杜 蘭，劉澤軍，周佩元，方善傳，劉 利，馬高峰

1.信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2.北京環(huán)球信息應(yīng)用開發(fā)中心，北京 100094； 3.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001

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無旋轉(zhuǎn)傾角的NAV/CNAV型GEO廣播星歷擬合

杜 蘭1，劉澤軍1，周佩元1，方善傳1，劉 利2，馬高峰3

1.信息工程大學(xué)導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2.北京環(huán)球信息應(yīng)用開發(fā)中心，北京 100094； 3.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001

目前北斗GEO的星歷擬合算法和用戶衛(wèi)星位置算法均引進(jìn)了人為設(shè)置的5°傾角旋轉(zhuǎn)，此外，少數(shù)星歷參數(shù)還有超限現(xiàn)象。取消GEO的旋轉(zhuǎn)傾角和抑制參數(shù)超限能夠統(tǒng)一北斗混合星座的用戶算法?；诘谝活悷o奇點(diǎn)根數(shù)，分析了無旋轉(zhuǎn)傾角的GEO兩步法星歷參數(shù)擬合算法。討論了GEO的參數(shù)超限原因，提出采用固定1至2個超限參數(shù)取值的縮減參數(shù)擬合法。北斗GEO衛(wèi)星在非地影期和地影期的擬合試驗(yàn)表明，擬合成功率和擬合精度能夠保證，擬合用戶距離誤差(URE)的平均值優(yōu)于3 mm；縮減參數(shù)擬合法能夠抑制特定時段下的參數(shù)超限問題，但是擬合URE放大到2 cm。

GEO衛(wèi)星；廣播星歷參數(shù)；無奇點(diǎn)根數(shù)； 攝動；用戶距離誤差

我國的北斗混合星座具有多GNSS時代的多衛(wèi)星類型特征[1-2]。目前，以軌道幾何參數(shù)表征軌道短期變化的衛(wèi)星廣播星歷，以GPS標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)航電文NAV(GPS navigation)和增強(qiáng)的民用導(dǎo)航電文CNAV(civil navigation)為主。這兩套星歷參數(shù)，都能很好地擬合北斗近圓中高軌衛(wèi)星MEO和IGSO，但是對于北斗GEO，僅顧及了小偏心率近圓軌道，忽略了小傾角特性，因此，即使人為旋轉(zhuǎn)5°傾角，星歷參數(shù)擬合仍有潛在的奇異性，導(dǎo)致直接擬合算法不穩(wěn)定或者少數(shù)擬合參數(shù)出現(xiàn)超限現(xiàn)象[3]。此外，用戶計算衛(wèi)星位置時還需要反向旋轉(zhuǎn)5°傾角以恢復(fù)GEO軌道的正確定向[3-5]。因此從完整流程來看，GEO的廣播星歷模型與IGSO和MEO并非完全一致。

針對GEO的小偏心率和小傾角，文獻(xiàn)[6—7]引進(jìn)了第2類無奇點(diǎn)根數(shù)及其根數(shù)攝動，設(shè)計了無奇點(diǎn)廣播星歷，并且可以同時適用于MEO和IGSO。但是，無奇點(diǎn)參數(shù)目前尚不普及，衛(wèi)星位置計算公式也需要較大改動。文獻(xiàn)[8]提出以第1類無奇點(diǎn)根數(shù)為擬合參數(shù)再轉(zhuǎn)換為星歷參數(shù)的兩步法，也不用旋轉(zhuǎn)傾角，但是仿真結(jié)果表明，該擬合算法不能很好地適應(yīng)小傾角情況。

針對星歷擬合參數(shù)的變化范圍超出導(dǎo)航電文接口設(shè)計門限的參數(shù)超限問題，文獻(xiàn)[3]介紹了GEO衛(wèi)星廣播星歷參數(shù)超限的現(xiàn)象和規(guī)律，基于軌道動力學(xué)特性分析了Δn參數(shù)超限的原因，并提出了固定Δn參數(shù)+參數(shù)嶺估計+調(diào)整擬合弧長的綜合策略。該策略能解決參數(shù)超限，但是嵌套判斷和調(diào)用多種算法過于復(fù)雜和繁瑣，其中嶺估計需要經(jīng)驗(yàn)確定嶺參數(shù)。

本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了無需人為旋轉(zhuǎn)5°傾角的GEO星歷參數(shù)擬合算法。首先，擬合參數(shù)集基于第1類無奇點(diǎn)根數(shù)，以消除小偏心率引起的數(shù)學(xué)奇異。其次，從攝動運(yùn)動方程出發(fā)，討論了3個長期攝動參數(shù)由于小傾角導(dǎo)致的系數(shù)放大。最后，針對GEO的參數(shù)超限時段，引進(jìn)縮減參數(shù)擬合法。試驗(yàn)分析了包含地影期在內(nèi)的北斗GEO星歷數(shù)據(jù)擬合和衛(wèi)星位置計算，結(jié)果表明，在不改變現(xiàn)有導(dǎo)航電文的參數(shù)接口設(shè)計條件下，統(tǒng)一北斗混合星座的星歷擬合算法和用戶算法是可行的，擬合精度優(yōu)于5 cm。

1 GEO的兩步法星歷參數(shù)算法

衛(wèi)星在慣性系下的軌道運(yùn)動描述常采用3種軌道根數(shù)，即開普勒根數(shù)、第1類和第2類無奇點(diǎn)根數(shù)[9]。其中，第1類無奇點(diǎn)根數(shù)是專用于描述小偏心率軌道及其軌道變化的無奇點(diǎn)根數(shù)，并已長期用于近圓軌道衛(wèi)星的軌道描述，如GPS的星歷參數(shù)等[10]。

1.1 近圓軌道和第一類無奇點(diǎn)根數(shù)

經(jīng)典開普勒根數(shù)(a,e,i,Ω,ω,M)分別表示軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近點(diǎn)角距和平近點(diǎn)角。

在小偏心率情況下，用開普勒軌道根數(shù)描述近圓軌道具有奇異性。由于橢圓的拱線(即近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)連線)幾何意義模糊，近點(diǎn)角距ω和平近點(diǎn)角M難以分離，兩參數(shù)具有強(qiáng)負(fù)相關(guān)性。為此，引進(jìn)了第1類無奇點(diǎn)根數(shù)σ1=[ae1iΩu]，

其與開普勒根數(shù)的關(guān)系為[7]

(1)

式中，二維偏心率矢量e1的大小等于偏心率，方向指向近點(diǎn)，并且橢圓運(yùn)動方向的快變量采用新的組合量u，組合量去除了ω和M的負(fù)相關(guān)性。

在理想無攝運(yùn)動條件下，描述同一軌道的3類軌道根數(shù)可以直接轉(zhuǎn)換。在各種攝動力作用下，軌道的變化還對應(yīng)了軌道根數(shù)的攝動。通常軌道根數(shù)的攝動變化依據(jù)時變特性分為3類，即長期項(xiàng)、長周期項(xiàng)和短周期項(xiàng)。但是，若僅僅描述數(shù)小時內(nèi)的軌道星下點(diǎn)的運(yùn)動特性，并保證擬合算法的穩(wěn)健性和節(jié)省發(fā)播電文數(shù)據(jù)，通常要求用有限數(shù)量的參數(shù)表征主要的軌道變化，同時用戶仍能夠采用簡便的解析公式計算衛(wèi)星的受攝位置向量。

以16參數(shù)的GPS廣播星歷參數(shù)為例，雖然GPS衛(wèi)星軌道具有小偏心率特點(diǎn)，但是卻采用了開普勒根數(shù)和第1類無奇點(diǎn)根數(shù)的綜合表示法[11]

(1) 軌道參數(shù)采用開普勒根數(shù)形式。其中將升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω修改為升交點(diǎn)經(jīng)度Ωe=Ω-θg(θg表示Greenwich恒星時)，由于吸收了一階地球自轉(zhuǎn)效應(yīng)，反映了星下點(diǎn)的運(yùn)動特征。

1.2 無奇點(diǎn)擬合參數(shù)集

文獻(xiàn)[8]提出先計算第1類無奇點(diǎn)根數(shù)形式的擬合參數(shù)再轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)廣播星歷參數(shù)的兩步法，既保證了擬合算法的穩(wěn)定性，同時具有轉(zhuǎn)換簡單的優(yōu)點(diǎn)。該算法在MEO和IGSO衛(wèi)星的星歷參數(shù)擬合中均獲得驗(yàn)證。

16參數(shù)NAV和18參數(shù)CNAV廣播星歷，除了星歷參考時刻toe，基于第1類無奇點(diǎn)根數(shù)及其攝動的無奇點(diǎn)擬合參數(shù)集為[8,12-14]

(2)

(3)

1.3 星歷攝動參數(shù)的超限和對策

1.3.1 星歷攝動參數(shù)的變化范圍

星歷參數(shù)作為導(dǎo)航電文的數(shù)據(jù)內(nèi)容，需要根據(jù)各參數(shù)變化范圍進(jìn)行接口設(shè)計，并在接口控制文檔(interface control document，ICD)中按照規(guī)定的格式表示成二進(jìn)制比特流的形式。為討論方便起見，表1僅列出了NAV和CNAV的攝動星歷參數(shù)的參數(shù)適用范圍指標(biāo)[11-13]。

表1 GPS 的NAV和CNAV接口設(shè)計的攝動參數(shù)適用范圍Tab.1 Scope of application of perturbed parameters in ICD of GPS NAV and CNAV

從表1可以看出，CNAV在NAV接口設(shè)計基礎(chǔ)上，調(diào)整了大部分?jǐn)z動參數(shù)的適用范圍，僅有idot和Δn(CNAV中稱為Δn0)保持不變。此外，北斗導(dǎo)航電文與NAV相比，有兩個攝動參數(shù)有變化，即Crc和Crs的適用范圍放大了一倍[15]。

星歷參數(shù)的變化范圍必須控制在其設(shè)計的適用范圍內(nèi)，否則在編碼導(dǎo)航電文時超過了系統(tǒng)設(shè)計分配給該參數(shù)的比特位限制，即參數(shù)超限[3]。

1.3.2 星歷攝動參數(shù)的超限分析

(4)

式中，R表示攝動位。

由于GEO軌道的小傾角，式(4)的3個方程都有小分母問題。即使預(yù)先實(shí)施了旋轉(zhuǎn)5°傾角，假定i=5°，有1/sini≈11.5，cosi≈1，代入式(4)可知：

長期的GEO星歷擬合表明，只有Δn有星歷超限現(xiàn)象，且通常出現(xiàn)在月球攝動引起的半月周期變化的峰值附近[3]。

1.3.3 參數(shù)超限的抑制新方法

在不能修改參數(shù)接口設(shè)計的條件下，文獻(xiàn)[5]提出了幾種抑制超限的方法，即固定Δn參數(shù)+參數(shù)嶺估計+調(diào)整擬合弧長的綜合策略。對于Δn出現(xiàn)超限的特定擬合時段，首先采用固定Δn參數(shù)，如接近門限的某數(shù)值，從而不參與解算，其實(shí)質(zhì)是一種縮減參數(shù)的擬合算法。對于仍然超限的擬合時段，采用嶺估計方法，通過壓縮待估計參數(shù)的模，在保證擬合誤差的前提條件下，將參數(shù)控制在接口范圍門限以內(nèi)。此外，還需要適當(dāng)增加擬合時段長度對參數(shù)變化范圍進(jìn)行調(diào)控。

本文利用攝動參數(shù)間的動力學(xué)運(yùn)動關(guān)系，提出一種改進(jìn)的超限抑制方法。該方法采用單一的縮減參數(shù)擬合法，無需嶺估計，也不需要反復(fù)改變擬合時段長度。

(5)

改進(jìn)的超限抑制方法，流程如下：

(1) 采用無奇點(diǎn)參數(shù)擬合算法，判斷Δn是否超限。

(4) 統(tǒng)一將無奇點(diǎn)擬合參數(shù)轉(zhuǎn)換為星歷參數(shù)。

2 試驗(yàn)和分析

采用北斗混合星座的5顆GEO衛(wèi)星G1～G5進(jìn)行兩步法星歷擬合試驗(yàn)。地固系衛(wèi)星位置向量來自精密星歷的軌道外推結(jié)果，外推10～11 d，并根據(jù)地球自轉(zhuǎn)參數(shù)EOP轉(zhuǎn)換至地固系，具體力模型設(shè)置參見文獻(xiàn)[10]。非地影期的試驗(yàn)數(shù)據(jù)從2016年4月底開始，其中G4衛(wèi)星由于軌道出現(xiàn)問題，缺少精密星歷。地影期數(shù)據(jù)時段從2013年春分日開始，GEO每年兩次的地影季分別在春分日和秋分日附近，每次持續(xù)46 d[16-20]；地影季期間，GEO衛(wèi)星每天有約1 h位于地影內(nèi)。

為適應(yīng)每小時的星歷更新模式，將10 d左右的連續(xù)軌道數(shù)據(jù)逐小時分組，每組分別包含2 h和3 h時段，時段內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔300 s。參數(shù)解算采用最小二乘擬合，當(dāng)前后兩次擬合的殘差均方差(RMS)的相對偏差小于0.001時，迭代結(jié)束。GEO的軌道半長軸的參考值aref取為42 165 760 m[15]。

軌道參數(shù)化的誤差常借助于URE進(jìn)行表征，稱為擬合URE[6]。URE是計算星歷和鐘差誤差對定位影響的一個重要評價指標(biāo)[1，21]。URE的來源主要是外推的軌道和鐘差誤差，此外還包括星歷參數(shù)擬合和鐘參數(shù)擬合的擬合誤差。這里僅分析星歷參數(shù)擬合的單項(xiàng)影響，即將事后精密星歷數(shù)據(jù)作為軌道位置真值，因此評定的星歷計算和URE均是數(shù)學(xué)意義上的擬合精度，不包括軌道和鐘差自身的計算和預(yù)報誤差。擬合URE是軌道位置分量均方差的加權(quán)平均[4-5]，即

2.1 擬合次數(shù)和擬合精度

分別對地影期和非地影期數(shù)據(jù)時段進(jìn)行擬合，圖1給出了2h擬合時段的NAV星歷擬合統(tǒng)計結(jié)果，圖2給出了3h擬合時段的CNAV星歷擬合統(tǒng)計結(jié)果。為了對比混合星座的3類軌道，圖2給出了CNAV星歷對北斗混合星座的14顆GEO/IGSO/MEO衛(wèi)星的結(jié)果。

圖1 NAV星歷擬合結(jié)果(非地影季(左)和地影季(右))Fig.1 NAV-ephemeris fit results during non-eclipse (left) and eclipse(right) seasons

圖2 CNAV星歷擬合結(jié)果(非地影季(左)和地影季(右))Fig.2 CNAV-ephemeris fit results during non-eclipse (left) and eclipse(right) seasons

分析圖1、圖2可以看出：

(1)GEO的擬合成功率均為100%，擬合迭代次數(shù)均穩(wěn)定為3或4次?？梢钥闯?，雖然基于第1類無奇點(diǎn)根數(shù)的擬合參數(shù)對小傾角軌道描述有數(shù)學(xué)奇異問題，導(dǎo)致解算法方程存在潛在的病態(tài)性，但是各試驗(yàn)數(shù)據(jù)段均沒有出現(xiàn)迭代發(fā)散的現(xiàn)象。

(2) 地影數(shù)據(jù)對GEO徑向擬合精度影響最為顯著，因而直接反映到擬合URE。對比圖1(a)和圖2(a) 的左右兩圖，尤其是圖2(a)的3hCNAV擬合，徑向擬合RMS的最大值達(dá)到甚至超過沿跡方向。

(3)GEO擬合URE統(tǒng)計平均值均穩(wěn)定優(yōu)于3mm(圖1(b)和圖2(b))；非地影期的最大值優(yōu)于6mm，地影期間可超過1cm。

(4) 過地影數(shù)據(jù)會影響3～5個連續(xù)時段的GEO擬合URE。圖1(c)和圖2(c)的右圖分別給出了G2星的時序擬合URE，每天1h的進(jìn)出地影期間，光壓攝動力消失，引起軌道不平穩(wěn)變化，導(dǎo)致衛(wèi)星每天相關(guān)的2h或3h擬合時段出現(xiàn)連續(xù)一致的跳變現(xiàn)象，比無地影時高出2～4倍。

(5)GEO衛(wèi)星的位置擬合精度與其他兩類衛(wèi)星量級相當(dāng)(圖2(a))。由于2h對應(yīng)GEO和IGSO的1/12軌道弧段，對應(yīng)MEO則約1/6弧長，因此MEO的擬合精度略低些，尤其是沿跡向。

2.2NAV星歷攝動參數(shù)的變化范圍

(2)NAV星歷參數(shù)Δn出現(xiàn)大幅超限現(xiàn)象，其限差為±3.725 3e-009，對應(yīng)圖中的兩條直線。5個GEO衛(wèi)星的多個10d試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計中，超限時段共計913組，占總時段的40%，見表2。

圖3 GEO的NAV星歷參數(shù)和的變化范圍

2.3NAV超限抑制算法

為滿足參數(shù)接口設(shè)計，采用固定超限參數(shù)取值的縮減參數(shù)擬合算法。首先，對Δn超限時段采用單參數(shù)縮減重新擬合；其次，對仍超限的剩余時段采用雙參數(shù)縮減重新擬合。固定值方案為

表2列出了超限時段的統(tǒng)計。采用單參數(shù)縮減的擬合算法，將占40%總時段的Δn超限時段減少到17個，再對這不到1%的超限時段進(jìn)行雙參數(shù)縮減的擬合計算，即可完全消除超限問題。

表2 超限時段的統(tǒng)計Tab.2 Statistics of fitting arcs with perturbed parameters out of limits

圖4列出了全部Δn超限時段的單參數(shù)縮減的擬合結(jié)果。橫坐標(biāo)是超限時段個數(shù)，每顆星的擬合參數(shù)值進(jìn)行了疊加，與圖3相比可知：

2.4 CNAV超限抑制算法

圖4 固定Δn的NAV星歷參數(shù)和的變化范圍

3 結(jié) 語

實(shí)現(xiàn)北斗混合星座的用戶算法通用性，需要對GEO衛(wèi)星采用無人為傾角旋轉(zhuǎn)的星歷擬合算法。已有文獻(xiàn)提出采用基于第1類無奇點(diǎn)根數(shù)的MEO和IGSO星歷參數(shù)擬合算法，但是沒有針對GEO進(jìn)行廣泛的擬合驗(yàn)證和分析。本文選取了北斗的5顆GEO衛(wèi)星在地影季和非地影季的10 d軌道數(shù)據(jù)，就GEO擬合精度、成功率和星歷參數(shù)接口設(shè)計開展試驗(yàn)分析，并對比了MEO和IGSO的擬合結(jié)果。通過16參數(shù)NAV和18參數(shù)CNAV的星歷擬合試驗(yàn)，初步結(jié)果表明：

圖5 Δn超限和idot超限的NAV星歷擬合結(jié)果Fig.5 NAV-ephemeris fit results with Δn and idot out of limit

圖6 固定Δn的CNAV星歷參數(shù)的變化范圍Fig.6

(1) 基于第1類無奇點(diǎn)根數(shù)的星歷參數(shù)擬合算法，能夠適用于GEO的星歷擬合，并且能夠反映出地影數(shù)據(jù)對軌道擬合的顯著影響。GEO的擬合URE精度與MEO和IGSO的結(jié)果相當(dāng)，擬合URE統(tǒng)計平均值均穩(wěn)定優(yōu)于3 mm，最大值優(yōu)于5 cm。

(2) GEO衛(wèi)星有星歷參數(shù)Δn(或Δn0)的超限現(xiàn)象。超限擬合時段達(dá)到總時段的40%，其根源是第1類無奇點(diǎn)根數(shù)對GEO軌道描述的奇異性。

(3)縮減參數(shù)擬合法能夠解決GEO參數(shù)超限問題。擬合參數(shù)的減少導(dǎo)致軌道面外法向位置分量的擬合誤差變大，但是能夠滿足擬合URE的精度要求。

致謝：特別感謝國家留學(xué)基金委對筆者在德國地學(xué)研究中心公派訪學(xué)的資助。

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(責(zé)任編輯：陳品馨)

GEO NAV/CNAV-type Broadcast Ephemeris Fitting without Rotation of Inclination

DU Lan1，LIU Zejun1，ZHOU Peiyuan1，F(xiàn)ANG Shanchuan1，LIU Li2，MA Gaofeng3

1.College of Navigation & Aerospace Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China； 2.Beijing Global Information Application and Development Center, Beijing 100094, China； 3.Institute of Surveying and Mapping, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China

The GPS-type broadcast ephemerides are currently used by BDS constellation.However, a 5°-rotation added on the original orbital inclination is needed in the GEOs ephemeris parameters fitting algorithm as well as in the user satellite position computation because of the singularity due to small inclination.Besides, the phenomena of exceeding the given boundary happen occasionally for some ephemeris parameters of GEOs.In order to unify the user ephemerides algorithm for the hybrid constellation, a two-step GEO broadcast ephemerides fitting algorithm was analyzed based on the first class nonsingular orbital elements.After the investigation on the reason for the variations of some ephemeris parameters out of limited range, a reduced fitting parameter set was adopted by giving the underlying one or two parameters with fixed values.Fit simulations for 5 GEOs during both eclipsing and non-eclipsing periods show that the two-step fitting algorithm has considerable robustness to ensure the success rate and fitting accuracy.The mean fitting user range error of GEOs with 2 h for NAV and 3 h data set for CNAV are better than 3 mm.For specific fit arcs with the boundary-exceeding problem, it can be fully avoided by using the fitting algorithm with a reduced fitting parameter set.However, the fitting URE will increase to 2 cm.

GEO satellites; broadcast ephemeris parameters; nonsingular orbital elements; perturbation; user range error

The National Natural Science Foundation of China (Nos.41204022；41374042；U1431115)

DU Lan(1970—)，female，PhD，professor，majors in orbital dynamics and satellite navigation.

杜蘭，劉澤軍，周佩元，等.無旋轉(zhuǎn)傾角的NAV/CNAV型GEO廣播星歷擬合[J].測繪學(xué)報，2017,46(3)：297-306.

10.11947/j.AGCS.2017.20160393.

DU Lan，LIU Zejun，ZHOU Peiyuan，et al.GEO NAV/CNAV-type Broadcast Ephemeris Fitting without Rotation of Inclination[J].Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(3):297-306.DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160393.

P228

A

1001-1595(2017)03-0297-10

國家自然科學(xué)基金(41204022；41374042；U1431115)

2016-08-11

修回日期：2017-02-10

杜蘭(1970—)，女，博士，教授，研究方向?yàn)檐壍懒W(xué)和衛(wèi)星導(dǎo)航。

E-mail：dulan2015@qq.com