鄧 智，宋漢文

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

基于反饋控制的橋梁節(jié)段模型干風洞實驗仿真

鄧 智，宋漢文

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

在風場作用中，針對橋梁結構與風荷載耦合而表現(xiàn)出非自伴隨動力系統(tǒng)的現(xiàn)象，提出了僅具有5個獨立控制參數(shù)的橋梁節(jié)段主動控制模型來模擬含有8個顫振氣動導數(shù)的節(jié)段風洞試驗模型。該模型由剛體所受的分布力系可等效為集中力系原則出發(fā)，利用PID反饋控制技術所構造，其在數(shù)學力學模型方面與風洞試驗模型完全一致。通過幾何變換，干風洞實驗測量的線位移信號可轉換為角位移信號。同時，運用MIMO分析技術可簡單而精確獲取系統(tǒng)完備的頻響函數(shù)矩陣，再采用基于復模態(tài)理論中左右特征向量的辨識算法識別控制參數(shù)。通過數(shù)值仿真，驗證了主動控制模型的合理性，同時也顯示了該模型在橋梁風振研究中的應用價值和推廣意義。

橋梁風振； 主動控制； 模態(tài)分析； 參數(shù)辨識

風對橋梁的作用由于瞬時空氣動力與橋梁風振響應之間存在相位差，使得橋梁有可能從風場中吸取能量而使振幅增大，從而發(fā)生顫振。顫振會導致災難性破壞，1940年美國塔科馬大橋因顫振而坍塌就是一個經典實例。因此，顫振分析是現(xiàn)代大跨度橋梁抗風研究的主要內容之一。針對作用在非流線型鈍體上的小振幅條件下的非定常氣動力，SCANLAN等[1]提出了由顫振氣動導數(shù)描述的自激勵顫振模型，后又提出了二維橋梁斷面的顫振氣動導數(shù)分狀態(tài)自由振動辨識方法，從而奠定了橋梁氣動彈性研究的理論基礎。風洞模型試驗是獲取顫振氣動導數(shù)的重要手段，主要的試驗方法有強迫振動法和自由振動法——強迫振動法在較低、較高風速下都能獲取穩(wěn)定的顫振氣動導數(shù)，但其試驗裝置較復雜，試驗條件要求和費用較高；自由振動法不適合較高風速及運動響應幅值較大的情況下顫振氣動導數(shù)的辨識，且試驗量和試驗難度都較大。

SARKAR[2]提出的基于時域振動模態(tài)參數(shù)辨識理論的MITD方法，將均勻流和紊流中的氣動導數(shù)辨識納入到統(tǒng)一的數(shù)學模型，整體辨識所有氣動導數(shù)。此后，基于現(xiàn)代參數(shù)辨識理論的顫振氣動導數(shù)的整體辨識技術成為橋梁抗風研究領域的一個重要課題。GU等[3-4]采用基于自由振動響應的總體最小二乘(ULS)方法，并通過增加模型慣性量成功實現(xiàn)了節(jié)段模型在較高風速作用下顫振氣動導數(shù)的辨識。BROWNJOHN等[5]運用協(xié)方差塊Hankel矩陣法來處理節(jié)段模型風洞試驗的二自由度振動衰減響應，通過系統(tǒng)辨識來提取橋梁節(jié)段的顫振氣動導數(shù)。CHEN等[6]以及CHOWDHURY等[7]分別運用廣義最小二乘(GLS)理論以及最小二乘迭代(ILS)方法整體辨識了三自由度節(jié)段模型的顫振氣動導數(shù)。關于橋梁顫振氣動導數(shù)的辨識理論研究已趨成熟，取得了豐碩的成果[8-11]。受到航空領域地面顫振模擬實驗[12]的啟示，從振動控制理論出發(fā)，本文提出了一種基于主動控制的橋梁節(jié)段干風洞(Dry Wind Tunnel)實驗模型。以此模型來模擬橋梁節(jié)段在風洞模型試驗中的動力學特性；然后采用MIMO分析技術，將外激勵施加于實際測點而非虛擬測點，進而得到完備的頻響函數(shù)矩陣；最后采用了ZHANG等[13]提出的一種基于復模態(tài)理論中完備左、右特征向量的算法，整體辨識八個顫振氣動導數(shù)修正量，再經矩陣運算求得系統(tǒng)的反饋控制參數(shù)。

1 橋梁節(jié)段風洞試驗模型自激勵模型

橋梁節(jié)段在風洞模型試驗中簡化為二自由度動力學方程：

(1)

(2)

(3)

綜合(2)和(3)可得：

(4)

2 干風洞試驗思路

2.1 干風洞概念

干風洞包含數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和反饋控制系統(tǒng)兩部分(見圖1)。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)：通過位移或速度傳感器采集得到響應信號，記錄并整理。反饋控制系統(tǒng)：以數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的結果作為輸入，經過運算得到實時的反饋作用力，并通過激振器作用于橋梁節(jié)段。由上述過程建立的試驗系統(tǒng)，稱之為干風洞。

圖1 干風洞示意圖Fig.1 DWT diagram

2.2 橋梁節(jié)段主動控制模型自激勵模型

圖2 主動控制模型的實驗示意圖Fig.2 Active control model experiment diagram

(5)

由此可看出，主動控制模型和風洞試驗模型具有完全一致的數(shù)學模型和力學模型。

如同式(3)此處將自激力寫為由反饋控制參數(shù)表達的矩陣方程：

(6)

綜合和可得：

(7)

至此，原本橋梁節(jié)段風洞試驗模型需要8個參數(shù)來表示，現(xiàn)在主動控制模型中只需5個控制參數(shù)。同時也說明，主動控制模型不僅能夠完全模擬或替代風洞試驗模型，而且還能縮減系統(tǒng)獨立參數(shù)的個數(shù)。

用主動控制模型中的5個控制參數(shù)表示8個顫振氣動導數(shù)：

(8)

由式(8)可以看出，顫振氣動導數(shù)成對出現(xiàn)且由含有反饋氣動中心的等式相互關聯(lián)。因此，只需5個獨立的控制參數(shù)即可定義橋梁與風場的耦合作用效果。

2.3 主動控制模型的動力學建模

進一步將橋梁節(jié)段模型的動力學方程簡化為

(9)

簡記為

(10)

由于流體激振原理或反饋控制作用，橋梁系統(tǒng)的物理結構發(fā)生變化，式(10)所述的阻尼、剛度矩陣不再具有對稱形式，不再遵守Maxwell互易律，形成非經典系統(tǒng)。盡管有非對稱存在，但系統(tǒng)并未同時出現(xiàn)非線性，故疊加原理依然適用。

為方便方程解耦求解，引入幾何變換，用沿主動控制模型寬度方向兩端的法向線位移來表示系統(tǒng)的豎向位移h和扭轉位移θ。假設沿主動控制模型寬度方向兩端點的法向響應分別為x1和x2，偏心距都為B，則有如下幾何變換：

(11)

(12)

3 控制參數(shù)辨識

3.1 實驗獲取頻響函數(shù)

(13)

由式外激勵產生的響應為

(14)

式(12)的頻域形式經整理可得第i次試驗中有下面關系：

(15)

式(13)和式(14)頻域化處理后，將結果代入式(15)中，并將頻域方程擴展得：

(16)

(17)

將各矩陣的具體形式代入式(17)并取數(shù)學期望得：

(18)

由上述過程可求得精確的頻響函數(shù)矩陣。

3.2 左右特征向量辨識算法

又頻響函數(shù)的具體形式：

(19)

式中：φik,ψjk為系統(tǒng)左右特征向量的元素。

相應地，將頻響函數(shù)的留數(shù)寫作向量形式：

(20)

做如下的分解，將得到以矩陣的第一行做歸一化的狀態(tài)空間特征向量矩陣。

(21)

(22)

(23)

計算式(22)的非對角元素,可得:

(24)

則，

(25)

同理,計算式的非對角元素,可得:

(26)

則，

(27)

從式(25)和式(27)可以看出，阻尼陣和剛度陣是獨立計算而得的，故數(shù)值奇異性不會相互疊加，這也保證了辨識結果的精度。

3.3 求取控制參數(shù)

(28)

(29)

(30)

又有

(31)

以及

(32)

經過計算即可得到系統(tǒng)的控制參數(shù)如下：

(33)

至此，橋梁節(jié)段主動控制模型的控制參數(shù)已全部通過辨識得到。

4 數(shù)值仿真

4.1 數(shù)據(jù)設定

參考[14]設定主動控制模型自身結構參數(shù)如下表：

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System coefficients

表2 頻率預設值Tab.2 Frequency presets

系統(tǒng)的固有頻率能反應系統(tǒng)的某些特性，因此我們先做系統(tǒng)固有頻率隨折減風速變化的分析，結果如圖3。從圖中可以看出，系統(tǒng)的兩階固有頻率隨著折減風速的增大而逐步靠近，當這兩階頻率最終趨于同一頻率時，系統(tǒng)將失去穩(wěn)定性，發(fā)生顫振現(xiàn)象。我們將此臨界狀態(tài)所對應的風速稱作臨界風速。由圖4中看到，第一階阻尼比在折減風速6的情況后，開始急速下降，也可分析得出系統(tǒng)趨于臨界狀態(tài)，當阻尼比由正變負時，系統(tǒng)發(fā)生顫振失穩(wěn)。圖5中的特征向量表現(xiàn)了隨折減風速變化，系統(tǒng)振型的變化規(guī)律。

4.2 參數(shù)辨識

在上述推導中，對于主動控制模型所受激振力形式，沒有做出特殊的假定。在主動控制模型的仿真實驗中，我們采用了脈沖激勵對系統(tǒng)施加外激勵。仿真結果都是在采樣頻率128 Hz，采樣時間400 s的采樣條件下得到的。

圖3 固有頻率的變化Fig.3 Eigen frequencies

圖4 阻尼比的變化Fig.4 Damping ratio

(a)第一階振型(b)第一階振型

(c)第二階振型(d)第二階振型

圖5 振型的變化

Fig.5 Different modal

圖6～圖10是參數(shù)辨識結果，可以看出，利用本文的辨識方法所得到的控制參數(shù)與設定的參數(shù)幾乎完全一致，這同時也驗證了主動控制模型的合理性。從圖6～圖9可以看出，隨著折減風速的增大，控制增益不斷增大。圖10表明反饋作用中心隨折減風速增大而逐漸朝橋梁節(jié)段邊緣移動。

圖6 Δh的變化Fig.6 Δh and wind speed

圖的變化

圖8 Δθ振型的變化Fig.8 Δθ and wind speed

5 結 論

本文將干風洞的實驗技術路線引入到橋梁節(jié)段模型的風洞實驗模擬及參數(shù)辨識領域。在橋梁節(jié)段模型的剛體假設條件下，導出了通過PID反饋控制實現(xiàn)的與風洞條件下氣動顫振行為保持一致的動力學模型，提出了具有5個獨立控制參數(shù)的橋梁節(jié)段主動控制模型模擬含有8個顫振氣動導數(shù)的節(jié)段風洞試驗模型。

圖的變化

圖10 反饋作用中心的變化Fig.10 β and wind speed

進一步設計了仿真實驗技術路線，通過實驗數(shù)據(jù)獲取系統(tǒng)完備的頻響函數(shù)矩陣，導出了基于復模態(tài)理論的左、右特征向量的辨識算法?；谖墨I[14]給出的風洞實驗數(shù)據(jù)，重構了數(shù)值仿真模型，驗證了本文提出的干風洞實驗思路的可行性和合理性。

[1] SCANLAN R H, TOMO J J.Air foil and bridge deck flutter derivatives[J].Journal of Soil Mechanics & Foundations Div, 1971, 97(6): 1717-1733.

[2] SARKAR P P.New identification methods applied to the response of flexible bridges to wind[D].The Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland, USA, 1992.

[3] GU M, ZHANG R, XIANG H.Identification of flutter derivatives of bridge decks[J].Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2000, 84(2): 151-162.

[4] GU M, ZHANG R, XIANG H.Parametric study on flutter derivatives of bridge decks[J].Engineering Structures, 2001, 23(12): 1607-1613.

[5] BROWNJOHN J M W, JAKOBSENB J B.Strategies for aeroelastic parameter identification from bridge deck free vibration data[J].Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2001, 89(13): 1113-1136.

[6] CHEN A R, HE X F, XIANG H F.Identification of 18 flutter derivatives of bridge decks[J].Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2002, 90(12): 2007-2022.

[7] CHOWDHURY A G, SARKAR P P.A new technique for identification of eighteen flutter derivatives using a three-degree-of-freedom section model[J].Engineering Structures, 2003, 25(14): 1763-1772.

[8] 許福友, 陳艾榮, 張哲, 等.確定橋梁模型顫振臨界風速的實用方法[J].振動與沖擊, 2008, 27(12): 97-100.

XU Fuyou CHEN Airong, ZHANG Zhe, et al.Practical technique for determining critical flutter wind speed of bridge model[J].Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(12): 97-100.

[9] 黃方林, 陳政清.橋梁顫振氣動導數(shù)識別的迭代法[J].振動與沖擊, 2002, 21(2): 64-67.

HUANG Fanglin, CHEN Zhengqing.Iterative method for identification of flutter derivatives of a sectional bridge model[J].Journal of Vibration and Shock, 2002, 21(2): 64-67.

[10] 周銳，楊詠昕，葛耀君，等.平行雙幅橋梁的顫振控制試驗研究[J].振動與沖擊, 2014,33(12): 126-132.

ZHOU Rui, YANG Yongxi, GE Yaojun, et al.Tests for flutter control of a twin-separate bridge[J].Journal of Vibration and Shock, 2014,33(12): 126-132.

[11] 丁泉順，王景，朱樂東.橋梁斷面顫振導數(shù)識別的耦合自由振動方法[J].振動與沖擊, 2012, 31(24):5-8.

DING Quanshun, WANG Jing, ZHU Ledong.Coupled free vibration technique for identifying flutter derivatives of bridge decks[J].Journal of Vibration and Shock, 2012,31(24): 5-8.

[12] 許云濤, 吳志剛, 楊超.地面顫振模擬試驗中的非定常氣動力模擬[J].航空學報, 2012, 33(11): 1947-1957.

XU Yuntao, WU Zhigang, YANG Chao.Simulation of the unsteady aerodynamic forces for ground flutter simulation test[J].Acta Aeronautica of Astronautica Sinica, 2012, 33(11):1947-1957.

[13] ZHANG X X, CHEN L F, SONG H W.Self-contained eigenvector algorithm applied to the identification of aerodynamic derivatives of bridge model[J].Science China Technological Sciences, 2011, 54(5): 1134-1140.

[14] CAO B, SARKAR P P.Identification of rational functions using two-degree-of-freedom model by forced vibration method[J].Engineering Structures, 2012, 43: 21-30.

Simulation for a Bridge Section Model’s Wind Tunnel Test Based on Feedback Control

DENG Zhi, SONG Hanwen

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

When a bridge stays in a windy environment, the aerodynamic force makes it act as a non-classic system.For studying this, a five-parameter bridge segment model based on active control was proposed here to simalate a bridge section wind tunnel test model with eight flutter derivatives.According to the principle of equivalent force system, the proposed model constructed with the signal feedback technique coincided with the wind tunnel test model in the aspects of mathematics and mechanics.With a geometric transformation, the linear displacement signals measured in the wind tannel test could be transformed into the angular displacement signals.Meanwhile, the system’s FRF matrix was obtained with the MIMO analysis technique simply and accurately.Then the control parameters were identified with the left-right eigenvectors identification algorithm based on the complex modal theory.Through simulations, the rationality of the proposed model was validated.The results revealed the application prospect of the proposed model in bridge wind-induced vibration study.

wind-induced vibration; active control; modal analysis; parametric identification

國家自然科學基金(11272235)

2015-11-26 修改稿收到日期：2016-02-22

鄧 智 男，碩士生，1989年生

宋漢文 男，教授，博士生導師，1962年生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.019