初元紅, 蔣紅敬, 鄭喜英

(黃河科技學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450063)

用非精確King-werner法求解奇異問題

初元紅, 蔣紅敬, 鄭喜英

(黃河科技學(xué)院 信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450063)

科學(xué)中很多實(shí)際工程問題、生物問題最終轉(zhuǎn)化為求解非線性奇異方程,king-werner法因?yàn)槭諗侩A較高、計(jì)算量少,成為求解非線性方程的經(jīng)典迭代法.但在建模過程中,抽象的數(shù)學(xué)模型和實(shí)際問題之間,總存在一定偏差,因此研究用非精確king-werner法求解非線性方程意義更大.在精確的king-werner法中加入攝動(dòng)項(xiàng),用來求解奇異問題,給出了迭代格式的收斂性和漸進(jìn)收斂速率.

Hilbert空間；非線性方程；非精確king-werner法；奇異問題；收斂速率

0 引言

設(shè)F為Hilbert空間H到H的光滑非線性算子，x*為方程F(x)=0的解.當(dāng)F′(x*)不可逆時(shí)，稱方程F(x)=0為奇異方程.文獻(xiàn)[1-9]中分別給出了Newton等方法求解奇異方程的過程，并給出了漸進(jìn)收斂率.由于實(shí)際問題和數(shù)學(xué)模型之間存在差異，所以考慮用非精確king-werner法求解非線性方程F(x)=0，其迭代如下：

(1)

其中T(x)=F(x)+β3(x),r(x)=β2(x).在奇異點(diǎn)處不精確king-werner法仍然收斂,且漸進(jìn)收斂率為0.430.

1 定理及證明

假設(shè)F′(x*)為指數(shù)為0的Fredholm算子,用N和X表示F′(x*)零空間和值域,用PN和PX表示H到N和X上的投影算子且滿足[3]：F′(x*)有一維零空間

N=span{φ}， ‖φ‖=<φ,φ>1/2=1，H=X⊕N，

(2)

PNF″(x*)(φ,φ)≠0，PN=I-PX.

(3)

記

(4)

引理1 若F滿足下列條件

1) dimN=1； 2)F∈C3； 3)B(z)為N上的可逆算子,?z∈N,

(5)

證明略.

本文的主要結(jié)果：

(6)

(7)

y1-x*=y0-x*-F′(z0)-1(F(y0)+β3(y0))+β2(y0).

(8)

由引理1知

F′(z0)-1=β-1(z0)，

由泰勒公式有

帶入(8)得

(9)

(10)

由引理1可知

同理,可以推出

且存在常數(shù)c1,c2使

(11)

由式(11)有

即

取α<1,則有

取θ0,ρ0充分小,使(1-α)-6(c1θ0+c2ρ0)≥0,則

ρn=yn-x*,ζn+ηn=znζn，

上面證明了非精確king-werner法的收斂性，下面將該方法加速.

(12)

利用Hilbert空間的特征不等式得[9]

則

為了提高算法的收斂速率,令

證明略.

2 計(jì)算實(shí)例

取初始點(diǎn)x1=0.1，x2=0.5，y1=0.12，y2=0.5,部分計(jì)算結(jié)果見表1.

表1 部分計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)論

[1] RALL L B. Convergence of the Newton process to multiple solutions[J].Numerische Mathematik,1966,9(1): 23-37.

[2] REDDIEN G W. On Newton’s method for singular problems[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis,1978,15(5): 993-996.

[3] DECKER D W,KELLEY C T. Convergence rates for Newton’s method at singular point[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis,1983,20(2):296-314.

[4] DECKER D W,KELLEY C T. Convergence acceleration for Newton’s Method at singular point[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1982, 19(1): 219-229.

[5] 潘狀元.求解奇異問題加速迭代格式的構(gòu)造[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,14(2):59-64.

[6] 初元紅,潘狀元,劉曉敏.用修正的Broyden方法求解奇異問題[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào),2006,11(1):39-42.

[7] 初元紅,馬紅娟.Newton-Moser法在奇異點(diǎn)處的加速[J].數(shù)值計(jì)算與計(jì)算機(jī)應(yīng)用,2014,35(1):53-58.

[8] 楊月梅,潘狀元.用非精確的平行割線法求解奇異問題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(6):240-245.

[9] 徐宗本.LP空間特征不等式及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1989,12(2):209-218.

Non-accurate King-werner Method for Solving Singular Problem

CHU Yuanhong, JIANG Hongjing, ZHENG Xiying

(CollegeofInformationEngineering,HuangheScienceandTechnologyCollege,Zhengzhou450063,China)

In science, there are many practical engineering problems and biological problems which have to be transformed into solving nonlinear singular equations. The king-werner method is a classical iterative method for solving nonlinear equations because of its higher convergence order and less computation. But in the process of modeling, there is always a certain deviation between abstract mathematical model and practical problems. So it is important to research the non-accurate king-werner method which is used to solve the nonlinear equation. Adding the perturbation term in the precise king-werner method is used to solve the singular problem. The convergence and the asymptotic convergence rate of the iterative scheme are given.

Hilbert space; nonlinear equation; non-accurate king-werner method; singular problems; convergence rate

2016-12-06

鄭州市科技局資助項(xiàng)目(20141374,20141375)；河南省教育廳項(xiàng)目(14B110024)

初元紅(1979—),女,河南鄭州人,黃河科技學(xué)院信息工程學(xué)院副教授，主要研究方向:數(shù)值計(jì)算.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.01.004

O241

A

1007-0834(2017)01-0019-05