀態(tài)下非等質(zhì)量的多星及黑洞的運(yùn)動(dòng)問題．

穩(wěn)定狀態(tài)；非等質(zhì)量；多星問題

1 非等質(zhì)量的雙星系統(tǒng)

在銀河系中,雙星的數(shù)量非常多,研究雙星,對(duì)于了解恒星甚至銀河系的形成和演化過程的多樣性有重要的意義．雙星、多星天體之間的相互作用遵循萬有引力定律,運(yùn)動(dòng)分析中需使用牛頓第二定律建立方程組求解．

雙星系統(tǒng)中一個(gè)星體的萬有引力由另一個(gè)星體提供,雙星繞共同的質(zhì)心運(yùn)動(dòng).它們的向心加速度之比為它們質(zhì)量的反比．需要關(guān)注的是:行星圍繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng),或者衛(wèi)星繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),萬有引力作用的距離,剛好是行星(或衛(wèi)星)圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．但是在雙星系統(tǒng)中的引力作用的距離與雙星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑是不同的,雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度和周期是一定相同的．它們的線速度之比與其各自運(yùn)行的軌道半徑之比相同．

圖1 穩(wěn)定狀態(tài)下非等質(zhì)量雙星系統(tǒng)

例1.質(zhì)量為m1、m2的兩個(gè)星球組成雙星,如圖1所示,它們?cè)谙嗷ブg的萬有引力作用下繞兩星球連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),試分析它們各自運(yùn)動(dòng)的周期、半徑、線速度、向心加速度．

雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力,角速度與周期相等,T1=T2.根據(jù)萬有引力公式有

則有

m1r1=m2r2,即r1∶r2=m2∶m1.

由v=rω,則

v1∶v2=r1∶r2=m2∶m1.

由a=rω2,則

a1∶a2=r1∶r2=m2∶m1.

解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力,周期相等,角速度相等得出半徑之比、線速度之比、向心加速度之比．

例2.雙星系統(tǒng)由兩顆星體組成,兩星體在相互間萬有引力的作用下,分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn),雙星系統(tǒng)演化過程中,兩星體的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,經(jīng)過一段時(shí)間演化后,兩星體總質(zhì)量變?yōu)樵淼膋倍,兩星體之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍,則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期如何變化?

設(shè)該雙星系統(tǒng)的星體質(zhì)量分別為m1、m2,軌道半徑為R1、R2,兩星體的總質(zhì)量為M．由于他們之間距離恒定,因?yàn)殡p星在空間的繞向一定相同,同時(shí)角速度和周期也都相同．由萬有引力提供向心力可知，對(duì)m1星體有

對(duì)m2星體有

由R1+R2=l,m1+m2=M,聯(lián)立解得

小結(jié):穩(wěn)定狀態(tài)下非等質(zhì)量的雙星系統(tǒng),其運(yùn)動(dòng)的質(zhì)心是兩星體連線上的一點(diǎn),可將雙星分割成兩個(gè)獨(dú)立的星體繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的問題．

2 非等質(zhì)量三星系統(tǒng)

宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的,由質(zhì)量相等的3顆星組成的三星系統(tǒng),忽略其他星體對(duì)他們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本構(gòu)成形式,如圖2所示．第一種是3顆星體在同一直線上,兩顆星體圍繞中央的星體在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行,周期相同,中央星體靜止不動(dòng);第二種是三顆星體位于三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿等邊三角形的外接圓軌道運(yùn)行,三顆星體運(yùn)行周期相同．

圖2 規(guī)則三星系統(tǒng)

例3.由3顆星體構(gòu)成的系統(tǒng),忽略其他星體對(duì)它們的作用,存在著一種運(yùn)動(dòng)形式:3顆星體在相互之間的萬有引力作用下,分別位于等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)上,繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng),如圖3(a)所示．若A星體質(zhì)量為2m,B、C兩星體質(zhì)量均為m,三角形的邊長(zhǎng)為a,試分析A星體所受合力FA,B星體所受合力FB,C星體的軌道半徑RC,3星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T．

圖3 非等質(zhì)量三星系統(tǒng)

由萬有引力定律,A星體所受B、C星體引力大小為

如圖3(b)所示,則合力大小為

同理,B星體所受A、C星體引力大小為

由圖可知,圓心O在中垂線AD的中點(diǎn),由對(duì)稱性，有

3星體運(yùn)動(dòng)周期相同,對(duì)C星體:

3 通過雙星運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)黑洞

黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí),發(fā)現(xiàn)了LMC-3雙星系統(tǒng),它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成,兩星視為質(zhì)點(diǎn),不考慮其他天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),他們之間的距離保持不變,圖示如雙星系統(tǒng),由觀測(cè)可得可見星A的速率v和運(yùn)行周期T．

(1) 可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m的星體對(duì)它的引力,設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2,試求m,用m1、m2表示．

設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2,由題意知A、B角速度相同,設(shè)為ω,則有

FA=m1ω2r1,FB=m2ω2r2,FA=FB.

A、B之間距離為r,又r=r1+r2,由上述各式得,

由萬有引力FA=Gm1m2/r2,可得

(2) 試求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系．

由牛頓第二定律,有

(1)

(3) 恒星演化到末期,如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍,它將有可能成為黑洞,若可見星A的速率v=2.7×105m/s,運(yùn)行周期T=4.7π×105s,質(zhì)量m1=6ms,試估算暗星B有無可能是黑洞(G=6.67×10-11N·m2/kg2,ms=2.0×1030kg).

將m1=6ms,代入式(1)，得

設(shè)m2=nms(n>0)

(2)

若使式(2)成立,則n必大于2,即暗星B的質(zhì)量m2必大于2ms,由此得出,暗星B有可能是黑洞．

4 總結(jié)

多星系統(tǒng)各星體運(yùn)動(dòng)周期相同,其位置具有對(duì)稱性,這是多星系統(tǒng)保持穩(wěn)定的必要條件,受力分析需注意星體之間引力與提供向心力做圓周運(yùn)動(dòng)的合力的區(qū)別,需特別關(guān)注萬有引力與向心力公式中r的區(qū)別,前者是星體距離,后者是星體運(yùn)動(dòng)半徑．黑洞問題借助雙星系統(tǒng)的概念,對(duì)不可見的暗星進(jìn)行估算,從而判斷其是否為黑洞．

1 梁會(huì)琴，韓運(yùn)俠.天體運(yùn)動(dòng)四種模型[J].物理教師，2016(1)：82-84.

2 孫鐵斌.天體運(yùn)動(dòng)中的“三星”問題[J].物理教師，2009(12)：56-57.

2016-09-18)