楊成永，程　霖, 余　樂，韓薛果

(1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京　100044； 2.北京城市快軌建設(shè)管理有限公司，北京　100027)

隧道開挖將引起土層及土層中鄰近地下管線的沉降。管線沉降變形的理論分析一般采用彈性地基梁方法，并且根據(jù)變形的大小，可以分為小變形和大變形力學(xué)方法。

小變形力學(xué)方法的研究成果較多，主要有：Attewell等(1986)[1]假定地層沉降符合Peck曲線，采用彈性地基梁法分析管線與隧道平行和垂直時管線的響應(yīng)；Vorster(2005) 等[2]采用彈性地基梁法推導(dǎo)了隧道開挖對鄰近勻質(zhì)管線的最大附加彎矩計算公式；Klar(2005) 等[3]比較了Winkler地基與彈性連續(xù)體地基的不同，根據(jù)更精細的彈性連續(xù)體地基的解答，提出了修正的Winkler地基模量；王霆等(2006)[4]從地下管線的失效模式、管土相互作用、簡化算法、離心模型試驗及數(shù)值模擬等方面，綜述了隧道施工對地下管線影響的研究成果；駱建軍等(2006)[5]就北京地鐵黃莊站施工對地下管線的影響進行了數(shù)值計算、現(xiàn)場監(jiān)測和安全性評價；Klar等(2007)[6]采用邊界積分方法研究了土層中管線的沉降變形，探討了管線周圍局部土層屈服的影響；吳為義等(2008)[7]采用彈性地基梁理論及FLAC3D軟件計算了盾構(gòu)下穿時電力管溝的沉降變形及內(nèi)力；孫宇坤等(2009)[8]對盾構(gòu)隧道下穿煤氣管線進行了沉降監(jiān)測，分析了管線的沉降變形規(guī)律；張坤勇等(2010)[9]對彈性地基無限長梁的控制微分方程進行了解析求解，假定土層的位移函數(shù)及管線位移的特解均可用多項式表達，然后根據(jù)邊界條件及不同區(qū)段間的連續(xù)性條件確定積分系數(shù)；姜玲等(2010)[10]對彈性地基無限長梁的控制微分方程進行了初參數(shù)法解析求解，土層的位移函數(shù)采用Peck公式。

大變形力學(xué)方法方面，楊成永等(2014)[11]建立了考慮管線軸力的控制微分方程，假定管線的軸向伸長在沉降槽范圍內(nèi)為一常量，給出了管線與隧道垂直情況下管線大變形的近似解。

上述既有研究成果表明，將管線視為承受土層位移荷載的彈性地基梁，對其在小變形力學(xué)方法方面的研究已較充分；但大變形力學(xué)方法方面的研究還有待深入：一方面既有近似解的計算精度有待探究；另一方面，近似解只能適用于管線只承受土層荷載且土層及管線的沉降曲線均為Peck曲線的情況，適用范圍相當有限。因此需要探討管土共同作用下管線大變形問題求解的新方法。

無限長勻質(zhì)地下管線(以下簡稱為管線)屬于一維桿件。對于一維桿件沉降的微分方程，均可用傅里葉級數(shù)進行求解[12-13]，并且傅里葉級數(shù)解的精度高，可以視為微分方程的精確解，而且可以用于判斷打靶法或其他近似方法計算結(jié)果的精度。

本文針對地鐵盾構(gòu)隧道開挖引起鄰近管線沉降較大的情況，列出管線大變形的控制微分方程，推導(dǎo)土層沉降及管線沉降的傅里葉級數(shù)系數(shù)計算公式，給出沉降和內(nèi)力的計算公式；基于文獻[11]中的數(shù)據(jù)，采用推導(dǎo)的變形和內(nèi)力計算公式計算管線沉降隨土層沉降的級數(shù)解，并與近似解的求解結(jié)果進行對比，驗證級數(shù)解的正確性。

1　管線大變形的控制微分方程

管線微元的受力如圖1所示。圖中：w為管線沉降，m，向上為正；x和y為管線坐標，m；坐標原點位于沉降槽中心；N為管線軸力，N；注意這里直接將N表示其物理分量，而文獻[11]中該處為g1N；g1為管線的一維度規(guī)(管線變形后長度與變形前長度的比)；Q為管線剪力，N；M為管線彎矩，N·m。根據(jù)圖1可得管線大變形的控制微分方程為[11]

(1)

式中：E為管線彈性模量，Pa；I為管線截面的慣性矩，m4；q為管線右端單位荷載，N·m，向上為正。

圖1　管線微元受力示意圖

考慮管線為無限長管線，微分方程(1)的邊界條件可視為兩端固支，并且由于對稱，中點的轉(zhuǎn)角也為0，有

(2)

式(1)和式(2)組成所求解的邊值問題，而邊值問題中的參數(shù)可分別按照如下公式計算得到。

(1)管線右端荷載q按Winkler地基反力計算。

考慮管線沉降是由土層沉降所引起的，地基反力的計算公式為

q=kD(S-w)

(3)

式中：k為地基系數(shù)，Pa·m-1；D為管線外徑，m；S為土層沉降，m。

土層及管線的沉降變形如圖2所示。圖中：S0和w0為x=0處土層及管線的最大沉降，m；i和j分別為土層及管線的沉降槽寬度，即沉降曲線反彎點距x=0處的水平距離，m。

圖2　土層及管線的沉降示意圖

參照圖2，式(3)中土層沉降S可用Peck曲線表示為

(4)

(2)在式(1)中除管線沉降w外，g1和N也是待求的量。

為了降低式(1)的非線性程度，假設(shè)沉降槽附近范圍內(nèi)管線的軸向變形和軸力是均勻的，并且管線沉降后的長度按Peck曲線進行計算，即假定用于管線長度計算的沉降曲線為

(5)

因此有[11]

(6)

(7)

式中：A為管線的截面積，m2；L為計算范圍的半寬，m。

(3)由梁的彎矩與曲率間的關(guān)系可計算管線彎矩M，再根據(jù)管線剪力Q與管線彎矩M間的關(guān)系可計算管線剪力，分別如下

(8)

(9)

2　基于傅里葉級數(shù)的計算公式

為了對式(1)采用傅里葉級數(shù)求解，需要把式(1)和式(3)中的S及w均展開成三角級數(shù)。由于土層沉降及管線截面和約束關(guān)于沉降槽中心對稱，管線沉降勢必也是對稱的，因此可把土層沉降S在[-L, +L]上展成余弦級數(shù)，即

(10)

其中，

(11)

(12)

式中：S(x)為土層沉降，m；b0和bn為傅里葉級數(shù)的系數(shù)；n為自然數(shù)。

為使計算范圍足夠大，L一般取3i以上。利用式(4)、式(11)和式(12)有[14]

(13)

(14)

把管線沉降w在[-L, +L]上同樣展成余弦級數(shù)，即

(15)

式中：w(x)為管線沉降，m；a0和an為待求的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

根據(jù)式(15)，管線沉降的各階導(dǎo)數(shù)為

(16)

(17)

(18)

(19)

把式(13)和式(14)代入式(10)，然后把式(10)和式(15)代入式(3)，最后再將式(3)、式(17)和式(19)帶入式(1)，比較常數(shù)項及三角函數(shù)的系數(shù)，得到式(15)的系數(shù)為

a0=b0

(20)

(21)

需要說明的是：式(15)在計算區(qū)間的端點和中點時已經(jīng)滿足式(2)所示的邊界條件；而且式(15)有各階導(dǎo)數(shù)，可以通過增大n的值達到任意精度。式(15)與式(5)的區(qū)別是：式(15)是本文的求解目標，它不一定是Peck曲線；式(5)僅是在近似計算軸力及度規(guī)時需要用到；式(15)中的系數(shù)a0和an是通過級數(shù)的方法確定的，而式(5)中的參數(shù)w0和j目前只能采用近似方法確定；在已知a0和an后，可以計算w0和j，但反過來則不行。

比較式(5)和式(15)，有

(22)

至于式(5)中的j，可以通過式(17)計算管線沉降曲線的曲率，其正負變號之處對應(yīng)的x的值即為j。用公式表示時，j為如下方程的根：

(23)

圖3　管線沉降和內(nèi)力的計算框圖

至此，若土層沉降參數(shù)S0及i，地基系數(shù)k，以及管線參數(shù)A，E，I，D均已知，則可計算得到管線的沉降和內(nèi)力，計算框圖如圖3所示。

3　實例計算

采用文獻[11]的工點數(shù)據(jù)：土層最大沉降S0分別取0.05，0.90，1.80 m；土層沉降槽寬度i=1.8 m，地基系數(shù)k=8×107Pa·m-1，管線外徑D=426 mm，管線截面慣性矩I=1.746×108mm4，管線彈性模量E=2×1011Pa。

采用C語言編程實現(xiàn)本文的計算方法，對于該實例計算得到的級數(shù)解列于表1。為對比分析，將文獻[11]計算的近似解也列于表1中。不同土層最大沉降時土層和管線沉降的級數(shù)解曲線如圖4所示 。

表1　計算結(jié)果

圖4　不同土層最大沉降時土層和管線的沉降曲線

從表1及圖4可以得出如下結(jié)論。

(1)管線沉降曲線與正態(tài)曲線十分接近。也就是說，在土層沉降曲線為Peck曲線的情況下，管線沉降曲線的形式也是Peck曲線。

(2)文獻[11]所得的近似解與本文級數(shù)解的計算結(jié)果比較接近。近似解的計算精度能夠接近級數(shù)解的原因在于：“管線沉降符合Peck曲線”的假定與實際吻合；近似解選擇了2個合適的位置(x=0及x=j)計算管線沉降槽的參數(shù)。

從求解過程來看，級數(shù)解比文獻[11]的近似解有如下優(yōu)越性。

(1)級數(shù)解不需要事先假定管線沉降曲線的形式。

(2)級數(shù)解除土層位移荷載外，還可以處理其他的荷載形式。對近似解來說，在管線上增加土層位移荷載以外的其他荷載，將使管線變形后不再為Peck曲線，難于求解。

(3)級數(shù)解隨所取級數(shù)項數(shù)的增加，求解精度穩(wěn)定提高。近似解求解結(jié)果的精度與選取的計算點位置有關(guān)，位置不同，結(jié)果的精度亦不同。

4　結(jié)　語

本文采用傅里葉級數(shù)求解管線的非線性沉降問題，得到了滿意的結(jié)果。級數(shù)解本身可以通過增加級數(shù)項數(shù)達到任意精度。但本文“在沉降槽附近范圍內(nèi)管線均勻伸縮”的假定仍會帶來計算結(jié)果的近似性，當然這一假設(shè)與級數(shù)方法本身無關(guān)。在土層對管線握裹力不大的情況下，或者管線外表面比較光滑時，這種假設(shè)所所產(chǎn)生的影響更小。

級數(shù)解可以處理較為復(fù)雜的荷載形式，如管線上作用有集中荷載，或者土層抗力只作用在管線的部分區(qū)段上等。當然，在處理這些復(fù)雜荷載時，傅里葉級數(shù)的系數(shù)一般不能直接得到顯式表達，需要求解線性方程組。

關(guān)于小變形情況下地埋管線沉降的傅里葉級數(shù)解，因為其只是大變形公式在軸力和伸長均等于零時的特殊情況，所以本文未進行討論。

[1]ATTEWELL P B, YEATES J, SELBY A R. Soil Movements Induced by Tunnelling and Their Effects on Pipelines and Structures [M]. London: Blackie and Son Ltd, 1986.

[2]VORSTER T E B, KLAR Assaf, SOGA Kenichi, et al. Estimating the Effects of Tunneling on Existing Pipelines [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2005, 131(11): 1399-1410.

[3]KLAR A, VORSTER T E B, SOGA K, et al. Soil-Pipe Interaction Due to Tunnelling: Comparison between Winkler and Elastic Continuum Solutions [J]. Geotechnique, 2005, 55(6): 461-466.

[4]王霆，劉維寧，李興高，等.地鐵施工影響鄰近管線的研究現(xiàn)狀與展望[J].中國鐵道科學(xué)，2006，27(6)：117-123.

(WANG Ting, LIU Weining, LI Xinggao, et al. Current Situation and Prospect of Studies on Tunneling-Induced Effect of Adjacent Pipelines [J]. China Railway Science, 2006, 27(6): 117-123. in Chinese)

[5]駱建軍，張頂立，王夢恕，等.地鐵施工對管線的影響[J].中國鐵道科學(xué)，2006，27(6)：124-128.

(LUO Jianjun, ZHANG Dingli, WANG Mengshu,et al. Influence of Metro Construction on Underground Pipeline [J]. China Railway Science, 2006, 27(6)：124-128. in Chinese)

[6]KLAR A， VORSTER T E B， SOGA K，et al. Elastoplastic Solution for Soil-Pipe-Tunnel Interaction [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2007, 133(7): 782-792.

[7]吳為義，孫宇坤，張土喬.盾構(gòu)隧道施工對鄰近地下管線影響分析[J].中國鐵道科學(xué)，2008，29(3)：58-62.

(WU Weiyi，SUN Yukun，ZHANG Tuqiao. Analysis of the Effects on the Adjacent Underground Pipelines by Shield Tunneling Construction [J]. China Railway Science, 2008，29(3)：58-62. in Chinese)

[8]孫宇坤，吳為義，張土喬.軟土地區(qū)盾構(gòu)隧道穿越地下管線引起的管線沉降分析[J].中國鐵道科學(xué)，2009，30(1)：80-85.

(SUN Yukun，WU Weiyi， ZHANG Tuqiao. Analysis on the Pipeline Settlement in Soft Ground Induced by Shield Tunneling across Buried Pipeline [J]. China Railway Science, 2009，30(1)：80-85. in Chinese)

[9]張坤勇，王宇，艾英缽.任意荷載下管土相互作用解答[J]. 巖土工程學(xué)報，2010，32(8)：1189-1193.

(ZHANG Kunyong, WANG Yu, AI Yingbo. Analytical Solution to Interaction between Pipelines and Soils under Arbitrary Loads [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010, 32(8): 1189-1193. in Chinese)

[10]姜玲，汪中衛(wèi)，王旭東.隧道開挖引起地下管線豎向位移的初參數(shù)法求解[J]. 南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，32(4)：72-76.

(JIANG Ling, WANG Zhongwei, WANG Xudong. Initial Parameter Method for Solving Vertical Displacement of Buried Pipelines Caused by Tunnel Excavation [J]. Journal of Nanjing University of Technology: Natural Science Edition, 2010, 32(4): 72-76. in Chinese)

[11]楊成永，張彥斌，張倫政. 勻質(zhì)地下管線大變形的控制微分方程及其近似解 [J]. 中國鐵道科學(xué)，2014，35(1)：42-46.

(YANG Chengyong, ZHANG Yanbin, ZHANG Lunzheng. Governing Differential Equation and Approximate Solution for Large Deformation of Jointless Underground Pipeline [J]. China Railway Science, 2014，35(1)：42-46. in Chinese)

[12]嚴宗達.結(jié)構(gòu)力學(xué)中的傅里葉級數(shù)解法 [M]. 天津:天津大學(xué)出版社，1989.

[13]楊維加.彈性地基梁的三角級數(shù)解法[M]. 北京：水利水電出版社，2005.

[14]數(shù)學(xué)手冊編寫組.數(shù)學(xué)手冊 [M]. 北京：高等教育出版社，1979.