張 蘭

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331)

帶有耦合時(shí)滯的不連續(xù)非恒等節(jié)點(diǎn)復(fù)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通過反饋控制達(dá)到有限時(shí)間同步

張 蘭

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331)

研究了帶有耦合時(shí)滯的不連續(xù)非恒等節(jié)點(diǎn)復(fù)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通過反饋控制控制達(dá)到有限同步的問題，其中半牽制反饋控制被設(shè)計(jì)，基于Filippov解理論和李雅普諾夫函數(shù)法等，提出了保證復(fù)值復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步的一些充分條件，結(jié)果是基于先前結(jié)果的促進(jìn)和改善.最后，通過數(shù)值模擬證明了結(jié)果的有效性.

復(fù)值復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)；有限時(shí)間同步；半牽制反饋控制；不連續(xù)激活函數(shù)；非恒等節(jié)點(diǎn)

在過去的二十年里，復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的研究在現(xiàn)代社會(huì)中各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮的作用越來越重要，可以發(fā)現(xiàn)在安全通信、生物系統(tǒng)、信息處理等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用，因此引起了廣大學(xué)者的關(guān)注.而其中復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題各個(gè)學(xué)者研究的重要現(xiàn)象之一[1－2]，它的意思是指兩個(gè)或兩個(gè)以上隨時(shí)間變化的量在變化過程中保持一定的相對關(guān)系，同步又包括完全同步[1－3]、有限時(shí)間同步、擬同步、廣義同步等.現(xiàn)在許多研究人員對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步進(jìn)行了大量的研究，但是現(xiàn)在大部分文章研究的問題只能當(dāng)時(shí)間趨于無窮才能實(shí)現(xiàn)同步，而在本文中通過一些適當(dāng)?shù)目刂破骺梢詫?shí)現(xiàn)在設(shè)定時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步，并且本文將系統(tǒng)推廣到激活函數(shù)是右端不連續(xù)的狀態(tài)，同時(shí)因?yàn)榄h(huán)境的影響和信道的有限性本文在系統(tǒng)中考慮了時(shí)滯，使得系統(tǒng)更加接近現(xiàn)實(shí)生活.

為使得系統(tǒng)達(dá)到同步，現(xiàn)在人們研究了各種控制方法，常見的控制方法包括間歇控制、反饋控制、自適應(yīng)控制[4]、脈沖控制[5－9]等等，但是各種控制都是有利也有弊.在本文設(shè)計(jì)的半牽制反饋控制中，不僅可以減少工作量從而降低成本，而且可以使系統(tǒng)在有限時(shí)間同步.并且因?yàn)樵诳刂破髦杏么媪朔?hào)函數(shù)更是減少了控制的抖振性.基于以上原因本文設(shè)計(jì)了半牽制反饋控制[9].

通過以上的討論，本文考慮了帶有耦合時(shí)滯的不連續(xù)非恒等節(jié)點(diǎn)復(fù)值復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通過半牽制反饋控制達(dá)到有限時(shí)間同步，通過一些特別的分析技巧，提出了保證復(fù)值復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步的一些充分條件，本文的結(jié)果是前文的推廣和衍生.

1 基本定義與預(yù)備知識(shí)

考慮以下帶耦合時(shí)滯的不連續(xù)非恒等節(jié)點(diǎn)復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)[10]:

其中N為系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，xi(t)＝(xi1(t)，xi2(t)，…，xin(t))T∈Cn是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量，其中激活函數(shù)fi(x(t))＝(f1(x(t))，f2(x(t))，…，fn(x(t)))T∈Cn為不連續(xù)非線性的激活函數(shù)表示在傳輸過程中產(chǎn)生的時(shí)滯表示已知的常數(shù)矩陣，?！蔙n×n的耦合矩陣，A＝(aij)N×N為時(shí)滯耦合矩陣，并且滿足耦合條件:如果節(jié)點(diǎn)i與j有聯(lián)系(i≠j)，那么aij≠0；否則aij＝0；其中當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，aii＝

系統(tǒng)(2)的初值為:

以下為系統(tǒng)(1)的同步狀態(tài)方程:

其中:B＝(bjr)n×n∈Rn×n是常數(shù)矩陣，g(x(t))＝(g1(s(t))，g2(s(t))，…，gn(s(t)))T∈Cn.

它的初始條件可以描述為:

定義1[7]如果在系統(tǒng)(1)添加適當(dāng)?shù)目刂破?，使得存在一個(gè)常數(shù)t1>0(t1>0是依賴初值x(0)＝ (x1(0)，x2(0)，…，xN(0))T而存在的，使得2，…，N，就稱系統(tǒng)(1)有限時(shí)間同步到系統(tǒng)(2)上.

因?yàn)楸疚难芯康氖遣贿B續(xù)的復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)，導(dǎo)致一般意義下的微分方程的解是不存在的，所以本文將引進(jìn)Filippov解對不連續(xù)微分方程進(jìn)行研究.那么本文首先給出Filippov解的定義.

定義2[7]f(x)的集值函數(shù)被定義為如下:

定義3[7]函數(shù)x(t):[－τ，t1)→Cn，為不連續(xù)系統(tǒng)(2)在[－τ，t1)上的Filippov解，如果滿足下面條件: x(t)在[－τ，t1)上是連續(xù)函數(shù)，在[0，t1)上式絕對函數(shù).

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，如果滿足這些基本條件，系統(tǒng)(1)存在Filippov解.

為了得到本文的結(jié)果，給出下面的假設(shè)條件:

假設(shè)1 存在正常數(shù)dlj，bl，l，j＝1，2，…，n，使得f，h滿足以下不等式:

假設(shè)2 因?yàn)橄到y(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)均為混沌系統(tǒng)，所以存在正常數(shù)使得

設(shè)e(t)＝x(t)－s(t).系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)作差可以得到誤差系統(tǒng)如下:

為了研究方便，將復(fù)值復(fù)雜系統(tǒng)拆成實(shí)數(shù)部分與虛數(shù)部分，分別為:

將兩個(gè)系統(tǒng)合并成一個(gè)2N維系統(tǒng)，如下:

2 主要結(jié)果

在本文中設(shè)計(jì)了如下的反饋控制:

在本節(jié)中將給出本文的主要結(jié)果，將提出幾個(gè)使得系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達(dá)到有限時(shí)間同步的充分條件，并對其進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明.

定理1 在假設(shè)條件1、2滿足的前提下，在控制(3)下，如果滿足下面條件:

其中那么，系統(tǒng)(1)能有限時(shí)間同步到系統(tǒng)(2)，并且可以估計(jì)有限時(shí)間為:

證明 定義如下的Lyapunov函數(shù):V＝V1＋V2

那么有:

其中:vk(t)＝(vk1(t)，vk2(t)…，vkn(t))T，當(dāng)zkj(t)>0時(shí)，vkj(t)＝1，當(dāng)zkj(t)<0時(shí)，vkj(t)＝－1，當(dāng)zkj(t)＝0時(shí)，vkj(t)在區(qū)間[－1，1]上取值.

對上式分別放大，其中第一部分放大為:

根據(jù)假設(shè)1，可以得到第二部分的放大:

根據(jù)假設(shè)2，同可以得到第三部的結(jié)果:

同理得到第四部分為:

第五部分放大為:

綜合上面的式子:

根據(jù)定理給的條件可以得到下面的不等式:

根據(jù)上面的不等式說明了V(t)是正定并且不增的函數(shù)，因此存在非負(fù)常數(shù)V?使得:

對上式左右進(jìn)行0到t積分，則有:

綜合以上分析得:一定存在t1∈(0，＋∞)使得:

[1] X YANG，Z YANG.Synchronization of TS fuzzy complex dynamical networks with time－varying impulsive delays and stochastic effects[J].Fuzzy Set and Systems，2014，235:25－43.

[2] YANG X，CAO J.Stochastic synchronization of coupled neural networks with intermittent control[J].Phys Lett A，2009，373(36):3259－3272.

[3] YANG X，CAO J，LU J.Synchronization of Markovian coupled neural neural networks with nonidentical node－delaysand random coupling strengths [J].IEEE Trans Neural Netw learn Syst，2012，23(1):60－71.

[4] YANG X，CAO J.Synchronization of discontinuous neural networks with delays via adaptive control[J].Discrete Dyn Nat Soc，2013，2013:1－9.Art. ID:147164.

[5] GUAN Z，LIU Z，F(xiàn)ENG G，et al.Synchronization of complex dynamical networks with time－varying delays via impulsive distributed control[J].IEEE Trans Circ Syst，2010，57(18):2182－2195.

[6] YANG X，YANG Z.Exponential Synchronization of discontinuous chaotic systems via delayed impulsive control and its application to secure communication[J].Commun nonlinear sci numer simulat，2014，19:1529－1543.

[7] YANG X，WU Z，CAO J.Finite－time synchronization of complex networkswith nonidentical discontinuous nodes[M].Springer ScienceBusiness Media Dordrecht，2013.

[8] 張?zhí)m.帶耦合時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通過時(shí)滯脈沖牽制控制達(dá)到同步[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，34(3):276－281.

[9] 程杰，張?zhí)m.一個(gè)新超混沌系統(tǒng)的脈沖修正投影同步[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，33(2):133－135.

[10] 蘇日娜.時(shí)滯耦合半導(dǎo)體激光模型的穩(wěn)定性分析[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，34(3):269－275.

責(zé)任編輯:高 山

Finite Time Synchronization of Complex Networks with Discontinuous and Non Identical Complex Networks with Coupling Delays

ZHANG Lan
(School of Mathematical Sciences，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

With coupling delays for non identical nodes complex valued complex networks through a feedback control to the synchronization problem，half of them contain feedback control is designed，F(xiàn)ilippov solution theory and Lyapunov function method，based on the proposed guarantee complex valued some sufficient conditions for finite time synchronization of complex dynamical networks is presented in this thesis. The results of this paper are based on the promotion and improvement of previous results.Finally，the validity of the results is proved by numerical simulation.

complex valued complex dynamical systems；finite time synchronization；semi control feedback control；discontinuous activation function；non identical node

O189.1

A

1008－8423(2017)01－0037－04

10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.009

2016－09－09.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61263020).

張?zhí)m(1993－)，女，碩士生，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究.