劉曉哲

（遼寧省水文局，遼寧沈陽(yáng)110003）

基于改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型的河流徑流預(yù)測(cè)研究

劉曉哲

（遼寧省水文局，遼寧沈陽(yáng)110003）

針對(duì)傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型不能考慮各因子權(quán)重的局限，文章引入自相關(guān)系數(shù)作為各因子權(quán)重，對(duì)傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型進(jìn)行改進(jìn)，并將改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型進(jìn)行徑流預(yù)測(cè)。研究結(jié)果表明：改進(jìn)馬爾科夫鏈模型可提高方程的收斂性和預(yù)測(cè)精度，改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型徑流預(yù)測(cè)精度明顯好于傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型的預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相關(guān)系數(shù)高于傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型。研究成果對(duì)于區(qū)域徑流的數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)具有較好的參考價(jià)值。

改進(jìn)馬爾科夫鏈模型；傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型；加權(quán)權(quán)重；徑流預(yù)測(cè)

馬爾科夫鏈模型可以表述隨機(jī)系列的動(dòng)態(tài)變化，可通過(guò)不同變量之間的狀態(tài)變化的轉(zhuǎn)移概率來(lái)預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)的變化。由于模型具有明確的數(shù)學(xué)意義，當(dāng)前被廣泛用于不同變量的預(yù)測(cè)。近些年來(lái)，隨著計(jì)算技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)模型也不斷地被用于水文序列變量的模擬預(yù)測(cè)，并取得一定的研究成果［1-6］。這些數(shù)學(xué)模型包括灰色系統(tǒng)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型法以及其他時(shí)間序列模型法，但在這些模型中，馬爾科夫鏈模型可以通過(guò)不同變量之間的轉(zhuǎn)移概率來(lái)反映不同隨機(jī)變量之間的影響程度，可以較好的模擬不同狀態(tài)變量之間的相互聯(lián)系，近些年來(lái)，被許多學(xué)者應(yīng)用于水文序列的模擬中，取得較好的預(yù)測(cè)模擬成果［7-10］。但這些成果都表明馬爾科夫鏈模型存在收斂精度不高，且未能考慮不同因子之間的權(quán)重，為此有學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型進(jìn)行改進(jìn)，引入權(quán)重系數(shù)，對(duì)各個(gè)因子設(shè)定不同的權(quán)重，提高了模型的收斂精度以及變量預(yù)測(cè)的精度。但改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型只是對(duì)降水系列進(jìn)行了模擬，還未在天然徑流進(jìn)行預(yù)測(cè)，而天然徑流是水資源評(píng)價(jià)的重要依據(jù)。為此本文引入改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型，結(jié)合水文站還原的天然徑流資料，對(duì)比分析改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型和傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈模型的徑流預(yù)測(cè)精度。研究結(jié)果對(duì)于數(shù)學(xué)模型在流域徑流中的應(yīng)用研究提供參考價(jià)值。

1 加權(quán)馬爾科夫鏈模型原理

1.1 馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈先計(jì)算一組隨機(jī)變量序列，｛x，t∈ T｝為隨機(jī)生成的一組隨機(jī)序列，在隨機(jī)序列中，

對(duì)于任意時(shí)間變量t≥0以及隨機(jī)變量的狀態(tài)值j，i0，i1，i2，i3….it-1，i1∈E。都代表

則表示｛x，t∈T｝為馬爾科夫鏈。通過(guò)馬爾科夫鏈的表達(dá)式可以看出，馬爾科夫鏈表示的系統(tǒng)含義是t+s時(shí)刻變量的一個(gè)狀態(tài)值只和前個(gè)t時(shí)刻的狀態(tài)相關(guān)，而和t時(shí)刻以前的狀態(tài)無(wú)任何關(guān)聯(lián)。

傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈未能考慮各個(gè)變量因子之間的權(quán)重系數(shù)，在收斂計(jì)算時(shí)存在收斂異常的情況，為此本文引入改進(jìn)的馬爾科夫鏈。改進(jìn)的馬爾科夫鏈主要是通過(guò)建立各個(gè)因子不同的轉(zhuǎn)移概率權(quán)重，利用標(biāo)準(zhǔn)化的各因子的自相關(guān)系數(shù)作為轉(zhuǎn)移概率權(quán)重，將變量的某一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行加權(quán)，以加權(quán)后的概率作為變量在某個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè)值。從而預(yù)測(cè)該變量標(biāo)準(zhǔn)化因子所處在的變量值。改進(jìn)的馬爾科夫鏈變量的徑流預(yù)測(cè)的主要步驟：

（1）通過(guò)建立各個(gè)變量因子的不同等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)以及各因子變化轉(zhuǎn)移的概率系數(shù)，采用標(biāo)準(zhǔn)方差法進(jìn)行不同等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)化。通過(guò)這種方法來(lái)確定徑流預(yù)測(cè)不同時(shí)刻的狀態(tài)值。因?yàn)樾枰?jì)算不同等級(jí)下的各因子的變化轉(zhuǎn)移的權(quán)重系數(shù)，所以需要對(duì)各個(gè)因子的概率權(quán)重系數(shù)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

（2）各因子不同相關(guān)系數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)對(duì)各個(gè)影響因子進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式為：

式中，xi表示的第i個(gè)時(shí)刻的變量狀態(tài)值，在文中表示為徑流值，x-表示為徑流的平均值。

對(duì)各個(gè)變量因子進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，標(biāo)準(zhǔn)化處理公式為：

式中，m代表的物理意義為模型預(yù)測(cè)計(jì)算的最大因子數(shù)。

（3）結(jié)合前面2個(gè)步驟中不同時(shí)刻的計(jì)算值作為初始的狀態(tài)值，對(duì)應(yīng)各個(gè)變量的轉(zhuǎn)移概率加權(quán)權(quán)重系數(shù)，可以推算出下個(gè)時(shí)刻不同的狀態(tài)變量值，其中K表示的模型計(jì)算時(shí)段的步長(zhǎng)，本文選用年、月2個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。

（4）將處在同一個(gè)時(shí)間變量的狀態(tài)預(yù)測(cè)值和各個(gè)因子的權(quán)重進(jìn)行疊加計(jì)算，可以表示某個(gè)變量在該狀態(tài)下的概率預(yù)測(cè)值，表達(dá)式為：

該時(shí)刻的計(jì)算最大概率值表示預(yù)測(cè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)下的狀態(tài)值。

（5）基于模糊數(shù)學(xué)的理論，通過(guò)各個(gè)狀態(tài)變量不同權(quán)重系數(shù)可以得到各因子的權(quán)重矩陣wi，則得到年徑流的預(yù)測(cè)值，表達(dá)式為：

式中，T和B分別表示的變量狀態(tài)的上下邊界。

（6）結(jié)合改進(jìn)的馬爾科夫鏈的游歷和方程穩(wěn)定的特點(diǎn)，可以計(jì)算不同狀態(tài)的變量概率值。

2 實(shí)例應(yīng)用

2.1 數(shù)據(jù)說(shuō)明

選用遼寧二道河子水文站1980～2010年經(jīng)過(guò)還原的天然徑流數(shù)據(jù)，運(yùn)用改進(jìn)前后的馬爾科夫鏈進(jìn)行徑流預(yù)測(cè)，其中1980～2000年徑流數(shù)據(jù)用于模型訓(xùn)練分析，2000～2010年徑流數(shù)據(jù)用于模型預(yù)測(cè)，結(jié)合實(shí)測(cè)水文數(shù)據(jù)對(duì)比分析改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型和傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型預(yù)測(cè)精度，模擬的時(shí)間尺度分為年尺度和月尺度。

2.2 模擬結(jié)果對(duì)比分析

2.2.1 年徑流預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

基于改進(jìn)的馬爾科夫鏈和傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈分別對(duì)遼寧二道河子水文站2000～2010年天然徑流進(jìn)行預(yù)測(cè)，并和水文站實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。模擬結(jié)果見(jiàn)表1和圖1。

表1 改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型模擬徑流量年尺度預(yù)測(cè)對(duì)比成果

從表1中可以看出，改進(jìn)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的徑流和實(shí)測(cè)的徑流值誤差5.6%～13.2%之間，相對(duì)誤差的平均值為8.29%，而傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的徑流值和實(shí)測(cè)的徑流值相對(duì)誤差在10.7%～18.1%之間，相對(duì)誤差的平均值14.96%，可見(jiàn)改進(jìn)的馬爾科夫鏈提高了徑流預(yù)測(cè)的精度。其次從圖1中也可以看出，改進(jìn)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的年尺度徑流值和實(shí)測(cè)的徑流值的相關(guān)系數(shù)為0.8534，而傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的年尺度徑流值和實(shí)測(cè)的徑流值的相關(guān)系數(shù)為0.6806，可見(jiàn)在年尺度上改進(jìn)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的徑流值和實(shí)測(cè)的徑流值相關(guān)度更高。

2.2.2 月徑流預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

由于徑流在各個(gè)月份的值均不同，為此本文結(jié)合改進(jìn)的馬爾科夫鏈對(duì)月尺度的徑流值進(jìn)行預(yù)測(cè)，也和傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果見(jiàn)表2和圖2。

表2 改進(jìn)的馬爾科夫鏈模擬徑流月尺度預(yù)測(cè)對(duì)比成果

從表2中可以看出，改進(jìn)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的月尺度徑流和實(shí)測(cè)的徑流值相對(duì)誤差在6.6%～13.2%之間，相對(duì)誤差的平均值為11.2%，而傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的月尺度徑流值和實(shí)測(cè)的徑流值相對(duì)誤差在14.2%～28.6%之間，相對(duì)誤差的平均值20.2%，可見(jiàn)改進(jìn)的馬爾科夫鏈明顯提高了月尺度徑流預(yù)測(cè)的精度。其次從圖2中也可以看出，改進(jìn)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的月尺度徑流值和實(shí)測(cè)的徑流值的相關(guān)系數(shù)為0.8477，而傳統(tǒng)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的年尺度徑流值和實(shí)測(cè)的徑流值的相關(guān)系數(shù)為0.6422，可見(jiàn)在月尺度上改進(jìn)的馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)的徑流值和實(shí)測(cè)的徑流值相關(guān)度更高。

圖2 改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型徑流預(yù)測(cè)月尺度精度對(duì)比

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)引入加權(quán)系數(shù)，對(duì)傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型進(jìn)行徑流預(yù)測(cè)，研究得出以下結(jié)論：

（1）改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型解決了傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型不能考慮各因子的權(quán)重的局限，改善模型計(jì)算收斂性。

（2）改進(jìn)的馬爾科夫鏈模型在徑流預(yù)測(cè)精度上明顯好于傳統(tǒng)馬爾科夫鏈模型，在年尺度徑流模擬相關(guān)系數(shù)提高近0.17，月尺度徑流模擬相關(guān)系數(shù)提高近0.21。

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1008-1305（2017）01-0085-03

DO I:10.3969/j.issn.1008-1305.2017.01.026

2015-12-21

劉曉哲（1983年—），男，工程師。