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        拆項(xiàng)相消法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        2017-04-06 21:31:23蘭啟龍
        中學(xué)生理科應(yīng)試 2017年1期
        關(guān)鍵詞:和式消法式子

        蘭啟龍

        數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于“關(guān)系”與“形式”.“拆項(xiàng)相消法”或叫f(k+1)-f(k)法就是體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系中的一種形式的轉(zhuǎn)換.其理論是:若ak=f(k+1)-f(k).則Sn=∑nk=1ak= f(n+1)-f(1).拆項(xiàng)相消法實(shí)質(zhì)是:先分解再組合, 即把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成幾項(xiàng)差的形式,再將所有項(xiàng)重新組合,相加過程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)求和.

        例如,求式子 41·2·3+52·3·4+63·4·5+...+n+3n(n+1)(n+2)的和,由于

        ak=k+3k(k+1)(k+2)

        =k+2k(k+1)(k+2)+1k(k+1)(k+2)

        =1k(k+1)+1k(k+1)(k+2)

        =(1k-1k+1)+12[1k(k+1)-1(k+1)(k+2)].

        從而Sn=∑nk=1(1k-1k+1)+12∑nk=1[1k(k+1)-1(k+1)(k+2)]

        =(1-1n+1)+12[12-1(n+1)(n+2)]=n(5n+11)4(n+1)(n+2).

        實(shí)際上,拆項(xiàng)相消法有其廣泛的應(yīng)用.

        一、在求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和中的應(yīng)用

        教材上是用所謂“倒序相加”來求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的,可是,很少人去關(guān)注拆項(xiàng)相消法.

        從等差數(shù)列的定義出發(fā),為簡單起見,不妨設(shè)a1-d=a0(d為公差).

        因ak=12dak(ak+1-ak-1)

        =12d(akak+1-

        ak-1ak).

        所以 Sn=∑nk=1ak=12d[(a1a2-a0a1)+(a2a3-a1a2)+...+(anan+1-an-1an)]

        =12d(anan+1-a0a1)①

        =12d(anan+1-ana1+ana1-a0a1)

        =12d(annd+a1nd)=n(a1+an)2.

        若在上述①式以后用an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd代入,可直接得到Sn=na1+12n(n-1)d.

        二、公式12+22 +32 +…+n2=16n(n+1)(2n+1)的推導(dǎo).

        公式∑nk=1k2的推導(dǎo),不是一件很簡單的事.

        盧正勇先生的《數(shù)學(xué)解題思路》(獲“1987年全國優(yōu)秀暢銷書”獎(jiǎng))中介紹了一種利用恒等式(n+1)3-n3=3n2+3n+1迭加的求和方法.現(xiàn)在用拆項(xiàng)相消法:

        一方面,Tn=1×2+2×3+…+n(n+1)

        =∑nk=1k(k+1)=∑nk=113k(k+1)[(k+2)-(k-1)]

        =13∑nk=1[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]

        =13n(n+1)(n+2)①

        另一方面,Tn=∑nk=1k(k+1)=∑nk=1k2+∑nk=1k

        =Sn+12n(n+1)②

        根據(jù)①②式,不難解出

        Sn=∑nk=1k2=16n(n+1)(2n+1).

        推而廣之,可以從Tn=1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= ∑nk=1k(k+1)(k+2)

        =14∑nk=1[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)]

        =14n(n+1)(n+2)(n+3)導(dǎo)出Sn=∑nk=1k3

        ……

        從Tn=∑nk=1[k(k+1)(k+2)…(k+m-1)]

        =…=1m+1n(n+1)(n+2)…(n+m) 中導(dǎo)出∑nk=1km.(至少理論上是這樣)

        三、在排列和組合中的應(yīng)用

        在含有排列數(shù)或組合數(shù)的一類問題中,常常用拆項(xiàng)相消法.

        例1計(jì)算:

        (1)31!+2!+3!+42!+3!+4!+…+n+2n!+(n+1)!+(n+2)!

        分析(1)∵ak=k+2k!+(k+1)!+(k+2)!=k+2k![1+(k+1)+(k+1)(k+2)]

        =1k!(k+2)=k+1(k+2)!

        =k+2(k+2)!-1(k+2)!=1(k+1)!-1(k+2)!

        ∴原式=∑nk=1ak=∑nk=1[1(k+1)!-1(k+2)!]

        =12-1(n+2)!.

        四、在三角數(shù)列求和中的應(yīng)用

        在不少三角數(shù)列的求和問題中,拆項(xiàng)相消法也往往派得上用場.

        例2求和:

        (1)Sn=tanθsec2θ+tan2θsec4θ+tan4θsec8θ+…+tan2n-1θsec2nθ

        (2)Tn=sinθ+sin(θ+α)+sin(θ+2α)+…+sin\[θ+(n-1)α\]

        分析∵(1)ak=tan2k-1θsec2kθ=

        sin[(2k-2k-1)θ]cos2k-1θcos2kθ=tan2kθ-tan2k-1θ

        ∴Sn=tan2nθ-tanθ.

        (2)∵ak=sin\[θ+(k-1) α\]

        =12sinα2·2sinα2sin[θ+(k-1)α]

        =12sinα2[cos(θ+2k-32α)-cos(θ+2k-12α)]

        (利用2sinxsiny=(cosxcosy+sinxsiny)-(cosxcosy-sinxsiny)

        =cos(x-y)-cos(x+y))

        Tn=12sinα2[cos(θ-α2)-cos(θ+2n-12α)]

        =sinnα2sinα2sin(θ+n-12α)

        注意:在(1)中,類似的有:

        tanθ2secθ+tanθ22secθ2+tanθ23secθ22+…

        +tanθ2nsecθ2n-1

        =tanθ-tanθ2n;

        在(2)中,對稱結(jié)論是:

        cosθ+cos(θ+α)+cos(θ+2α)+…

        +cos\[θ+(n-1) α\]

        =sinnα2sinα2·cos(θ+n-12α).

        (可用cosx=sin(π2+x)轉(zhuǎn)化,利用已知結(jié)論,立得)

        在這兩個(gè)式子中,令α=θ或α=2θ,可得到很有用的三角和式.

        可別小瞧了這些和式,它們與其它部分知識(shí)有許多交匯情況.

        五、在趣味數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        一些有趣的圖形計(jì)數(shù)問題也牽涉到拆項(xiàng)相消法.圖1

        例3如圖1,在正三角形PAnBn的三邊PAn,PBn,AnBn上,分別有一組等分點(diǎn)A1,A2,…,An-1;B1,B2,…,Bn-1;C1,C2,…,Cn-1.求出圖中所有正放的大小三角形“△”的個(gè)數(shù).

        分析一時(shí)難以看清,可退一步,先考察個(gè)別簡單的情況,然后把它化歸為數(shù)列求和的問題.

        不妨設(shè)f(k)為△PAkBk里含“△”的個(gè)數(shù).(k=1,2,…,n)直接從圖中看出:

        f(1)=1,f(2)=4=1+(1+2),

        f(3)=10=4+(1+2+3)

        ……

        應(yīng)該有f(k)=f(k-1)+(1+2+…+k),事實(shí)上,△PAk-1Bk-1里的“△”都在△PAkBk里;此外,△PAkBk比ΔPAk-1Bk-1多出一些底邊在AkBk上的“△”:若設(shè)A1B1=1,則底邊長為k的“△”有1個(gè)(即△PAkBk),底邊長為k-1的有2個(gè)(△A1AkCk-1和△B1C1Bk),…依此類推,底邊長為1的“△”有k個(gè).因此,上述猜想是對的.

        ∵f(k)-f(k-1)=1+2+…+k=12k2+12k.

        ∴f(2)-f(1)=12×22+12×2,

        f(3)-f(2)= 12×32+12×3,

        ……

        f(n)-f(n-1)=12n2+12n.

        將上面(n-1)個(gè)式子兩邊分別相加,得

        f(n)- f(1)=1216n(n+1)(2n+1)-1+

        1212n(n+1)-1

        ∴f(n)=16n(n+1)(n+2).

        綜上所述,在一些與自然數(shù)n有關(guān)的問題中,不管是整式,分式,三角式,還是其它代數(shù)式,只要能把a(bǔ)n表達(dá)成f(n+1)-f(n)或f(n)-f(n-1)的形式,原則上就可以用拆項(xiàng)相消法求出和式Sn=a1+a2+…+an.當(dāng)然,要完成和式Sn的推導(dǎo),通常需要有較強(qiáng)的逆向思維能力和綜合變形的技巧.感覺變形比較困難的情況下,有時(shí)可用待定系數(shù)法嘗試,驗(yàn)證.

        (收稿日期:2016-11-22)

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