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        巧用向量的加法證明點(diǎn)線問題

        2017-04-10 14:52:56唐禎蔚冷震北
        關(guān)鍵詞:加法內(nèi)積共線

        唐禎蔚+冷震北

        摘 要:向量是解析幾何的基本概念之一,向量的加法包括了平行四邊形法則和三角形法則。本文首先描述了向量的起源,其次利用向量加法的兩個(gè)法則,直觀的引入了平行四邊形和三角形,借助幾何圖形來解決點(diǎn)線的問題。通過具體例子說明,向量加法解題的優(yōu)勢(shì)。

        關(guān)鍵詞:向量;加法;共線;內(nèi)積

        G633.6

        縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史,矛盾推動(dòng)數(shù)的發(fā)展。在公元前580年,古希臘數(shù)學(xué)中有名的學(xué)派:畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 提出了:“萬物皆數(shù)”的信條。并且畢達(dá)哥拉斯把這一信條作為該學(xué)派的理論基礎(chǔ)。但是,在公元前500年,畢達(dá)哥拉斯的弟子希帕蘇斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí),一個(gè)正方形的邊與對(duì)角線的長(zhǎng)度是不可公度量的。這一發(fā)現(xiàn)就與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的哲理大相徑庭。正方形的邊與對(duì)角線是不可公度量的本質(zhì)是什么?在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)歷史上,數(shù)學(xué)家們眾說紛紜。人們對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)在數(shù)學(xué)歷史上,具有重要的意義,它在希臘的數(shù)學(xué)史上引起一場(chǎng)大風(fēng)暴,數(shù)學(xué)史稱之為“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。直到19世紀(jì)下半葉,實(shí)數(shù)理論的建立,無理數(shù)的本質(zhì)才徹底的弄清楚,從而圓滿解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的結(jié)束推動(dòng)了無理數(shù)的出現(xiàn)。

        在數(shù)學(xué)史中,復(fù)數(shù)的出現(xiàn)起源于解方程。16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)在《重要的藝術(shù)》一書中公布了三次方程的一般解法即卡當(dāng)公式,他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家。由于復(fù)數(shù)能用來表示和研究平面上的向量,而向量在物理學(xué)中非常重要,如力、位移、速度、加速度等。而人們很早就已經(jīng)知道向量的合成服從平行四邊形法則。數(shù)學(xué)家們很快發(fā)現(xiàn)兩個(gè)復(fù)數(shù)相加的結(jié)果正好對(duì)應(yīng)于用平行四邊形法則相加的向量的和。

        兩個(gè)向量的加法法則有兩種:平行四邊形法則、三角形法則 。其中,平行四邊形法則指的是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)通過平移的方式移至同一個(gè)起點(diǎn),再以兩個(gè)向量為鄰邊作出平行四邊形,而平行四邊形中與兩向量同一起點(diǎn)的對(duì)角線向量就是兩個(gè)向量的和向量。

        兩向量和的三角形法則指的是將兩個(gè)向量依次地首尾順次相接,兩個(gè)向量的和向量為以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。

        不論是平行四邊形法則還是三角形法則,通過向量的加法解決平行四邊形和三角形的點(diǎn)線問題是解析幾何中比較便捷的方法。并且,向量作為解析幾何中最基本的元素,是設(shè)法把幾何的結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量的化的基礎(chǔ)。下面我們可以通過幾個(gè)具體的例子來說明向量加法的幾何應(yīng)用。

        一、向量加法解決三點(diǎn)共線的問題

        三點(diǎn)共線問題是解析幾何中的常見證明題,也是近幾年來中學(xué)數(shù)學(xué)考試常見的題目,用向量加法來證明三點(diǎn)共線是幾何里最常用的方法 。

        二、向量加法證明平行四邊形

        在平面幾何里,平行四邊形是基本的四邊形。中學(xué)的平面幾何里證明四邊形是平行四邊形的方法很多。其中有一條判定定理是對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。如何證明這條判定定理,在幾何中有很多種方法。特別是在呂林根主編的《解析幾何》一書中,指出可以用向量的方法來證明。在書中,利用向量加法的交換律,借助對(duì)角線平分的性質(zhì),最后證明了這一個(gè)判斷平行四邊形的判定定理。然而,在此我們可以重新給出另外一種證明的方法,例如以下的例2。

        在這個(gè)例題中,巧妙的運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則。因?yàn)樵谙蛄考臃ǔ闪⒌那疤嵯?,就已?jīng)保證了所構(gòu)造的四邊形就是平行四邊形了,這就是向量加法的巧妙之處。

        參考文獻(xiàn):

        [1]呂林根,徐子道.解析幾何(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008.

        [2]李文林.數(shù)學(xué)史概論(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2012.

        [3]孫浩盛,高浩.關(guān)于四邊形的兩個(gè)定理的向量法證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2011(1):70-70.

        [4]先開萍,章雄鋼,余振.淺談平面向量的幾何運(yùn)算及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué), 2008(1):24-25.

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