常樂浩，賀朝霞，劉 嵐，劉清濤

(1. 長安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點實驗室，西安 710064；2. 西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，西安 710072)

一種確定斜齒輪傳遞誤差和嚙合剛度的快速有效方法

常樂浩1，賀朝霞1，劉 嵐2，劉清濤1

(1. 長安大學(xué) 道路施工技術(shù)與裝備教育部重點實驗室，西安 710064；2. 西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，西安 710072)

基于Smith切片法理論，提出了一種快速計算斜齒輪副傳遞誤差和嚙合剛度的改進方法。該模型將斜齒輪沿齒寬方向劃分為一系列相互獨立的薄直齒輪，考慮單個切片的彎曲-剪切變形、局部接觸變形及輪體結(jié)構(gòu)變形，通過各切片間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系建立斜齒輪非線性承載接觸模型，進而得到齒面載荷分布、傳遞誤差和嚙合剛度等信息。該方法較Smith切片法增加了時變單齒剛度、接觸變形非線性效應(yīng)以及輪體結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，提高了模型的計算精度和適用性。該模型的計算精度與有限元方法相當，但具有更高的計算效率，更適合于齒輪傳動系統(tǒng)振動和噪聲的快速預(yù)測。

斜齒輪；傳遞誤差；嚙合剛度；切片法

齒輪副傳遞誤差和嚙合剛度都是引起齒輪裝置振動主要的激勵因素，是進行齒輪系統(tǒng)振動分析首要開展的研究工作。傳遞誤差的組成要素大致可歸為變形和誤差兩大類。對于無誤差和無修形的齒輪，傳遞誤差僅與齒輪彈性變形大小相關(guān)，所以傳遞誤差和嚙合剛度經(jīng)常被放在一起研究。

齒輪傳遞誤差和嚙合剛度的早期研究主要針對理想齒輪采用解析法求得，代表方法有材料力學(xué)方法[1]和彈性力學(xué)方法[2]，側(cè)重于計算輪齒的變形。這兩類方法能較準確地計算直齒輪的變形，但對三維接觸的斜齒輪副就有失準確性，且無法包含輪齒誤差的影響。CHEN等[3]利用基于彈性力學(xué)的勢能法計算齒輪副的各類變形，增加了輪齒誤差對直齒輪傳遞誤差的影響。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，三維有限元法(FEM)得到了越來越廣泛的應(yīng)用，代表有承載接觸分析方法[4-5]和接觸有限元法[6-7]。有限元法能夠考慮斜齒輪變形的三維效應(yīng)，且能夠計入齒面誤差、修形和嚙合錯位量等多種因素對傳遞誤差的影響，但存在計算效率低、計算穩(wěn)定性差等缺點。雖然目前研究中出現(xiàn)了有限元法和彈性接觸理論相結(jié)合的混合模型來彌補常規(guī)有限元法的不足[8-9]，但仍需要建立完整的齒輪有限元模型，整體過程仍較繁瑣。

為了能夠解決斜齒輪傳遞誤差的計算問題，同時避免耗時的有限元計算，以SMITH等[10-12]為代表的學(xué)者們提出了切片法理論。它的基本思想是將斜齒輪劃分為一定數(shù)量且不考慮相互之間作用的等厚度切片(薄板)，這樣斜齒輪副就轉(zhuǎn)換為一系列相互獨立的具有一定相位差的薄直齒輪，如圖1所示。每個薄直齒輪與斜齒輪具有相同的端面齒廓，其剛度通過ISO標準計算。當給定外力后，根據(jù)不同切片之間的變形和載荷平衡關(guān)系，即可計算出不同切片間的載荷分布和齒輪副傳遞誤差。

然而，SMITH等的計算模型中主要存在以下三個缺點：①忽略了輪齒變形從齒頂?shù)烬X根的差異性；②未計入輪體結(jié)構(gòu)參數(shù)對齒輪變形的影響；③未考慮接觸變形隨載荷的非線性變化特點。這將導(dǎo)致計算結(jié)果產(chǎn)生一定誤差，并使其通用性受到限制。

圖1 斜齒輪切片模型Fig.1 Thin slice model of a helical gear

本文針對Smith切片法的上述不足，增加時變單齒剛度、輪體結(jié)構(gòu)參數(shù)以及接觸非線性效應(yīng)的影響，提出了計算斜齒輪副傳遞誤差和嚙合剛度的改進切片方法。通過求解非線性接觸方程可得到齒面載荷分布、傳遞誤差和嚙合剛度等信息，并與有限元方法結(jié)果進行對比，驗證了該方法的有效性。

1 Smith切片法簡介

1.1 切片劃分及接觸點布置

圖2 嚙合面切片劃分與接觸點布置Fig.2 Thin slices and contact points on plane of action

圖2為斜齒輪嚙合面上的切片劃分與接觸點布置示意圖。切片沿齒寬方向均勻分布，具有相同的厚度b。在同一個嚙合位置時，各輪齒上的接觸線相互平行且相鄰接觸線在ym方向上相差一個pbt。劃分的接觸點位于切片中點與各瞬時接觸線的交點處。某一接觸點M在嚙合面坐標系om-xmym中的坐標(xm,ym)可通過圖2中的幾何關(guān)系獲得。當需要引入齒面誤差或修形參數(shù)時，可將誤差或修形分布均轉(zhuǎn)換至嚙合平面，得到各接觸點的誤差或修形量。

1.2 傳遞誤差和嚙合剛度的求解

假設(shè)齒面誤差相對于齒輪宏觀結(jié)構(gòu)足夠小，實際接觸點與理論接觸點位置重合，且接觸后各點法線方向不發(fā)生變化。不考慮輪齒嚙合時的摩擦力和潤滑油作用，則在嚙合力P作用下，若齒輪副產(chǎn)生的傳遞誤差為δ，有載荷平衡關(guān)系：

(1)

式中，ks為各接觸點剛度，即單個切片剛度，SMITH認為各切片剛度相同，由ISO 6336中的單齒剛度公式得出；εi為接觸點i處的初始間隙量，即誤差或修形量；ui為各接觸點的變形，且滿足當δ>εi時，表明該點已接觸，ui取正值，當δ>εi時，表明該點未接觸，ui取0。

SMITH采用迭代法計算傳遞誤差δ，迭代步驟如下：

(1) 令k=1，給定傳遞誤差初值δ(1)；

(2) 依次判斷每個接觸點i處變形δ(k)-εi的大小，若小于0，令其等于0；

(3) 根據(jù)式(1)求得總載荷P(k)；

(5) 齒輪副嚙合剛度為K=ncks，nc為實際接觸點數(shù)。

1.3Smith方法的優(yōu)缺點

Smith切片法最大的優(yōu)點在于，將斜齒輪的三維問題簡化為二維問題處理，大大簡化了計算。相比傳統(tǒng)解析法，能夠計入齒輪變形、齒面制造誤差和修形等參數(shù)，使計算的傳遞誤差中包含變形和誤差兩類因素的影響。相比有限元法，雖然精度略低，但具有更高的計算效率，因此非常適合于傳遞誤差的快速預(yù)測。

Smith切片法的缺點主要有：

(1)認為單個切片從齒頂?shù)烬X根的剛度為定值，即ISO標準中的單齒剛度。但實際上單個輪齒在不同嚙合位置的剛度是變化的，導(dǎo)致輪齒變形從齒頂?shù)烬X根產(chǎn)生差異，這種假設(shè)顯然是不合適的；

(2)無法計入由齒輪輪體結(jié)構(gòu)柔性引起的輪齒附加變形，限制了其適用范圍。

(3)由于齒面微觀接觸變形與所受載荷呈非線性關(guān)系，導(dǎo)致嚙合剛度實際上隨嚙合力呈非線性變化，而Smith方法無法考慮此種效應(yīng)。

這些未考慮的因素都將降低Smith方法的準確性。本文將主要針對上述缺點，在Smith方法的基礎(chǔ)上，對預(yù)測傳遞誤差和嚙合剛度的方法進行改進。

2 改進的切片法

改進切片法的第一步仍為切片劃分和接觸點布置，與Smith方法相同(1.1節(jié))，不同點主要體現(xiàn)在后續(xù)單個切片變形的計算及模型的求解方法上。

2.1 單個切片變形的修正

輪齒的綜合變形可分解為彎曲-剪切變形、輪體附加變形在內(nèi)的線性宏觀變形，以及非線性的局部接觸變形。SMITH認為所有切片(接觸點)的剛度相同，不隨接觸線和接觸點位置變化，這種假設(shè)顯然是不合理的，所以必須對其進行修正。

2.1.1 時變彎曲-剪切變形

Weber將輪齒簡化為彈性基礎(chǔ)上的變截面懸臂梁，如圖3所示，通過法向力所作的功與變形能相等導(dǎo)出了輪齒彎曲-剪切變形的計算公式。

圖3 彎曲-剪切變形的幾何參數(shù)Fig.3 Geometrical parameters for bending-shearing deformation

接觸點i在單位載荷下的彎曲-剪切變形量為[13]：

(2)

式中，αu為接觸點法向力與x軸所夾銳角；E為彈性模量；x，y，yci的大小如圖3所示。

2.1.2 輪體附加變形

SAINSOT[13]等將Muskhelishvili方法應(yīng)用到彈性圓環(huán)上，推導(dǎo)出齒輪輪體變形的計算式。接觸點i在單位載荷作用下的輪體部分變形量λfi為：

(3)

式中：u和sf的數(shù)值可由圖4求出；系數(shù)L、M、P和Q由以下多項式近似求得：

(4)

式中：Xi為系數(shù)L、M、P和Q；hf=rf/rint；rf，rint和θf如圖4所示；Ai～Fi的數(shù)值如表1所示。

表1 式(4)中各系數(shù)值Tab.1 Coefficients for equation (4)

圖4 輪體變形的幾何參數(shù)Fig.4 Geometrical parameters for gear body deformation

2.1.3 接觸點的接觸變形

齒輪在接觸點的局部接觸變形uci可近似為兩圓柱的線接觸問題求解，當兩齒輪材料泊松比均為0.3時，計算公式為[14]：

(5)

式中，h1，h2分別為主、從動輪在圖3中接觸點M與輪齒中線上P點之間的距離；

2.2 傳遞誤差和嚙合剛度的求解

接觸點i處的宏觀線性變形ugi為：

ugi=λgiFi

(6)

式中，λgi=λb1i+λb2i+λf1i+λf2i為宏觀變形柔度，下標1，2分別代表主、從動輪；Fi為接觸點i的載荷。

接觸點i的彈性變形協(xié)調(diào)條件為：

λgiFi+uci(Fi)=δ-εi≥0

(7)

式中，δ和εi的含義同式(1)。右側(cè)不等式中，當δ>εi時，取大于0，表明該點已接觸，F(xiàn)i>0；當δ<εi時，取等于0，表明該點未接觸，F(xiàn)i=0。

將式(7)寫成矩陣形式為：

[λg]n×n{F}n×1+{uc}n×1=δ-{ε}n×1

(8)

在接觸時還需滿足載荷平衡條件：

(9)

由于式(8)中的接觸變形隨載荷是非線性變化的，增加了求解難度，所以需要對Smith求解方法進行適當修改。參考1.2節(jié)中的方法，對由式(8)和式(9)組成的方程組，采用兩層迭代求解，過程如下：

(1)令k=1，給定傳遞誤差初值δ(1)；

(2)依次判斷每個接觸點變形δ(k)-εi的大小，若小于0，令其等于0；

3 計算結(jié)果分析

3.1 切片密度的影響

采用表2中無誤差斜齒輪參數(shù)，不同切片數(shù)目時對應(yīng)的傳遞誤差曲線和均值如圖5所示。從圖中可以看出，隨著切片數(shù)目的增加，傳遞誤差計算值將減小，當切片數(shù)目大于15時，傳遞誤差基本不再變化。由于切片法在計算時假設(shè)各切片間相互獨立，但實際上相鄰切片間存在剪切應(yīng)力而相互牽制。然而從計算結(jié)果可知，當切片劃分足夠多，相鄰切片間的載荷相差不大時，這種牽制作用就會變的相對較小。這與Smith在文獻[10]中的描述一致。因此，本文在后續(xù)計算中均將切片數(shù)目取為15。

表2 算例齒輪副基本參數(shù)Tab.2 Basic parameters of the gear pair

3.2 與其它方法的對比

3.2.1 理想齒輪嚙合剛度對比

作者在文獻[9]中基于有限元法和接觸理論，提出了一種齒輪嚙合剛度算法。此處首先以不同螺旋角時的無誤差齒輪副為例，對比FEM法、Smith方法[10]和本文方法所計算的嚙合剛度。將螺旋角分別取為0°，10°，20°和30°，計算時單位齒寬載荷均為300 N/mm(便于和ISO結(jié)果對比)。各方法的單位齒寬嚙合剛度Cγ曲線如圖6所示，均值對比如表3所示。

(a) 傳遞誤差曲線

(b) 傳遞誤差均值圖5 不同切片密度下傳遞誤差Fig.5 Transmission errors with different number of slices

β/(°)Cγ/(N·(mm·μm)-1)ISO6336Smith方法FEM方法本文方法021.5324.1021.9422.181020.9623.6321.7722.002019.2922.4521.5721.343016.6220.5920.5820.29

由圖6和表3可知，相比Smith方法，本文方法計算的嚙合剛度與FEM方法更為接近。Smith方法與FEM在螺旋角為0時均值相差最大，約為9.8%。這是由于Smith采用ISO中的單齒剛度，是單個輪齒在一個嚙合過程內(nèi)的最大剛度。本文方法在各螺旋角時與FEM方法相差都在2%以內(nèi)，相比Smith方法精度更高。三種方法計算的嚙合剛度曲線在一個嚙合周期內(nèi)的變化趨勢是基本一致的。

由表3中數(shù)據(jù)可知，對于斜齒輪，隨著螺旋角增大，四種方法計算的嚙合剛度均值都會略有下降。其中ISO方法下降最為明顯，Smith方法次之，F(xiàn)EM方法和本文方法下降較少。這是因為ISO標準在計算時僅考慮了端面重合度，而未計入軸向重合度的影響，結(jié)果與FEM差異最大。與之對應(yīng)，由于Smith方法的單齒剛度采用ISO的單齒剛度，所以其計算剛度也隨著螺旋角的增加有較大幅度下降，但數(shù)值始終略大于FEM結(jié)果。而改進方法的剛度均值始終在FEM結(jié)果周圍變化，精度相比Smith方法要高。

圖6 不同方法的嚙合剛度對比Fig.6 Mesh stiffnesses calculated by different methods

在計算時間方面，F(xiàn)EM方法根據(jù)齒輪模型大小和網(wǎng)格密度的不同，通常需要5～10 min的時間，而本文方法計算時間僅為1～2 s，大大提高了計算效率。

3.2.2 修形齒輪傳遞誤差對比

取螺旋角為10°，分別采用本文方法和FEM方法計算無修形和有修形時不同載荷下的傳遞誤差，如圖7和圖8所示。修形時令小齒輪在齒廓和齒寬方向均有5 μm的起鼓量，大齒輪無修形。

從圖7和圖8中可以看出，無論是否修形，兩種方法在各載荷時的曲線都非常接近，說明本文方法在有無修形時都是有效的。隨著載荷增加，齒輪變形增加，傳遞誤差將增加。無修形時，各載荷下的傳遞誤差曲線形狀基本相同，且近似與圖6(b)中嚙合剛度曲線呈相反狀態(tài)。而當修形后，由于不同載荷時齒面接觸狀態(tài)發(fā)生改變，齒輪變形和修形實際作用量都產(chǎn)生非線性變化，導(dǎo)致傳遞誤差曲線形狀大不相同。

圖7 無修形時傳遞誤差對比Fig. 7 Transmission errors without tooth modification

圖8 有修形時傳遞誤差對比Fig. 8 Transmission errors with tooth modification

3.3 接觸變形的載荷非線性效應(yīng)

仍取螺旋角為10°，分別用FEM方法和本文方法計算不同嚙合力P時嚙合剛度Cγ均值的變化，如圖9所示。從圖中可以看出，嚙合剛度均值隨著載荷P的增加呈非線性增加的趨勢。這主要是因為齒面接觸變形隨載荷是非線性變化的，從而引起嚙合剛度的非線性。隨著載荷的上升，接觸剛度的增加使嚙合剛度增加，同時接觸區(qū)域逐漸擴大，接觸剛度的變化率會逐漸減小。另外在不同載荷下，兩種方法計算的Cγ均值都基本相等，相差僅在2%以內(nèi)，說明本文方法在不同載荷時也是適用的。

圖9 接觸變形非線性引起的嚙合剛度變化Fig. 9 Mesh stiffness variation due tononlinearity of contact deformation

3.4 輪體參數(shù)的影響

仍取螺旋角為10°，令大齒輪內(nèi)孔半徑rint2的大小分別為30 mm、40 mm、50 mm和70 mm，分別采用本文方法和FEM方法計算無誤差時的傳遞誤差曲線如圖10所示。從圖中可以看出，隨著內(nèi)孔半徑的增加，輪體的柔性會減小，由輪體附加變形引起的傳遞誤差量減小，導(dǎo)致傳遞誤差呈下降趨勢。兩種方法在不同內(nèi)孔半徑時的傳遞誤差曲線仍非常接近，驗證了采用式(3)考慮輪體附加變形方法的正確性。

圖10 大齒輪不同內(nèi)孔半徑時的傳遞誤差Fig.10 Transmission errors with differenthole radius of the wheel

4 結(jié) 論

(1)本文針對Smith切片法的不足，增加了時變單齒剛度、接觸變形非線性效應(yīng)以及輪體結(jié)構(gòu)參數(shù)等對齒輪變形和傳遞誤差的影響，提出了一種修正的切片方法預(yù)測齒輪副傳遞誤差和嚙合剛度，具有更高的求解精度和更廣的適用范圍。

(2)無論是否計入輪齒誤差和修形，本文方法與有限元法相比，在計算齒輪傳遞誤差和嚙合剛度時的精度都相當，但本文方法具有更高的求解效率，更適合于快速預(yù)測場合。

(3)本文在計算時仍忽略了相鄰切片間剪切應(yīng)力的相互牽制效應(yīng)，但從計算結(jié)果來看，當切片劃分數(shù)目大于15時，本文方法與有限元法的結(jié)果非常接近，說明此時切片間剪切應(yīng)力的影響很小，也驗證了采用這種假設(shè)的合理性。

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Express method for determining the transmission error and mesh stiffness of helical gears

CHANG Lehao1, HE Zhaoxia1, LIU Lan2， LIU Qingtao1

(1. Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment of Ministry of Education, Chang’an University, Xi’an 710064, China；2.Shaanxi Engineering Laboratory for Transmissions and Controls, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

An efficient method for predicting the transmission error and mesh stiffness of helical gears was presented based on the thin slice theory proposed by Smith. A helical gear was divided into a series of independent thin spur gears along the tooth width. The bending-shearing deformation and local contact deformation of each single slice and the gear body deformation were taken into account in this model. Meanwhile, a loaded contact model was built through the deformation compatibility between different slices. Then, the load distribution on tooth surface, transmission error and mesh stiffness were calculated. The time varying single tooth stiffness, the nonlinear effect of loaded contact deformation and gear body effects were additionally considered, comparing with the Smith’s thin slice method, which increases the accuracy and applicability. The higher computational efficiency of the proposed method than the finite element method with the same accuracy makes it more suitable for fast prediction of the vibrations and noises of gear systems.

helical gears; transmission error; mesh stiffness; thin slice method

國家自然科學(xué)基金(51605040；51535009；51305042)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費資助項目(310825161004)

2015-11-26 修改稿收到日期： 2016-08-14

常樂浩 男，博士，講師，1987年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.06.024