唐禎蔚+冷震北

摘 要：向量是解析幾何的基本概念之一，向量的加法包括了平行四邊形法則和三角形法則。本文首先描述了向量的起源，其次利用向量加法的兩個(gè)法則，直觀的引入了平行四邊形和三角形，借助幾何圖形來(lái)解決點(diǎn)線的問(wèn)題。通過(guò)具體例子說(shuō)明，向量加法解題的優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：向量；加法；共線；內(nèi)積

G633.6

縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，矛盾推動(dòng)數(shù)的發(fā)展。在公元前580年，古希臘數(shù)學(xué)中有名的學(xué)派：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 提出了：“萬(wàn)物皆數(shù)”的信條。并且畢達(dá)哥拉斯把這一信條作為該學(xué)派的理論基礎(chǔ)。但是，在公元前500年，畢達(dá)哥拉斯的弟子希帕蘇斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的邊與對(duì)角線的長(zhǎng)度是不可公度量的。這一發(fā)現(xiàn)就與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的哲理大相徑庭。正方形的邊與對(duì)角線是不可公度量的本質(zhì)是什么？在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)歷史上，數(shù)學(xué)家們眾說(shuō)紛紜。人們對(duì)無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)在數(shù)學(xué)歷史上，具有重要的意義，它在希臘的數(shù)學(xué)史上引起一場(chǎng)大風(fēng)暴，數(shù)學(xué)史稱之為“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。直到19世紀(jì)下半葉，實(shí)數(shù)理論的建立，無(wú)理數(shù)的本質(zhì)才徹底的弄清楚，從而圓滿解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的結(jié)束推動(dòng)了無(wú)理數(shù)的出現(xiàn)。

在數(shù)學(xué)史中，復(fù)數(shù)的出現(xiàn)起源于解方程。16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)在《重要的藝術(shù)》一書中公布了三次方程的一般解法即卡當(dāng)公式，他是第一個(gè)把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家。由于復(fù)數(shù)能用來(lái)表示和研究平面上的向量，而向量在物理學(xué)中非常重要，如力、位移、速度、加速度等。而人們很早就已經(jīng)知道向量的合成服從平行四邊形法則。數(shù)學(xué)家們很快發(fā)現(xiàn)兩個(gè)復(fù)數(shù)相加的結(jié)果正好對(duì)應(yīng)于用平行四邊形法則相加的向量的和。

兩個(gè)向量的加法法則有兩種：平行四邊形法則、三角形法則 。其中，平行四邊形法則指的是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)通過(guò)平移的方式移至同一個(gè)起點(diǎn)，再以兩個(gè)向量為鄰邊作出平行四邊形，而平行四邊形中與兩向量同一起點(diǎn)的對(duì)角線向量就是兩個(gè)向量的和向量。

兩向量和的三角形法則指的是將兩個(gè)向量依次地首尾順次相接，兩個(gè)向量的和向量為以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量。

不論是平行四邊形法則還是三角形法則，通過(guò)向量的加法解決平行四邊形和三角形的點(diǎn)線問(wèn)題是解析幾何中比較便捷的方法。并且，向量作為解析幾何中最基本的元素，是設(shè)法把幾何的結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量的化的基礎(chǔ)。下面我們可以通過(guò)幾個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明向量加法的幾何應(yīng)用。

一、向量加法解決三點(diǎn)共線的問(wèn)題

三點(diǎn)共線問(wèn)題是解析幾何中的常見(jiàn)證明題，也是近幾年來(lái)中學(xué)數(shù)學(xué)考試常見(jiàn)的題目，用向量加法來(lái)證明三點(diǎn)共線是幾何里最常用的方法 。

二、向量加法證明平行四邊形

在平面幾何里，平行四邊形是基本的四邊形。中學(xué)的平面幾何里證明四邊形是平行四邊形的方法很多。其中有一條判定定理是對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。如何證明這條判定定理，在幾何中有很多種方法。特別是在呂林根主編的《解析幾何》一書中，指出可以用向量的方法來(lái)證明。在書中，利用向量加法的交換律，借助對(duì)角線平分的性質(zhì)，最后證明了這一個(gè)判斷平行四邊形的判定定理。然而，在此我們可以重新給出另外一種證明的方法，例如以下的例2。

在這個(gè)例題中，巧妙的運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則。因?yàn)樵谙蛄考臃ǔ闪⒌那疤嵯?，就已?jīng)保證了所構(gòu)造的四邊形就是平行四邊形了，這就是向量加法的巧妙之處。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂林根，徐子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]孫浩盛，高浩.關(guān)于四邊形的兩個(gè)定理的向量法證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（1）：70-70.

[4]先開萍，章雄鋼，余振.淺談平面向量的幾何運(yùn)算及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)， 2008（1）：24-25.