周蘭偉, 陳國平, 孫東陽

(1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094;2.南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室, 南京 210016;3.重慶大學 航空航天學院, 重慶 400044)

高速旋轉(zhuǎn)柔性梁剛?cè)狁詈蟿恿W分析

周蘭偉1, 陳國平2, 孫東陽3

(1.南京理工大學 機械工程學院，南京 210094;2.南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室, 南京 210016;3.重慶大學 航空航天學院, 重慶 400044)

基于一次近似理論對繞縱軸高速旋轉(zhuǎn)的柔性梁進行動力學分析，考慮了軸向與橫向振動之間的耦合作用以及由偏心產(chǎn)生的離心力作用；采用Hamilton原理導出了旋轉(zhuǎn)柔性梁在恒定轉(zhuǎn)速下動力學方程，并采用假設(shè)模態(tài)法對所得動力學方程進行分析，得出恒定轉(zhuǎn)速下柔性梁一次近似模型與零次近似模型動力學響應(yīng)。二者對比表明柔性梁在低速旋轉(zhuǎn)時剛?cè)狁詈享椨绊戄^小，可以忽略，可采用零次近似模型；而在高速旋轉(zhuǎn)時剛?cè)狁詈享椨绊戄^大，不可以忽略，應(yīng)采用一次近似模型以得到較為精確的結(jié)果。

高速； 旋轉(zhuǎn)柔性梁； 一次近似； Hamilton原理;假設(shè)模態(tài)法

繞自身縱軸旋轉(zhuǎn)梁是工業(yè)中應(yīng)用極為廣泛的一種基本機械元件，在航空領(lǐng)域、工業(yè)生產(chǎn)中都有著極為廣泛的用途，如航空、航天等高科技領(lǐng)域內(nèi)的旋轉(zhuǎn)飛行器、衛(wèi)星支撐臂及機械中的微型旋轉(zhuǎn)部件等都可以用旋轉(zhuǎn)梁來模擬其運動狀態(tài)及動態(tài)特性。隨著科學技術(shù)的發(fā)展及工作環(huán)境的變化，旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，如在飛行過程中需要較高的轉(zhuǎn)速來保證飛行穩(wěn)定性的高速旋轉(zhuǎn)飛行器[1]、橫軸旋翼機等；此外對旋轉(zhuǎn)機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)速度的要求也越來越高，相應(yīng)地對于高速甚至超高速工作狀態(tài)下部件的安全性、穩(wěn)定性要求亦隨之增高。因此此類柔性旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)動力學特性也受到越來越多研究者的關(guān)注。

旋轉(zhuǎn)梁的動力學特性研究最早可追溯到20世紀60年代，DIMENTBER[2]采用經(jīng)典Euler-Bernoulli梁模型推導出了簡支條件下旋轉(zhuǎn)梁的特征方程； SHEU[3]以Rayleigh梁為基礎(chǔ)研究了不同邊界條件下旋轉(zhuǎn)梁的渦動速度、臨界轉(zhuǎn)速、模態(tài)陣型等動力學特性； SLOETJES[4]采用主動模態(tài)阻尼及主動模態(tài)平衡方法對柔性轉(zhuǎn)軸的振動控制進行了研究； MAMANDI[5]研究了恒定轉(zhuǎn)速下Timoshenko梁在三向力作用下的非線性動力學響應(yīng)；國內(nèi)大量學者也對此作了全新的研究工作，錢新等[6-7]研究了旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁在重力作用下的動態(tài)特性，通過理論分析和數(shù)值模擬研究了激勵頻率、陀螺效應(yīng)、轉(zhuǎn)動慣量、長細比對渦動頻率、臨界速度和模態(tài)振型的影響及旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁在不同邊界條件下線性和非線性模型下不同的動力學特性。

圖1 橫軸旋翼機中的旋轉(zhuǎn)梁Fig.1 Spinning beam in cyclogyro

目前研究大都忽略了旋轉(zhuǎn)梁的剛?cè)狁詈享?，在低速旋轉(zhuǎn)情況下可以得到較為接近的結(jié)果，但是在高速旋轉(zhuǎn)情況下采用此類分析方法所得到的結(jié)果往往與實際不符。在變形場描述中忽略由橫向變形引起的軸向縮短效應(yīng)的方法稱為零次近似方法，反之，如果變形場描述中考慮這一項，則稱之為一次近似方法[8]。一次近似方法在首先應(yīng)用在以直升機旋翼為研究對象的旋轉(zhuǎn)梁中，本文以橫軸旋翼機中橫軸為研究對象，如圖1所示，采用一次近似Rayleigh梁模型對高速旋轉(zhuǎn)柔性梁進行剛?cè)狁詈蟿恿W分析，采用廣義Hamilton原理推導其動力學方程，并采用假設(shè)模態(tài)法分析相應(yīng)的動力學響應(yīng)，得到了不同轉(zhuǎn)速下動力學響應(yīng)并分別與零次近似模型進行了比較。

1 旋轉(zhuǎn)柔性梁一次近似模型

高速旋轉(zhuǎn)柔性梁，如圖2所示，繞自身縱軸以恒定轉(zhuǎn)速Ω旋轉(zhuǎn)，梁長L，密度ρ，矩形截面。假設(shè)旋轉(zhuǎn)時梁上某點的位移為D=uix+viy+wiz，則梁的實際軸向變化量根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學原理[9]可寫為

(1)

故D={s+wc}ix+viy+wiz

(2)

式(2)中積分項反映了由于橫向變形引起的軸向縮短，將在變形場描述中忽略這一項的方法稱為零次近似方法，反之，如果變形場描述中考慮這一項，則稱之為一次近似方法。零次近似理論直接套用了結(jié)構(gòu)動力學的小變形假設(shè)，忽略了此積分項，在低速情況下可以得到近似的結(jié)果，但是在高速旋轉(zhuǎn)情況下可能導致錯誤的結(jié)論。

圖2 旋轉(zhuǎn)梁示意圖Fig.2 Schematic diagram of spinning beam

通過將式(1)對x求導可得

(3)

根據(jù)Euler-Bernoulli梁假設(shè)，梁上任意一點的軸向正應(yīng)變?yōu)?/p>

(4)

將式(3)代入式(4)得

(5)

2 旋轉(zhuǎn)柔性梁動力學方程

旋轉(zhuǎn)柔性梁的總動能可以由下式表示[5]T=Ts+Te，其中Ts和Te分別表示因轉(zhuǎn)動和偏心引起的動能：

(6a)

(6b)

旋轉(zhuǎn)梁勢能可以寫為

(7)

外力做功的變分為

(8)

式中：P表示梁兩端所受軸力；Fx，F(xiàn)y及Fz表示作用于旋轉(zhuǎn)梁上的外力。

e(x)ρAΩ2cosθ1sin(Ωt+φ1(x))

(9a)

e(x)ρAΩ2cosθ2sin(Ωt+φ2(x))

(9b)

e(x)ρAΩ2cosθ3sin(Ωt+φ3(x))

(9c)

3 假設(shè)模態(tài)法

為了計算的簡便，忽略了式9(a)～9(c)中部分變形耦合項wc及附加質(zhì)量部分。旋轉(zhuǎn)梁上任意一點軸向變形s及橫向位移v,w可以寫為

s(x,t)=Φs(x)qs(t)

(10a)

v(x,t)=Φv(x)qv(t)

(10b)

w(x,t)=Φw(x)qw(t)

(10c)

其中

Φsj(x)，Φvj(x)及Φwj(x)可以表示為[10-11]：

j=1,2,3,……n

(11)

將式10(a)～10(c)代入式9(a)～9(c)可得

Fxδ(x-l1)+e(x)ρAΩ2cosθ1sin(Ωt+φ1(x))

(12a)

Fyδ(x-l2)+e(x)ρAΩ2cosθ2sin(Ωt+φ2(x))

(12b)

Fzδ(x-l3)+e(x)ρAΩ2cosθ3sin(Ωt+φ3(x))

(12c)

式12(a)～12(c)左右兩邊分別乘以Φsj(x)，Φvj(x)，Φwj(x)可得:

Fxχ(t)aj(x1)+ρAΩ2Κ1

(13a)

Fyχ(t)bj(x2)+ρAΩ2Κ2

(13b)

Fzχ(t)cj(x3)+ρAΩ2Κ3

(13c)

式中:Mij等可由Φsj(x)，Φvj(x)及Φwj(x)得到。其中：

式13(a)～13(c)經(jīng)過簡化可得：

(14a)

Fyχ(t)bj(x2)+ρAΩ2Κ2

(14b)

Fzχ(t)cj(x3)+ρAΩ2Κ3

(14c)

式中：aj(l1)=Φsj(l1)，bj(l2)=Φvj(l2)，cj(l3)=Φwj(l3)。

采用MATLAB中龍格-庫塔法對上述方程進行數(shù)值分析，可分別得到qsj(t)、qvj(t)、qwj(t)，將其代入式10(a)～10(c)中即可得到高速旋轉(zhuǎn)柔性梁的動力學響應(yīng)。

4 算例分析

柔性梁的主要物理參數(shù)為：柔性梁的材料密度ρ為2 000 kg/m3，橫截面積A為4×10-6m2，長度l為0.6 m，慣性矩Id為1.33×10-12m4，極慣性矩Ip為2.66×10-12m4，彈性模量E為1×1010N/m2，軸力P為0 N，假設(shè)偏心引起的三個方向的離心力載荷分別為

Fex=ρAΩ2K1=0.01ρAΩ2sin(Ωt+0.5π)，

Fey=ρAΩ2K2=0.005ρAΩ2sin(Ωt+0.1π)，

Fez=ρAΩ2K3=0.005ρAΩ2sin(Ωt+0.1π)。

所受外載荷方向及位置見圖3

Fy=0.05sin(6πt)，F(xiàn)x=Fz=0

為了考察零次近似與一次近似響應(yīng)曲線，建立旋轉(zhuǎn)柔性梁響應(yīng)相似度：

(15a)

圖3 旋轉(zhuǎn)柔性梁加載示意圖Fig.3 Load applied to spinning beam

(15b)

式中：v0，w0表示使用零次近似方法得到梁上某點的橫向位移響應(yīng)，v1，w1表示該點使用一階近似方法得到的橫向位移響應(yīng)。當RV，RW為1時表示使用兩種不同模型得到的橫向位移響應(yīng)完全相同，當值為0時表示橫向位移響應(yīng)完全不同。一次近似模型與零次近似模型所得到的位移響應(yīng)曲線差異越大，則RV，RW越小。圖4～圖6分別表示不同轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)柔性梁在離心力引起的載荷及外載荷作用下的橫向位移曲線。從圖4可以看出，在旋轉(zhuǎn)速度為50 rad/s時一次近似模型與零次近似模型所得到的位移響應(yīng)曲線差異較小，說明在低速旋轉(zhuǎn)時剛?cè)狁詈享棇α旱膭恿W特性影響較小，可以忽略，此時采用零次近似模型即可較好地描述低速旋轉(zhuǎn)柔性梁動力學特性；旋轉(zhuǎn)速度為220 rad/s時兩種模型得到的橫向位移具有明顯差異，如圖5所示；圖6表示在270 rad/s時，所得橫向位移差別很大，說明零次模型此時已經(jīng)不能準確描述旋轉(zhuǎn)梁的動力學特征。從圖7可以看出兩種模型所得到的橫向位移曲線的差異隨著轉(zhuǎn)速的增加逐漸增大，在480 rad/s時兩種模型得到的位移相似度僅為0.9，說明高速旋轉(zhuǎn)時剛?cè)狁詈享棇α旱膭恿W特性影響較大，不可以忽略，此時零次近似模型已不適用于高速旋轉(zhuǎn)柔性梁的建模，而一次近似模型由于考慮了軸向位移對橫向振動的影響，能更準確地描述高速旋轉(zhuǎn)柔性梁動力學特性。

5 結(jié) 論

本文詳細推導了基于一次近似模型繞縱軸高速旋轉(zhuǎn)柔性梁的剛?cè)狁詈蟿恿W方程，并采用假設(shè)模態(tài)法對柔性梁動力學響應(yīng)進行了分析。

算例結(jié)果表明，旋轉(zhuǎn)柔性梁低速旋轉(zhuǎn)時采用一次近似模型所得到的動力學特性與零次近似模型存在較小差異，而高速旋轉(zhuǎn)時兩種模型表現(xiàn)出較大差異，說明忽略了軸向變形對橫向變形影響的零次近似模型不能準確地描述高速旋轉(zhuǎn)柔性梁的動力學特性，而采用一次近似模型方法可以得到更為準確的結(jié)果。

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Rigid-flexible coupled dynamic analysis for a high-speed spinning flexible beam

ZHOU Lanwei1, CHEN Guoping2，SUN Dongyang3

(1.School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing, 210094;2.State Key Lab of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016，China;3.College of Aerospace Engineering，Chongqing University，Chongqing 400044, China)

Here, rigid-flexible coupled dynamic properties of a high-speed spinning flexible beam around its own longitudinal axis were studied.Using the first-order approximation model, the coupling effect of axial vibration and transverse one of the beam was considered.Besides, the centrifugal forces caused by eccentricity were also considered.The beam’s governing coupled partial differential equations of motion under a certain spinning speed were derived using Hamilton’s principle, and the assumed mode method was used for discretization.For different spinning, speeds, the transverse vibration response of the beam’s zero-order approximate model was compared with that of its first-order approximation model.The simulation results indicated that the zero-order approximate model is valid for the dynamic description of the flexible beam spinning at a lower speed since the effect of the rigid-flexible coupled terms is small and can be neglected; but when the beam spins at a higher speed, the first-order approximate model can account for the larger effect of the rigid-flexible coupled terms to obtain the beam’s more accurate dynamic response.

high-speed; spinning flexible beam; first-order approximation; Hamilton principle; assumed mode method

江蘇高校優(yōu)勢學科建設(shè)工程資助項目(PAPD)

2015-10-19 修改稿收到日期：2016-02-21

周蘭偉 男，博士生，1988年2月生，

陳國平 男，博士，教授，1956年7月生，E-mail：gpchen@nuaa.edu.cn

O327; O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.022