皮慶華

摘要：在高等院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)史具有很重要的意義。通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法、意義，明確數(shù)學(xué)各個(gè)學(xué)科之間的聯(lián)系，進(jìn)而更好的進(jìn)行相關(guān)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)。本文僅就筆者在數(shù)學(xué)史教學(xué)中的若干經(jīng)驗(yàn)，以數(shù)系的發(fā)展為出發(fā)點(diǎn)，淺談其與數(shù)學(xué)其他課程的若干聯(lián)系。

關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)史；有理數(shù)；無(wú)理數(shù)；數(shù)系的完備化

O156

一、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)

自然數(shù)及相應(yīng)的加法運(yùn)算，在公元前三千多年的古巴比倫文明和古埃及文明中就已經(jīng)出現(xiàn)。但直到公元前600年到公元前300年的古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)才正式作為一個(gè)學(xué)科登上歷史舞臺(tái)。

古希臘人研究自然數(shù)的比值，即可公度比，產(chǎn)生了有理數(shù)的概念。而不可公度比，即所謂無(wú)理數(shù)，是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯（Hippasus），在公元前5世紀(jì)發(fā)現(xiàn)并證明的。這個(gè)證明可以很容易的借助于勾股定理給出：

由上述證明 是不可公度比的過(guò)程，我們可以看到數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)密性。

二、無(wú)理數(shù)的不同認(rèn)知方式

當(dāng)進(jìn)行充分大的步驟的時(shí)候，誤差就可以充分的?。O限中的 語(yǔ)言）。

另外一種是借助于幾何進(jìn)行等價(jià)認(rèn)知。在數(shù)軸上取長(zhǎng)度為1的區(qū)間，固定一個(gè)頂點(diǎn)，將另外一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度。連接旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形。之后將斜邊旋轉(zhuǎn)回?cái)?shù)軸。由此我們可以得到 。

以上兩種方法，反應(yīng)了當(dāng)代數(shù)學(xué)研究的兩種思想。一種思想是，通過(guò)分析的方法，借助于已有的理論，對(duì)未知的問(wèn)題進(jìn)行某種程度的估算；另外一種思想是，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化至某種良序的代數(shù)或幾何對(duì)象，借助該對(duì)象的性質(zhì)來(lái)認(rèn)知原始問(wèn)題。例如，為了描述素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布情況，由Gauss做了猜想，然后由1896年數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪（Hadamard）和普森（de la Vallée-Poussin）分別獨(dú)立證明的素?cái)?shù)定理，即是將素?cái)?shù)在自然數(shù)中的分布情況，描述為如上形式的漸近公式。

另外一個(gè)例子是費(fèi)馬大定理的證明。德國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）在1673年提出如下的猜想當(dāng)整數(shù)n >2時(shí)，關(guān)于x， y， z的方程 沒(méi)有正整數(shù)解。這個(gè)猜想最終由懷爾斯（Wiles）于1996年證明。懷爾斯證明該猜想的思路是，將原來(lái)的算數(shù)問(wèn)題，通過(guò)某種情況下的谷山─志村─韋伊定理，轉(zhuǎn)化為橢圓模函數(shù)的某類(lèi)等價(jià)命題，才給出了證明。

三、數(shù)系和群論

對(duì)于有理數(shù)域 的進(jìn)一步擴(kuò)展，聯(lián)系到代數(shù)多項(xiàng)式的解。將代數(shù)多項(xiàng)式的解添加入有理數(shù)中，按照域的定義，構(gòu)成新的域，是為有理數(shù)域的代數(shù)擴(kuò)張。

由此，如上所述，從數(shù)系的發(fā)展到有理數(shù)域的擴(kuò)張，其牽扯到了近代數(shù)學(xué)的一門(mén)高度抽象的學(xué)科——抽象代數(shù)。古典數(shù)學(xué)的一些問(wèn)題，如尺規(guī)作圖法能否三等分任意角、尺規(guī)作圖法能否得到任意正多邊形等問(wèn)題，都是由抽象代數(shù)的理論來(lái)得到其結(jié)果的。

四、數(shù)系的完備化

我們從另一個(gè)角度來(lái)看有理數(shù)域——考慮有理數(shù)的完備化。我們知道，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)一起，構(gòu)成了實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上是連續(xù)的，我們可以在實(shí)數(shù)上引入絕對(duì)值的概念。

在該度量下， 是泛函分析中所定義的賦范線性空間。其對(duì)應(yīng)該度量（或者范數(shù)）的完備化空間（Banach空間），恰是整個(gè)實(shí)數(shù)域 。由此，可以將實(shí)數(shù)系 描述為有理數(shù)域 在賦值 下的完備化空間。

我們記 為有理數(shù)域 在如上p-進(jìn)位賦值下的完備化?？梢宰C明，對(duì)不同的素?cái)?shù) ， 是有理數(shù)域上的不等價(jià)的賦值；加上對(duì)應(yīng)的絕對(duì)值 ，就構(gòu)成了有理數(shù)域所有的不等價(jià)的賦值。

如同實(shí)數(shù)域 ，我們同樣可以對(duì)完備化后的 上定義拓?fù)?、函?shù)，建立Fourier變換等分析工具。某些有理數(shù)上的算數(shù)問(wèn)題，即可以通過(guò)等價(jià)變化，轉(zhuǎn)化到完備化后的 及 上的問(wèn)題，然后使用建立的分析工具進(jìn)而求解。

結(jié)束語(yǔ)：從自然數(shù)出發(fā)，到有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)。數(shù)系的發(fā)展與數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，如分析、代數(shù)、拓?fù)洹⒎汉?，均有深刻的?lián)系。希望借助于此問(wèn)題的闡述，能夠?qū)Ω咝?shù)學(xué)史的教學(xué)有所啟發(fā)。