靖楊萍

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

半廣群C*-代數(shù)的一個(gè)同構(gòu)問(wèn)題

靖楊萍

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

半廣群是范疇的推廣，半廣群C*-代數(shù)不僅包括Cuntz-Krieger代數(shù)，而且還包括圖C*-代數(shù)、高階圖C*-代數(shù)等.對(duì)于給定的半廣群，利用半廣群C*-代數(shù)的生成元，構(gòu)造一個(gè)新的半廣群，并證明2個(gè)半廣群C*-代數(shù)同構(gòu).

半廣群；半廣群C*-代數(shù)；同構(gòu)

0 引 言

Exel R.介紹了半廣群C*-代數(shù)[1]，其中半廣群是范疇的推廣.由于半廣群C*-代數(shù)既包括Cuntz-Krieger代數(shù)[2]，也包括圖C*-代數(shù)、高階圖C*-代數(shù)[3-6]、超圖C*-代數(shù)[7]等，因此半廣群C*-代數(shù)的研究引起了廣大學(xué)者的廣泛關(guān)注.

C*-代數(shù)的同構(gòu)問(wèn)題是C*-代數(shù)相關(guān)研究的一個(gè)重要內(nèi)容，本文利用同構(gòu)理論研究了半廣群C*-代數(shù)，具有重要的意義.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[1]半廣群是一個(gè)三元組(Λ,Λ(2),·)，其中Λ是一個(gè)集合，Λ(2)是Λ×Λ的子集，·：Λ(2)→Λ是滿足以下結(jié)合律的運(yùn)算：如果f,g,h∈Λ使得下列條件之一成立，

(ⅰ)(f,g)∈Λ(2)并且(g,h)∈Λ(2)；

(ⅱ)(f,g)∈Λ(2)并且(fg,h)∈Λ(2)；

(ⅲ)(g,h)∈Λ(2)并且(f,gh)∈Λ(2)；

則(f,g),(g,h),(fg,h),(f,gh)∈Λ(2)并且(fg)h=f(gh).此外，對(duì)所有的f∈Λ，設(shè)Λf={g∈Λ:(f,g)∈Λ(2)}.

定義1.2[1](1)設(shè)f,g∈Λ，若下列條件之一成立：

(ⅰ)f=g；

(ⅱ)存在h∈Λ使得fh=g；

(3)設(shè)X是Λ的任意子集，稱子集H?X是X的一個(gè)覆蓋，如果對(duì)任意f∈X，存在h∈H，使得h∩f.

定義1.3[1]設(shè)Λ是一個(gè)半廣群，B是一個(gè)有單位元的C*-代數(shù).映射s:Λ→B被稱為Λ在B中的表示，如果對(duì)任意的f,g∈Λ，以下4個(gè)結(jié)果成立：

(ⅰ)sf是一個(gè)部分等距；

(ⅲ)如果f⊥g，PfPg=0；

(ⅳ)如果(f,g)∈Λ(2)，QfPg=Pg.

2 主要結(jié)果

因?yàn)?sf,sg)∈Λ′(2)當(dāng)且僅當(dāng)(f,g)∈Λ，所以Λ′滿足半廣群的定義.下面僅證明定義1.1的(ⅰ)，(ⅱ)、(ⅲ)情況類似可證.事實(shí)上，如果滿足定義1.1的(ⅰ)∶(sf,sg)∈Λ′(2),(sg,sh)∈Λ′(2),由Λ′(2)的定義，可得(f,g)∈Λ(2)，(g,h)∈Λ(2).因?yàn)棣且粋€(gè)半廣群，由定義1.1的(ⅰ)，有(f,g),(g,h),(fg,h),(f,gh)∈Λ(2)并且(fg)h=f(gh).再由Λ′(2)的定義可知，(sf,sg),(sg,sh),(sfg,sh),(sf,sgh)∈Λ′(2).因(sfsg)sh=sf(sgsh)，由定義1.3(ⅱ)可得sfgsh=sfsgh，于是滿足定義1.1的結(jié)論.

此外，對(duì)每一個(gè)sf∈Λ′，有

證明 對(duì)每一個(gè)e∈Λ，設(shè)Qe,Pe分別是se的初始投影和終值投影.令

tse=se,Qse=tse*tse,Pse=tsetse*.

容易看出tse是部分等距，且Qse=Qe，Pse=Pe.如果(sf,sg)∈Λ′(2)，則有(f,g)∈Λ(2)，所以，tsftsg=sfsg=sfg=tsfg=tsfsg.

如果(sf,sg)?Λ′(2)，則有(f,g)?Λ(2)，所以tsftsg=sfsg=0.

如果(sf,sg)∈Λ′(2)，則有(f,g)∈Λ(2)且QsfPsg=QfPg=Pg=Psg.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了半廣群以及半廣群C*-代數(shù)的概念，此外，對(duì)于給定的半廣群，利用半廣群C*-代數(shù)的生成元，構(gòu)造了一個(gè)新的半廣群，并證明2個(gè)半廣群C*-代數(shù)是同構(gòu)的.

[1]EXEL R. SemigroupoidC*-algebras[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2011,377(1):303-318.

[2]EXEL R, LACA M. Cuntz-Krieger algebras for in?nite matrices[J].Reine Angew. Math. 1999,512:119-172.

[3]KUMJIAN A, PASK D. Higher rank graphC*-algebras[J]. New York Journal of Mathematics, 2000,6(1):104-113.

[4]RAEBURN I, SIMS A, YEEND T. Higher-rank graphs and theirC*-algebras[J]. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 2003,46(1):99-115.

[5]KUMJIAN A, PASK D, SIMS A. Homology for higher-rank graphs and twistedC*-algebras[J]. Journal of Functional Analysis, 2011,263(6):1539-1574.

[6] HAZLEWOOD R, RAEBURN I, SIMS A, et al. On some fundamental results about higher-rank graphs and theirC*-algebras[J]. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 2013,56(2):575-597.

[7]JING Y P. SemigroupoidC*-algebras and ultragraphC*-algebras[J]. Israel Journal of Mathematics, 2015,209(2):593-610.

An Isomorphism of SemigroupoidC*-algebras

JING Yangping

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

SemigroupoidsC*-algebra is a generalization of a category, which include not only theC*-algebras of Cuntz-Krieger, but also the higher-rank graphC*-algebras. Given a semigroupoid, using the generators of SemigroupoidC*-algebra, this paper constructs a new semigroupoid and proves that the two semigroupoidC*-algebras are isomorphic.

semigroupoids; semigroupoidsC*-algebras; isomorphic

10.13954/j.cnki.hdu.2017.02.020

2016-10-18

浙江省教育廳科研資助項(xiàng)目(Y201432224)

靖楊萍(1980-)，女，河南唐河人，講師，數(shù)學(xué).

O177.1

A

1001-9146(2017)02-0092-03