劉玉欣，余 雷，劉 珊，程 偉，林 江，高仕龍

(樂(lè)山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000)

基于小波變換和二維隨機(jī)共振的圖像去噪算法

劉玉欣，余 雷，劉 珊，程 偉，林 江，高仕龍

(樂(lè)山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000)

小波變換能對(duì)信號(hào)特征進(jìn)行自適應(yīng)分類(lèi)提取，并快速有效地將圖像信號(hào)分解成不同頻帶范圍內(nèi)的圖像分量，利于圖像去噪。隨機(jī)共振能將部分噪聲轉(zhuǎn)換成信號(hào)能量，達(dá)到增大圖像對(duì)比度、提高圖像質(zhì)量的效果。提出了一種基于小波變換和二維隨機(jī)共振的圖像去噪方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法取得了不錯(cuò)的去噪效果。

小波變換；二維隨機(jī)共振；圖像去噪；雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)

0 引言

在科學(xué)研究、軍事技術(shù)、醫(yī)學(xué)及天文學(xué)等領(lǐng)域，人們開(kāi)始更多地利用圖像信息來(lái)認(rèn)識(shí)和判斷事物，并解決實(shí)際問(wèn)題。然而人們獲得的圖像通常會(huì)被噪聲污染。為解決此問(wèn)題，人們提出了許多圖像去噪方法。比較常見(jiàn)的有各種線(xiàn)性濾波方法，如均值濾波、維納濾波[1]等，還有各種變換域方法，如傅立葉變換、小波變換[2]等。1974年，法國(guó)從事石油信號(hào)處理的工程師Morlet首先提出小波變換，它是對(duì)空間(時(shí)間)和頻率的局部變換，通過(guò)伸縮和平移等功能對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，從而更有效地從信號(hào)中提取信息。

噪聲具有兩面性。一方面，傳統(tǒng)觀(guān)點(diǎn)認(rèn)為噪聲是對(duì)信號(hào)的一種干擾，因此需要盡可能地消除或抑制它；另一方面，研究表明，噪聲不是在所有情況下都起消極作用，噪聲通過(guò)某些非線(xiàn)性系統(tǒng)的協(xié)同作用可以對(duì)信號(hào)起到一定增強(qiáng)作用。1981年，意大利學(xué)者Benzi[3]在研究古氣象冰川問(wèn)題時(shí)，最早提出隨機(jī)共振(Stochastic Resonance)的概念。當(dāng)隨機(jī)噪聲、輸入信號(hào)和非線(xiàn)性系統(tǒng)三者達(dá)到協(xié)同時(shí)，一部分噪聲將轉(zhuǎn)換成信號(hào)，使原本輸入的信號(hào)得到增強(qiáng)，進(jìn)而提高輸出信噪比。目前，對(duì)于隨機(jī)共振在微弱周期信號(hào)的提取和參數(shù)估計(jì)方面的研究已比較成熟，但對(duì)于其在非周期信號(hào)處理，尤其是圖像處理方面的應(yīng)用研究還較少。因此，本文結(jié)合小波變換的頻帶分割特性和隨機(jī)共振對(duì)噪聲信號(hào)的增強(qiáng)功能，提出一種基于小波變換和二維隨機(jī)共振的圖像去噪方法。

1 小波變換圖像去噪原理

小波變換是近年來(lái)應(yīng)用廣泛的一種數(shù)學(xué)工具，是一種多分辨率分析方法，在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，利用它可以聚焦分析對(duì)象的任意細(xì)節(jié)。通過(guò)兩個(gè)一維的高通和低通分解濾波器先后作用于數(shù)字圖像的行和列，可以實(shí)現(xiàn)圖像的二維小波分解。在每一個(gè)分解尺度上都得到4個(gè)不同的次級(jí)子帶，其中LL是低頻子帶，它代表圖像的主要內(nèi)容信息，集中了圖像的絕大部分能量，而LH、HL和HH是中高頻部分，分別代表圖像水平方向、垂直方向和對(duì)角線(xiàn)方向的細(xì)節(jié)。如果對(duì)圖像的低頻部分進(jìn)一步作小波分解，則可得到多個(gè)尺度的圖像時(shí)頻信息。

圖1 小波分解

數(shù)字圖像的小波分解實(shí)質(zhì)上是把圖像信號(hào)分解成不同頻帶范圍內(nèi)的圖像分量。每一層小波分解都將圖像分解成4個(gè)子帶，很好地分離出表示圖像內(nèi)容的低頻信息與表示圖像細(xì)節(jié)的高頻信息。因此，在不同的小波尺度上，采用不同方法來(lái)增強(qiáng)不同頻率范圍內(nèi)圖像的細(xì)節(jié)分量，再把處理后的系數(shù)進(jìn)行小波重建，從而能夠在突出圖像細(xì)節(jié)特征的同時(shí)，有效抑制噪聲的影響，使圖像更加清晰。

2 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振

在隨機(jī)共振的研究中，非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)模型應(yīng)用較為廣泛。該系統(tǒng)可由非線(xiàn)性方程來(lái)表示：

(1)

式中，U(x)是勢(shì)函數(shù)，s(t)是系統(tǒng)的輸入，分別表示為：

(2)

(3)

其中a和b為系統(tǒng)參數(shù)，決定勢(shì)函數(shù)的形態(tài)。f(t)為周期或非周期輸入信號(hào)，ξ(t)為隨機(jī)噪聲。從物理角度上看，雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出模擬了粒子在勢(shì)阱內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

假設(shè)A為輸入信號(hào)的幅值，當(dāng)輸入系統(tǒng)噪聲為零時(shí)，系統(tǒng)存在臨界值A(chǔ)c。當(dāng)AAc時(shí)，粒子才能在兩勢(shì)阱間做大范圍的躍遷；當(dāng)引入噪聲后，在噪聲的作用下，即使在A<

3 算法分析

雙穩(wěn)系統(tǒng)和小波變換均具有低通濾波器的特性。小波變換通過(guò)頻域分解，可以有效地去除高頻噪聲成分。雙穩(wěn)系統(tǒng)利用隨機(jī)共振機(jī)制能將噪聲能量轉(zhuǎn)化為圖像信息，從而達(dá)到提高圖像質(zhì)量的效果。本文算法主要分為以下步驟：

(1)小波變換。將灰度噪聲圖像進(jìn)行一層二維小波分解，得到一個(gè)低頻子帶LL，兩個(gè)中頻子帶LH、HL和一個(gè)高頻子帶HH。圖像經(jīng)二維離散小波分解后,絕大部分圖像信息都集中在低頻部分LL，而高頻噪聲則集中在高頻子帶HH。因此,將得到的低頻子帶LL進(jìn)行小波重構(gòu)得到一個(gè)低頻子圖，從而達(dá)到去噪的目的。

(2)二維隨機(jī)共振。根據(jù)絕熱近似[4]或線(xiàn)性響應(yīng)理論[5]，系統(tǒng)輸入必須符合SR的小參數(shù)要求，即信號(hào)的幅度和頻率以及噪聲強(qiáng)度均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1。因此，在小波重構(gòu)的低頻子圖輸入隨機(jī)共振系統(tǒng)之前，需要先進(jìn)行歸一化處理，然后利用二維隨機(jī)共振原理[6]，對(duì)歸一化后的圖像按行和列分別轉(zhuǎn)化為向量輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)行處理，以此實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的抑制和對(duì)圖像的增強(qiáng)。

(3)直方圖均衡。由于隨機(jī)共振會(huì)導(dǎo)致圖像的像素統(tǒng)計(jì)直方圖分布在一個(gè)狹窄區(qū)域，使圖像亮度增加。因此，最后利用直方圖均衡，使處理后的圖像像素統(tǒng)計(jì)分布更加均勻，從而達(dá)到增強(qiáng)視覺(jué)效果的作用。

4 實(shí)驗(yàn)效果

實(shí)驗(yàn)對(duì)象選取640×640的灰度圖像。添加強(qiáng)度為D的高斯白噪聲，先進(jìn)行二維離散小波變換，再按上述算法對(duì)含噪圖像進(jìn)行隨機(jī)共振。在雙穩(wěn)系統(tǒng)求解中，計(jì)算步長(zhǎng)為h=0.1，系統(tǒng)參數(shù)a=4,b=80,在不同噪聲強(qiáng)度下的實(shí)驗(yàn)效果如圖2～圖4所示。其中，(a)圖是添加噪聲后的圖像，(b)圖是小波去噪后的圖像，(c)圖是經(jīng)小波去噪和行向量隨機(jī)共振后的圖像，(d)圖是經(jīng)小波去噪和二維隨機(jī)共振后的圖像。從實(shí)驗(yàn)效果看，本文算法能很好地達(dá)到去除噪聲、增強(qiáng)圖像清晰度的目的。既使在噪聲強(qiáng)度達(dá)到D=0.2,噪聲圖像破壞程度很高的情況下，也能達(dá)到較好的復(fù)原效果。

圖2 小波變換和二維隨機(jī)共振去噪效果(D=0.02)

圖3 小波變換和二維隨機(jī)共振去噪效果(D=0.1)

圖4 小波變換和二維隨機(jī)共振去噪效果(D=0.2)

小波變換能將圖像信息中的高、中、低頻成分進(jìn)行有效分離，從而達(dá)到去除噪聲的目的。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，盡管采用小波低頻子帶重構(gòu)的復(fù)原圖像與噪聲圖像相比，圖像質(zhì)量具有一定程度提高，但是小波在去除中高頻成分中噪聲的同時(shí)，也帶走了一些圖像的細(xì)節(jié)信息。利用雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振機(jī)制可實(shí)現(xiàn)圖像信號(hào)的增強(qiáng)功能，從而達(dá)到提高圖像清晰度的目的。同時(shí)，雙穩(wěn)系統(tǒng)能將部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為圖像信息，從而彌補(bǔ)小波去噪中因舍棄中高頻子帶而丟失的圖像細(xì)節(jié)信息。因此，從理論上而言，將小波變換和二維隨機(jī)共振相結(jié)合，能達(dá)到更好的噪聲圖像復(fù)原效果。

假設(shè)有m行n列的灰度圖像K和處理后的圖像I,其峰值信噪比定義為：

(4)

其中，maxI為圖像I的灰度最大值，均方差mse定義為：

(5)

圖5是本文算法和小波去噪、二維隨機(jī)共振去噪的效果比較。其中，(a)圖是添加強(qiáng)度為D=0.15的高斯白噪聲后的圖像，(b)圖是小波去噪后的圖像，(c)圖是經(jīng)二維隨機(jī)共振去噪后的圖像，(d)圖是本文基于小波和二維隨機(jī)共振去噪后的圖像。從視覺(jué)效果看，小波變換和二維隨機(jī)共振均能有效地去除噪聲，但是將兩種方法結(jié)合后，復(fù)原效果好于單一算法。

圖6是本文算法和小波去噪、二維隨機(jī)共振去噪結(jié)果的峰值信噪比(PSNR)的比較。從定量角度看，只有在噪聲極少的情況下，小波去噪的效果優(yōu)于隨機(jī)共振方法和本文算法，但當(dāng)噪聲強(qiáng)度增大，本文基于小波和隨機(jī)共振的圖像去噪算法取得的峰值信噪比好于單一的小波去噪和隨機(jī)共振去噪。因此，本文提出的算法具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出一種基于小波變換和二維隨機(jī)共振的圖像去噪聲算法。小波變換處理噪聲圖像后，大部分圖像信息位于低頻子帶，將其重構(gòu)后的低頻子圖向量化后輸入雙穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)行二維隨機(jī)共振處理。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，能取得較好的復(fù)原效果。另外，由于隨機(jī)共振后的圖像像素統(tǒng)計(jì)直方圖集中于比較狹窄的區(qū)域，因此借助于直方圖均衡，能有效地增加圖像對(duì)比度，從而獲得更好的去噪效果。最后，由于很難界定非周期輸入的雙穩(wěn)系統(tǒng)是否達(dá)到最佳的隨機(jī)共振狀態(tài)，因此只能通過(guò)手動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)a、b，使二維隨機(jī)共振的效果達(dá)到最佳，這需要在理論上作進(jìn)一步研究。

圖5 去噪算法效果比較(D=0.05)

圖6 去噪算法峰值信噪比比較(D=0.05)

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(責(zé)任編輯：黃 健)

四川省教育廳資助科研項(xiàng)目(16TD0029)；樂(lè)山師范學(xué)院創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(201510649004，201610649020)

高仕龍(1975-)，男，四川仁壽人，博士，樂(lè)山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分、隨機(jī)共振。本文通訊作者為高仕龍。

10.11907/rjdk.162550

TP312

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1672-7800(2017)003-0034-03