呂慧斌，劉志軍

(湖北民族學(xué)院理學(xué)院，湖北恩施445000)

一類包含Lévy跳的隨機(jī)時(shí)滯單種群模型的依分布穩(wěn)定性

呂慧斌，劉志軍

(湖北民族學(xué)院理學(xué)院，湖北恩施445000)

考慮白噪聲和Lévy噪聲共同擾動(dòng)環(huán)境，討論了一類具有離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的自治單種群模型.運(yùn)用相關(guān)理論知識(shí)，得出了該模型依分布漸近穩(wěn)定的充分條件.最后用一個(gè)具體的數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果的可行性.

白噪聲和Lévy噪聲；自治系統(tǒng)；離散時(shí)滯；分布時(shí)滯；依分布漸近穩(wěn)定性

基于Halbach[1]領(lǐng)導(dǎo)的研究群體所做工作的基礎(chǔ)上，F(xiàn)reedman和Wu[2]1992年提出了一類具有離散時(shí)滯的非自治單種群模型:

其中:x(t)是t時(shí)刻種群的規(guī)模，系數(shù)b(t)，c(t)，e(t)分別表示種群x(t)的內(nèi)稟增長(zhǎng)率、自身抑制率和再生率，τ(t)是時(shí)滯項(xiàng)，相關(guān)系數(shù)分別滿足b(t)>0，c(t)>0，e(t)≥0，τ(t)≥0，t∈R＋＝[0，＋∞).當(dāng)b(t)≡b，c(t)≡c，e(t)≡e，τ(t)≡τ時(shí)，一個(gè)對(duì)應(yīng)的自治系統(tǒng)如下:

在現(xiàn)實(shí)世界中種群的動(dòng)態(tài)不可避免地會(huì)受到環(huán)境噪聲的擾動(dòng)，從而使得種群的出生率、競(jìng)爭(zhēng)率以及其它的參數(shù)表現(xiàn)出一定程度的隨機(jī)波動(dòng).在這些環(huán)境噪聲中，被學(xué)者廣泛應(yīng)用和研究的一類環(huán)境噪聲是由Brownian運(yùn)動(dòng)的形式導(dǎo)數(shù)所刻畫的噪聲:白噪聲[3－6].本文假設(shè)內(nèi)稟增長(zhǎng)率b以如下的方式受到白噪聲的擾動(dòng):

其中:η為大于等于0的常數(shù)，η2表示白噪聲的強(qiáng)度(或噪聲級(jí))，B′(t)是定義在完備概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的布朗運(yùn)動(dòng)B(t)的形式導(dǎo)數(shù)，即白噪聲.這里的概率空間具有滿足一般條件的濾子{Ft}t∈R＋.此外本文還假設(shè)種群的歷史狀態(tài)會(huì)影響目前種群的動(dòng)態(tài).因此考慮上述因素模型(2)可變?yōu)?

這里μ(θ)是定義在區(qū)間(－∞，0]上的概率測(cè)度，h為大于等于零的常數(shù).

另一方面，一些突發(fā)的且嚴(yán)重的環(huán)境擾動(dòng)現(xiàn)象會(huì)對(duì)生態(tài)種群的數(shù)量產(chǎn)生巨大的影響.例如:地震、颶風(fēng)、海嘯、火山爆發(fā)、傳染病等[7－10].由于白噪聲連續(xù)平穩(wěn)的隨機(jī)擾動(dòng)特性，使其無(wú)法更好的描述這些劇烈的環(huán)境擾動(dòng)現(xiàn)象.近幾年一些學(xué)者開始把Lévy噪聲引入到隨機(jī)模型當(dāng)中并用它來(lái)描述這些不連續(xù)的隨機(jī)擾動(dòng)現(xiàn)象取得了許多好的成果[11－12].

受到上述建模思想的啟發(fā)，對(duì)模型(3)做進(jìn)一步的推廣得到如下模型:

這里初值條件x0＝ξ>0，ξ屬于相空間Cg且滿足:

其中:g(θ)＝e－κθ，κ>0，Cg是個(gè)Banach空間.

在模型(4)中x(t－)＝，N(dt，du)表示依據(jù)Lévy過(guò)程產(chǎn)生的Possion計(jì)數(shù)測(cè)度，Lévy噪聲的噪聲級(jí)δ(t，u)是定義在(R＋；Y)上大于－1的連續(xù)有界函數(shù)，Y是R＋的一個(gè)可測(cè)子集.泊松計(jì)數(shù)測(cè)度的補(bǔ)償測(cè)度N～(dt，du)滿足:N～(dt，du)＝N(dt，du)－λ(du)dt.λ定義Y上代表泊松計(jì)數(shù)測(cè)度的強(qiáng)度測(cè)度且滿足λ(Y)<∞.本文始終假設(shè)B(t)與N(dt，du)是相互獨(dú)立的且模型(4)滿足如下兩個(gè)條件:

1)?ω>0，并且｜x｜∨｜y｜≤ω，存在常數(shù)Iω使得其中

2)存在一個(gè)常數(shù)m>0，使得｜ln(1＋δ(u))｜≤m成立.

1 模型(4)的依分布穩(wěn)定性

文獻(xiàn)[12]已經(jīng)得到系統(tǒng)(4)的全局正解存在唯一性、絕滅性、持久性等結(jié)果，本文在此前提下進(jìn)一步研究系統(tǒng)(4)的依分布穩(wěn)定性.類似文獻(xiàn)[13－14]可以給出模型(4)依分布漸近穩(wěn)定的定義和一個(gè)相關(guān)的引理.

定義1 過(guò)程x(t)稱為是依分布漸近穩(wěn)定的，若存在一個(gè)Cg上的概率測(cè)度?使得x(t)的轉(zhuǎn)移概率密度ρ(t，ξ，·)當(dāng)t→＋∞時(shí)，對(duì)每一個(gè)初值x0＝ξ∈Cg都弱收斂于?.

引理1 對(duì)任意的初值條件ξ∈Cg，模型(4)幾乎處處存在唯一的全局正解x(t)，并且對(duì)任意的β>0，存在一個(gè)常數(shù)M(β)>0使得

引理1的證明類似于文獻(xiàn)[8]中定理3.1的證明，這里省略.

定理1 當(dāng)c>e＋h時(shí)，模型(4)是依分布漸近穩(wěn)定的.

證明 假設(shè)系統(tǒng)(4)滿足初始條件ξ∈Cg和ξ－∈Cg的兩個(gè)解分別為xξ(t)和x－ξ(t)，定義函數(shù)如下:

對(duì)上式應(yīng)用It?公式可得:

再定義:

令V(t)＝G1(t)＋G2(t)，計(jì)算V(t)的微分可得:

對(duì)不等式(7)兩端作0到t的積分后再求期望得到:

另一方面，由模型(4)得到:

根據(jù)E(x(t))的連續(xù)可微性和引理1并參照文獻(xiàn)[14]中引理4的第一步，類似可以證明dE(x(t))/dt≤M，這里M是一個(gè)正常數(shù).因此E(x(t))是一致連續(xù)的.再由Barbalat′s引理[15]有:

假定P(t，ξ，dα)為隨機(jī)過(guò)程x(t)的轉(zhuǎn)移概率，P(t，ξ，Υ)表示滿足初始條件x0＝ξ∈Cg的解x(t)∈Υ的概率.由引理1和切比雪夫不等式易知{P(t，ξ，dα)}是緊的.對(duì)任意的兩個(gè)概率測(cè)度P1，P2∈P(Cg)，這里P(Cg)表示定義在Cg上的所有概率測(cè)度.定義:其中

由式(9)可以找到一個(gè)常數(shù)T>0使得對(duì)所有的t≥T有:

由上述不等式易總結(jié)出{P(t，1，·):t≥0}以度量標(biāo)準(zhǔn)dG收斂于P.由此可知存在唯一的概率測(cè)度?(·)∈P(Cg)使得再回顧式(9)，不難發(fā)現(xiàn):

2 數(shù)值模擬

在本節(jié)給出一個(gè)具體的數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證定理1理論結(jié)果的可行性.考慮如下的系統(tǒng):

其中:Y＝(0，＋∞)，λ(Y)＝1.選取δ(u)＝0.55，通過(guò)計(jì)算可知定理1的條件滿足，因此模型(4)是依分布漸近穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的數(shù)值結(jié)果見圖1.

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了一類包含Lévy跳的隨機(jī)時(shí)滯單種群模型的依分布穩(wěn)定性，通過(guò)定理1可以看出:延遲現(xiàn)象不利于種群依分布漸近穩(wěn)定，然而白噪聲和Lévy噪聲對(duì)該性質(zhì)并無(wú)直接影響.

圖1 種群x(t)的分布軌道Fig.1 The distribution of x(t)

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責(zé)任編輯:時(shí) 凌

Stability in Distribution of a Stochastic Delay Single－species Model with Lévy Jumps

LYU Huibin，LIU Zhijun?
(School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China)

An autonomous single－species model with discrete delays and distributed delays is discussed in the random environment of white noise and Lévy noise.Sufficient condition for the asymptotic stability in distribution of the model is obtained.Finally，a specific numerical example verifies the feasibility of the theoretical results.

white noise and Lévy noise；autonomous system；discrete delay；distributed delay；asymptotic stability in distribution

O175

A

1008－8423(2017)01－0027－04

10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.007

2017－01－10.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11261017).

呂慧斌(1990－)，男，碩士生，主要從事非線性生物動(dòng)力系統(tǒng)的研究；?

劉志軍(1974－)，男，博士，教授，主要從事非線性生物動(dòng)力系統(tǒng)的研究.

文章編號(hào):1008－8423(2017)01－0031－06

DOI:10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.008