譚　鵑霍　靜

（1西南大學(xué)附屬中學(xué)　重慶　400700　2西南大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院　重慶　400715）

“模型”是指反應(yīng)原型本質(zhì)屬性的物質(zhì)形式或思維形式的類似物，是在特定的科學(xué)研究目的和假設(shè)條件下進行，能夠重新反映原型的結(jié)構(gòu)、功能和過程等［1］。其中，用于表達(dá)生命活動規(guī)律的計算公式、函數(shù)式、曲線圖，以及由實驗數(shù)據(jù)繪制成的柱形圖、餅狀圖等稱之為數(shù)學(xué)模型，屬于學(xué)科交叉的通用概念［2］。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)方法，對于學(xué)生來說具有一定的難度。其構(gòu)建過程不僅需要學(xué)生掌握其一般步驟，還需要學(xué)生能夠領(lǐng)悟并歸納出其規(guī)律［3］。

本文以數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法為指導(dǎo)，以“種群數(shù)量的變化”一節(jié)的教學(xué)設(shè)計為例，論述在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的具體方法。為數(shù)學(xué)模型在中學(xué)生物學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用提供參考案例。

1　“數(shù)學(xué)模型”教學(xué)案例展示

教師展示一幅實驗室培養(yǎng)的大腸桿菌所形成的菌落圖，通過提問：“從生命系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)層次上講，培養(yǎng)皿中的大腸桿菌菌落應(yīng)該屬于哪一個層次？”（學(xué)生：屬于種群）。引導(dǎo)學(xué)生參與到研究該種群數(shù)量變化的情境中。

大腸桿菌通過二分裂繁殖，每20 min繁殖一代，現(xiàn)以一個“大腸桿菌的種群”作為大家的研究對象。

1.1提出問題用什么辦法可以描述大腸桿菌種群隨著時間的增加數(shù)量發(fā)生變化的情況？（學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識，可能會想到計數(shù)、曲線圖、公式等方法，但具體怎樣操作學(xué)生并不知道）。進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：

①首先，可以用最簡單的方法，先從眾多的大腸桿菌種群中，觀察1個大腸桿菌，隨著時間的增加計數(shù)大腸桿菌數(shù)量的變化情況。

②怎樣才能規(guī)范而又準(zhǔn)確地記錄對應(yīng)時間下大腸桿菌的種群數(shù)目？（學(xué)生會想到列表）

③如何設(shè)計表格？（學(xué)生會想到至少包含時間、分裂代數(shù)、種群數(shù)量等項目，設(shè)計并完成表1）

表1　1個大腸桿菌產(chǎn)生的后代在不同時間的數(shù)量

1.2作出假設(shè)學(xué)生完成表1后，教師抓住時機，引導(dǎo)學(xué)生作出假設(shè)：在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，1個大腸桿菌每20 min分裂繁殖一代，在分裂第t次后會繁殖出多少大腸桿菌？

1.3構(gòu)建模型學(xué)生利用數(shù)學(xué)遞推法寫出分裂t次后細(xì)菌數(shù)目Nt的計算公式，即Nt=2t。在此基礎(chǔ)上提出數(shù)學(xué)模型的概念，即用于描述一個系統(tǒng)或它的性質(zhì)的數(shù)學(xué)形式叫做數(shù)學(xué)模型，例如用于反映大腸桿菌數(shù)目變化的公式，就屬于數(shù)學(xué)模型。

1.4修正模型一般情況下，初次建立的數(shù)學(xué)模型可能無法準(zhǔn)確反映原型的本質(zhì)屬性和規(guī)律，需要對模型進行檢驗和修正。例如可以這樣引導(dǎo)學(xué)生對模型進行修正：

①在公式Nt=2t中，“2”代表什么意思？（學(xué)生回答：代表大腸桿菌本次分裂產(chǎn)生的個數(shù)是上一次的2倍，即增長倍數(shù)）。

②如果某種群數(shù)量的增長倍數(shù)不是2倍，用什么表示？（學(xué)生會想到不是所有種群數(shù)量都按2倍增長，可以引入一個參數(shù)如λ表示增長倍數(shù)）。

③在構(gòu)建模型Nt=2t時，學(xué)生作的假設(shè)是細(xì)菌的初始數(shù)目是1個，但是實際狀況中細(xì)菌的起始數(shù)目肯定不止1個，如何修正該模型？（可以假設(shè)起始數(shù)目為N0）

1.5總結(jié)歸納構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的一般步驟通過以上問題的討論，學(xué)生已經(jīng)對構(gòu)建的模型進行了修正，即可以用Nt=N0λt表示理想狀態(tài)下種群數(shù)量的變化。此時，師生可共同及時歸納總結(jié)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的一般方法：①觀察研究對象，提出問題；②提出合理的假設(shè)；③用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式對事物的性質(zhì)進行表達(dá)；④對模型進行檢驗或修正。

需要特別指出的是，對于同一個系統(tǒng)或者研究對象而言，只要能夠反映原型本質(zhì)屬性或基本規(guī)律的模型，都可以用于對研究對象進行描述。例如也可用曲線圖反映細(xì)菌數(shù)目變化的規(guī)律。讓學(xué)生畫出大腸桿菌的數(shù)量增長曲線，如圖1所示：

圖1　大腸桿菌種群的增長曲線

教師進一步引導(dǎo)學(xué)生比較公式和曲線圖2種數(shù)學(xué)形式各自的優(yōu)點，使學(xué)生學(xué)會根據(jù)實際需求構(gòu)建適當(dāng)形式的模型。

1.6模型應(yīng)用在學(xué)生對數(shù)學(xué)模型有了感性和理性認(rèn)識之后，進一步用數(shù)學(xué)模型思想解決具體問題：1959年，一位英國人帶了N0只野兔到澳大利亞，如果在食物和空間充裕、氣候適宜、沒有敵害等條件下，野兔的數(shù)量每年以一定的倍數(shù)增長，第2年是第1年的λ倍，t年之后野兔的數(shù)量是多少？

通過分析，學(xué)生構(gòu)建理想狀態(tài)下野兔種群增長的數(shù)學(xué)模型Nt=N0λt。此時，教師可引導(dǎo)學(xué)生對公式中各參數(shù)的意義、λ的范圍等問題進行分析。

追問：是否還有類似于野兔種群增長的這種實例？引出環(huán)頸雉的種群數(shù)量增長曲線，并總結(jié)種群增長的“J”型曲線。

1.7模型拓展師生討論種群的“J”型增長數(shù)學(xué)模型的條件、特點之后，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考：

①自然狀態(tài)與理想狀態(tài)的差異及對種群產(chǎn)生的影響；

②修正“J”型曲線，嘗試構(gòu)建自然狀態(tài)下種群數(shù)量增長的曲線模型。

通過這2個問題，引出高斯“大草履蟲種群增長”的實驗，并完成種群增長的“S”型曲線及其相關(guān)問題的學(xué)習(xí)。

在學(xué)生完成了種群增長的2種模型之后，引導(dǎo)學(xué)生解決例如滅鼠、魚類捕撈等種群增長相關(guān)的實際問題。

2　教學(xué)反思

《高中生物課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于“種群數(shù)量增長”部分的具體內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)是“通過探究培養(yǎng)液中酵母種群數(shù)量的動態(tài)變化，嘗試建立數(shù)學(xué)模型解釋種群的數(shù)量變動”。顯然，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解釋生命現(xiàn)象，揭示生命活動規(guī)律是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的著眼點，避免離開生物學(xué)討論數(shù)學(xué)的傾向。本教學(xué)案例展示的具體構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，就是從具體的生物現(xiàn)象或規(guī)律出發(fā)，建立抽象的數(shù)學(xué)模型，又將抽象的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于新的問題和情境中，對具體的生物學(xué)現(xiàn)象或規(guī)律作出解釋，并且在應(yīng)用中拓展和完善模型。

除本節(jié)討論的教學(xué)案例外，在中學(xué)生物學(xué)教學(xué)中涉及到的數(shù)學(xué)模型還有很多。例如，有絲分裂和減數(shù)分裂過程中染色體、染色單體及DNA數(shù)量的變化規(guī)律；酶的活性變化曲線；微生物生長曲線；種群密度計算公式、組成細(xì)胞的化學(xué)元素餅狀圖、能量金字塔；呼吸過程中隨氧氣的濃度增加ATP、CO2的變化曲線；光合作用中隨光照強度、溫度、CO2等條件的變化光合作用強度的變化曲線等。在教學(xué)過程中，教師可選擇一些數(shù)學(xué)模型讓學(xué)生構(gòu)建。

實踐表明通過構(gòu)建系列數(shù)學(xué)模型，學(xué)生不僅掌握了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法，還體驗由具體到抽象的思維轉(zhuǎn)化過程，學(xué)會從現(xiàn)象中揭示本質(zhì)和規(guī)律，用嚴(yán)密的思維分析問題、解決問題［4］。

［1］譚永平.高中生物學(xué)新課程中的模型、模型方法及模型建構(gòu).生物學(xué)教學(xué)，2009,34(1)：10.

［2］美國科學(xué)促進協(xié)會.面向全體美國人的科學(xué).中國教學(xué)技術(shù)協(xié)會，譯.北京：科學(xué)普及出版社，2001.

［3］周雪峰.生物學(xué)教學(xué)中模型構(gòu)建及應(yīng)用.生物學(xué)教學(xué),2010,35(2)：31.

［4］薛進.模型構(gòu)建方法在生物教學(xué)中應(yīng)用例析.佳木斯教育學(xué)院學(xué)報,2012（11）：121.