雷曉燕，徐　斌,，徐滿清

(1.華東交通大學(xué) 鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西 南昌　330013；2.南昌工程學(xué)院 土木與建筑工程學(xué)院，江西 南昌　330029)

半無限彈性空間內(nèi)移動荷載動力響應(yīng)問題有較廣泛的工程背景，如地鐵隧道列車引起的振動、地面車輛所引起的振動及其波的傳播等。因此分析半無限彈性空間中移動載荷的動力響應(yīng)，在巖土工程、交通工程等領(lǐng)域具有重要意義。

目前，對半無限線彈性空間的簡單幾何構(gòu)形，如均質(zhì)半無限空間的表面移動載荷問題，可利用解析方法進(jìn)行計算[1-3]。對復(fù)雜幾何構(gòu)形，如地下任意形狀空洞的移動載荷響應(yīng)問題，主要是采用有限元法、邊界元法及有限元—邊界元耦合法等數(shù)值分析方法。相比于具有幾何外形的結(jié)構(gòu)，移動荷載作用下的半無限空間動力響應(yīng)問題要復(fù)雜得多，一般只采用有限元法[4-6]，主要是由于要獲得足夠計算精度，需建立有效的人工邊界及合理的離散網(wǎng)格，并且地基離散范圍必須足夠大。對于人工邊界問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了廣泛、深入的研究，建立了透射邊界模型，如黏性及黏彈性邊界[6-7]、疊加邊界[8]、旁軸邊界[9]、暫態(tài)透射邊界[10-11]、多向及雙漸近多向透射邊界[12-13]等。各種邊界模型的動力有限元法，在分析無限域地基土體動力問題時具有一定優(yōu)勢，但仍存在低階邊界精度不足、高階邊界穩(wěn)定性差等問題，不具有有限元意義上的精確性，即離散網(wǎng)格無限小時數(shù)值解可以收斂到精確解；另一方面，由于其對離散區(qū)域和單元尺寸的要求，常使得計算模型具有極大的自由度，這樣就導(dǎo)致計算時間較長，占用計算機資源較大，尤其對于三維動力有限元模型，其計算甚至難以實現(xiàn)。

在處理無限和半無限空間問題中，邊界元法由于具有自動滿足無窮遠(yuǎn)處輻射條件及降維的功能而被廣泛應(yīng)用[14-16]。該方法對移動載荷和周圍介質(zhì)相互作用的分析無疑具有重要意義，但形成邊界元法的積分方程所需的基本解一般較復(fù)雜，特別是對于各向異性材料，甚至不存在基本解析解。另一方面，邊界積分方程的奇異積分甚至是超奇異積分的處理，以及邊界積分方程數(shù)值求解，難度相當(dāng)大，限制了邊界元法等的進(jìn)一步應(yīng)用。結(jié)合邊界元法、有限元法各自所具有的優(yōu)越性而形成的有限元—邊界元耦合方法，已在結(jié)構(gòu)—地基相互作用分析中得到了廣泛應(yīng)用[17-18]，但在處理結(jié)構(gòu)與地基的接觸面、層狀土體的層間面等，有限元單元與邊界元單元的耦合變形協(xié)調(diào)存在一定的困難。

比例邊界有限元方法是以有限元法為基礎(chǔ)的一種邊界單元法[19]，它不需要求解基本解，因而能夠有效地處理解析解特別復(fù)雜的滿足一定條件的各向異性介質(zhì)問題；同時，通過相似中心的合理選取，比例邊界有限元法能夠滿足Sommerfeld的輻射條件。目前比例邊界有限元法已應(yīng)用于時域、頻域中無限域波動問題分析、無限域地基的邊界動力剛度矩陣求解等[20-21]。已有研究表明：比例邊界有限元法對于處理大部分無限域、各向異性介質(zhì)、材料不均勻變化等問題是非常精確、有效的[22]。

對于半無限空間中的移動荷載問題，考慮到荷載運動方向與結(jié)構(gòu)的一致性，進(jìn)行空間域—波數(shù)的積分變換，可極大減少計算量[6, 16-17]。值得指出的是，利用頻域—波數(shù)域比例邊界有限元法，得到半無限空間土體的精確動力剛度，分析時間—空間域土體動力響應(yīng)問題，尚未有文獻(xiàn)報道?；诖?，本文擬利用荷載移動方向的空間到波數(shù)域的傅里葉積分變換，結(jié)合伽遼金法，建立頻域—波數(shù)域的比例邊界有限元方程，分析時間—空間域移動荷載作用下半無限彈性空間中地鐵隧道的動力響應(yīng)。

1　比例邊界坐標(biāo)系下頻域—波數(shù)域內(nèi)的控制方程

1.1　物理模型與比例邊界坐標(biāo)系

半無限彈性空間中移動荷載作用示意圖如圖1所示，移動荷載沿地鐵隧道縱軸線z方向以速度v運動，且地鐵隧道橫截面保持不變。

圖1　半無限彈性空間中移動荷載作用示意圖

沿地鐵隧道軸線z向移動的分布線荷載，在地鐵隧道底面y=-h(h為隧道埋深)有如下邊界條件：

(1)

式中：σx，σy，σz分別為x，y，z方向的應(yīng)力；Fn為荷載集度；δ為Dirac—δ函數(shù)；v為荷載移動速度；t為時間；a為移動荷載分布長度。

將邊界條件進(jìn)行t→ω和z→kz的傅里葉變換，則頻率—波數(shù)域中邊界條件為

-a≤x≤a

(2)

式中：kz為傅里葉變換域的波數(shù)；ω為頻率；上標(biāo)-和～分別表示頻域、波數(shù)域內(nèi)的量。

圖2　比例邊界坐標(biāo)系下的線單元

轉(zhuǎn)換關(guān)系被稱作比例邊界轉(zhuǎn)換。

(3)

式中：Ν(η)=[N1(η)N2(η)N3(η)…]為形函數(shù)矩陣；x和y分別為離散單元節(jié)點的直角坐標(biāo)矩陣。

(4)

由此可得單元的Jacobian矩陣為

(5)

其中，

則直角坐標(biāo)系與比例坐標(biāo)系下導(dǎo)數(shù)之間存在以下關(guān)系：

(6)

1.2　頻域—波數(shù)域控制方程

(7)

其中，

對于各向同性的飽和土體，應(yīng)力σ、應(yīng)變ε與位移矢量u滿足胡克定律，即

σ=Dε=DLu

(8)

式中：D為飽和土體材料彈性矩陣。

由式(3)和式(7)可知，在圖2所示的比例邊界坐標(biāo)系(ξ,o,η)下，頻域—波數(shù)域微分算子L表示為

(9)

其中，

由式(9)可知，b1，b2與徑向坐標(biāo)為ξ無關(guān)，且滿足下式：

(10)

對于如圖2所示的計算單元中，在ξ=1的邊界上，離散節(jié)點的位移采用與節(jié)點坐標(biāo)相類似的形函數(shù)N表示，則在任一徑向坐標(biāo)ξ處的位移可表示為

(11)

由式(8)、式(9)和式(11)可知，比例邊界坐標(biāo)系下的應(yīng)力為

(12)

(13)

其中，

B1=b1N

B2=b2N,η

B3=b3N

由此可知：B1，B2，B3只是環(huán)向坐標(biāo)η的函數(shù)，與徑向坐標(biāo)為ξ無關(guān)。

(14)

2　基于加權(quán)殘值法的頻域—波數(shù)域比例邊界有限元方程

2.1　比例邊界有限元法的位移方程

在計算單元域內(nèi)采用伽遼金加權(quán)余量法[19-20]，權(quán)函數(shù)w選取與離散節(jié)點位移相同形式的插值形函數(shù)，即w=w(ξ,η)=N(η)w(ξ)，對土體動力平衡方程式(14)，在計算域內(nèi)由伽遼金法可得

(15)

對于式(15)中的第2項，利用分部積分，并將式(4)、式(10)代入后，可得

(16)

再將wT=[w(ξ)]TNT代入式(16)，同時要使式(16)在整個積分域成立，則有

(17)

(18)

由此可得由位移形式表示的比例邊界有限元方程為

(19)

其中，

2.2　頻域—波數(shù)域動力剛度

(20)

利用虛功原理，對于ξ為某個常數(shù)時所表征的線單元節(jié)點力為

(21)

將式(20)代入式(21)，并對ξ求導(dǎo)，再在兩端乘ξ并與式(19)相加后可得

(22)

由上式可得

ξ2[ω2M0+(ikz)2E5]+

ikz(E4T-E4)ξ-E2=0

(23)

由文獻(xiàn)[23]無量綱分析，并令ξ=1，可得到關(guān)于頻域—波數(shù)域動力剛度方程為

(ikz)2E5+ikz(E4T-E4)-E2=0

(24)

3　數(shù)值分析與算例

時間—空間域的動力剛度S(x,y,z,t)可由傅里葉積分逆變換得到，即

(25)

考慮到Dirac—δ函數(shù)特性，則有

(26)

(27)

圖3　無限空間在r=1.5rt處土體的動力響應(yīng)

利用本文方法，分析半無限彈性空間中地鐵隧道在移動荷載作用下的動力響應(yīng)。地鐵隧道橫截面如圖4所示，其中圓形半徑rt=4.0 m，埋深h=8.0 m。作用在地鐵隧道底面的移動荷載分布長度a=2.0 m。土體參數(shù)為：泊松比νs=0.3，密度ρs=2.5×103kg·m-3，Lame常量λs=4.0×107N·m-2。為避免奇點對傅里葉積分逆變換的影響，Lame常量取復(fù)數(shù)，即λs=λs0(1+iζ)， 其中阻尼比ζ=0.01，同樣，傅里葉積分逆變換的積分點N=1 025。

根據(jù)比例邊界有限元方法相似中心的確定原則，對于圖4中的半無限域中地鐵隧道計算模型，采用文獻(xiàn)[23]的子結(jié)構(gòu)分區(qū)法，如圖4所示，計算域劃分為半無限域Ⅰ區(qū)，有限域Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ區(qū)，各區(qū)的比例中心點分別為o，o2，o3，o4，半無限域Ⅰ區(qū)只在邊界DA，AB，BC上采用等參線單元進(jìn)行離散，離散單元數(shù)分別為24，32，24。有限域Ⅱ區(qū)邊界DC與EF的2D等參線單元離散數(shù)為32，CF與DE邊的2D等參線單元離散數(shù)為12；Ⅲ和Ⅳ區(qū)中AE，EP3，BF，F(xiàn)P3邊的2D等參線單元離散數(shù)均為12，AP3和BP3邊的2D等參線單元離散數(shù)均為18。

圖4　半無限彈性空間中地鐵隧道橫截面圖

圖5不同荷載速度下半無限彈性空間土體中觀察點P1的動力響應(yīng)

圖6不同荷載速度下半無限彈性空間土體中觀察點P2的動力響應(yīng)

圖7不同荷載速度下半無限彈性空間土體中觀察點P3的動力響應(yīng)

圖8不同荷載速度下半無限彈性空間土體中觀察點P4的動力響應(yīng)

(4)對于點P5：在荷載速度較低(v=50 m·

圖9不同荷載速度下半無限彈性空間土體中觀察點P5的動力響應(yīng)的

4　結(jié)　論

(1) 考慮荷載移動與結(jié)構(gòu)特性，提出在頻域—波數(shù)域建立比例邊界有限元方程，利用時間—空間到頻域—波數(shù)域的積分變換，可使3D的移動荷載問題轉(zhuǎn)化為2D平面內(nèi)分析；采用比例邊界有限元法，在地鐵隧道橫截面環(huán)向上采用有限元法意義離散，而在具有無窮遠(yuǎn)的徑向，利用比例邊界元法，可得到準(zhǔn)確的解析解，避免無窮邊界計算的誤差，同時還可避免邊界元法所需的Green函數(shù)求解與奇異性問題；

(2) 對于移動荷載作用下的半無限彈性空間，隨著荷載移動速度增大，振動波在土體中傳播增強，特別是當(dāng)荷載速度增大到土體剪切波速后，振動波傳播到土體表面，引起土體振動顯著增大，將會對地鐵隧道上部的結(jié)構(gòu)安全性形成一定影響。

(3) 本文方法不僅可解決半無限彈性空間中移動荷載動力響應(yīng)問題，還可充分利用比例邊界有限元的優(yōu)點，進(jìn)一步分析半無限彈性空間內(nèi)具有節(jié)理、裂隙等復(fù)雜地基的動力響應(yīng)。

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