孫昊

摘 要：本文主要是對(duì)農(nóng)村水泵站的修建作具體分析，確定水泵站的最佳地址，使水泵站到附近兩個(gè)村莊的距離和最小，從而達(dá)到所用水管最短，節(jié)省成本的目的。本文中的模型來源于其小鎮(zhèn)的某路段的平面示意圖，具有真實(shí)性與典范性。在模型的基礎(chǔ)上，對(duì)兩個(gè)村莊的具體位置作一定的合理假設(shè)，并通過作圖等數(shù)學(xué)思想找出最佳的水泵站地址。

關(guān)鍵詞：所用水管最短

一、問題的提出

為了解決農(nóng)村用水問題，許多村莊都會(huì)修建水泵站來為村民供水。許多情況下，一個(gè)水泵站往往負(fù)責(zé)兩個(gè)村莊的供水問題，所以在修建時(shí)，選址是否恰當(dāng)直接影響所用水管長度，影響修建成本。最佳的水泵站地址應(yīng)該到兩個(gè)村莊距離和最短，這樣才能使所用水管最短，成本最低。為此，我提出一種方法來確定水泵站的最佳地址。

二、模型假設(shè)與符號(hào)說明

1.模型假設(shè)

（1）水泵站建在某指定路邊；（2）村莊A到水泵站之間的路面狀況與村莊B到水泵站的路面狀況相同；（3）兩路段鋪設(shè)水管每米所耗成本相同；（4）所設(shè)情況合理；（5）為方便作圖，研究時(shí)可將復(fù)雜事物用簡(jiǎn)單符號(hào)代替。

2.符號(hào)說明

（1）——道路

（2）村莊（A、B）

（3）=設(shè)計(jì)水管鋪設(shè)路線

（4）▲水泵站

三、水泵站選址問題模型的建立與提出

1.水泵站選址模型的建立

水泵站選址是每個(gè)農(nóng)村都必須面對(duì)的問題。在一條指定的道路旁，建一個(gè)水泵站為附近兩個(gè)村莊供水，選址恰當(dāng)不僅節(jié)約成本，而且對(duì)村民的用水也帶來一定的方便。因此，我們現(xiàn)在所做的就是解決這個(gè)問題。其中，最關(guān)鍵的是在道路旁找一個(gè)點(diǎn)使其到兩個(gè)村莊的距離和最小，這樣才能使所用水管最短。

2.水泵站選址的提出

由于兩個(gè)村莊的具體位置是不確定的，因此具體的選址應(yīng)分情況討論。下面，就具體情況來分析水泵站的最佳選址。

（1）當(dāng)兩個(gè)村莊A、B在指定道路的兩側(cè)時(shí)，該問題就轉(zhuǎn)化為：在一條直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線兩側(cè)的已知兩點(diǎn)距離之和最小。我們可采取作圖法，將該問題簡(jiǎn)化。

此時(shí)，直接連結(jié)AB，與道路交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即水泵站的最佳地址。因?yàn)榇藭r(shí)水泵站到兩村莊距離之和最小。

我們可以用以下方法給予證明，我們不妨在直線上另取一點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC，根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”，有AB

（2）當(dāng)兩個(gè)村莊A、B在指定道路的同側(cè)時(shí)，該問題就轉(zhuǎn)化為：在一條直線上找一點(diǎn)使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩點(diǎn)距離之和最小。

此時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于道路的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后聯(lián)結(jié)A′B與道路交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即水泵站的最佳地址。因?yàn)榇藭r(shí)，水泵站到兩村莊距離之和最小。

同樣，可以用以下方法給予證明：

我們不妨在直線上另取一點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC、A′C，顯然有：AP+BP=A′B，AC+BC=A′C+BC。

根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”有A′B

∴AP+BP

四、總結(jié)

本文運(yùn)用了“兩點(diǎn)之間線段最短”和軸對(duì)稱知識(shí)來解決實(shí)際生活中的問題，突出了數(shù)學(xué)的重要性。

（指導(dǎo)教師：袁振鋼）

（作者單位：河南省內(nèi)黃縣第一中學(xué)分校）