湖南省湘潭縣第一中學(411100)
譚曉鵬●
高中數(shù)學中一元二次不等式解題技巧及需注意的問題
湖南省湘潭縣第一中學(411100)
譚曉鵬●
高中數(shù)學中一元二次不等式是重要的學習內(nèi)容,也是最為基礎(chǔ)的內(nèi)容,高中生在練習一元二次不等式解題時,應(yīng)當注重解題技巧的培養(yǎng),鍛煉自己解題的速度和準確性,能夠在最短的時間內(nèi)找到解題思路,讓解題成為一種慣性的思維方式,同時要注意解題中容易犯錯的地方,規(guī)避存在的解題陷阱,提高自身的數(shù)學修養(yǎng).
高中數(shù)學;一元二次不等式;解題技巧
一元二次不等式是高中數(shù)學教材的必修內(nèi)容,也是解決其他數(shù)學問題的基礎(chǔ)工具,不等式內(nèi)容的綜合性較強,不等式直接反映了客觀事務(wù)的數(shù)量關(guān)系,是數(shù)學理論基礎(chǔ)的重要部分,一元二次不等式是研究高中數(shù)學的必備知識,在高中數(shù)學內(nèi)容中占據(jù)著重要地位.再者不等式知識和函數(shù)、方程及三角函數(shù)等有密切的聯(lián)系,在研究函數(shù)定義域時常用到不等式的概念,在方程組求解中也會遇到不等式求解問題,一元二次不等式常用于判別方程根存在與否,以及空間線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系等,同時在概率范圍判別中應(yīng)用頻率較高,因此一元二次不等式和數(shù)學中集合、函數(shù)、方程、數(shù)列、解析幾何及立體幾何等知識點交叉,因此,一元二次不等式解題對于我們高中生而言至關(guān)重要.
1.不等式和線性規(guī)劃結(jié)合
在關(guān)于一元二次不等式的高考題目中,和線性規(guī)劃結(jié)合的題目較為常見,其考查的內(nèi)容包含了不等式最值求解、定義域界定、區(qū)間面積計算等,一旦對于不等式和線性性質(zhì)把握不準確,就會造成解題出現(xiàn)錯誤.例如在例題中,不等式組y≤-x+2;y≥kx+1;x≥0,所表示的區(qū)域面積等于1,求解k的值.這類問題是通過不等式范圍界定來求解不等式中的未知參數(shù),對于這類題目的解答,首先要對不等式組中的定量區(qū)間進行劃分,根據(jù)三條直線設(shè)計所圍成的三角形示意圖來界定區(qū)域面積.這種問題的解題技巧的關(guān)鍵在于準確界定區(qū)域面積,理解題目的幾何意義,同時要從題目要求來反推不等式區(qū)域,從目標函數(shù)入手,根據(jù)圖形的動態(tài)變化分析來準確定位相關(guān)變量,從而求解出題目要求的參數(shù)值.
2.觀察推理論證求解不等式
觀察推理論證是求解不等式的技巧之一,利用推理論證可以讓我們更加深入了解不等式中數(shù)形結(jié)合的解題方法,提高我們對于不等式解題的思維認知.通過觀察和推理能夠掌握不等式推導(dǎo)的過程,由圖象找到一元二次不等式和幾何圖形的銜接點.例如對于高次不等式解題,往往會忽略了特殊區(qū)域以及不等函數(shù)升降,這是我們需要注意的解題陷阱,例如
求(x+3)(x-2)(x-4)≤0解集.這個問題的解題思路是建立相應(yīng)的坐標系,在數(shù)軸坐標中標出方程的零點x=-3,2,4,將數(shù)軸分為4個區(qū)間范圍,對區(qū)間取值的正負進行標記,最右的第一區(qū)間為正,以后正負相間,從而得出不等式的解集,這種求解方式可以快速得出解題答案,避免陷入繁瑣的計算中.
3.參數(shù)不等式和絕對值不等式
含參數(shù)的一元二次不等式是常見的題目,對于不等式中的參數(shù)要進行分類討論,在不同的參數(shù)取值區(qū)間內(nèi)進行計算,避免漏掉解題結(jié)構(gòu).例如解關(guān)于x的不等式ax2-2x+1>0(a為常數(shù),a∈R).此題要分情況來討論,分別是a=0、a>0和a<0三種情況,同時在a≠0時還要區(qū)分Δ的值.對于絕對值不等式的求解,要采用同解變形的解題方法,對多個絕對值的不等式,一般可用零點分段法求解,但利用實數(shù)絕對值的幾何意義求解較便捷,對于最值問題也可以考慮絕對值三角不等式.核心思想是“想方設(shè)法”將其轉(zhuǎn)換成不含絕對值的式子求解.
4.不等式恒成立的解題技巧
對于不等式恒成立的問題,這種題目的考點側(cè)重于結(jié)合不等式、函數(shù)導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值并研究函數(shù)的單調(diào)性.解答此類題型往往采取分離變量或適當變形,或變換主元,或構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進行求解.最值問題常常轉(zhuǎn)化成利用基本不等式求解,同時在轉(zhuǎn)化不等式中要注意不等式不等號的方向.
綜上所述,在高中數(shù)學一元二次不等式學習中,我們要深入分析每一個題目的解題要求,并根據(jù)題目來選擇合適的解題方法,注重不等式中隱藏的條件,將不等式和線性規(guī)劃結(jié)合在一起,強化對參數(shù)不等式和絕對值不等式題目練習,逐步熟悉這一類問題的解題方法,通過反復(fù)練習固化解題技巧,規(guī)避可能出現(xiàn)的解題陷阱,提高解題準確性.
[1]田寶運.不等式問題中的數(shù)學思想[J].數(shù)理化學習,2014(06)
[2]王禮麗.絕對值不等式的解法綜述[J].數(shù)學教育學報,2012(04)
[3]張惠淑.高中數(shù)學不等式高考試題分析與教學策略研究[J].數(shù)學教育,2013(18)
G632
B
1008-0333(2017)01-0049-01