袁培龍，周紹騎，李學(xué)新，唐 航

( 后勤工程學(xué)院 軍事供油工程系，重慶 401331)

【機(jī)械制造與檢測(cè)技術(shù)】

Lamb波頻散特性和波結(jié)構(gòu)特性的有限元仿真

袁培龍，周紹騎，李學(xué)新，唐 航

( 后勤工程學(xué)院 軍事供油工程系，重慶 401331)

采用ANSYS有限元仿真軟件模擬超聲Lamb波在4 mm厚的鋼板結(jié)構(gòu)中的傳播過程，計(jì)算S0模態(tài)和A0模態(tài)超聲Lamb波的群速度和沿鋼板厚度方向上的位移波結(jié)構(gòu)，繪制頻散曲線和波結(jié)構(gòu)特性曲線，理論分析與仿真結(jié)果基本吻合；為超聲Lamb波群速度測(cè)定和缺陷檢測(cè)提供理論依據(jù)。

Lamb波；頻散；波結(jié)構(gòu)；有限元；傳播規(guī)律

超聲Lamb波作為超聲導(dǎo)波的一種，主要存在于平板結(jié)構(gòu)中，具有易于激勵(lì)、對(duì)初始損傷和微小缺陷敏感、傳播距離遠(yuǎn)、檢測(cè)精度不受平板表面流體影響等優(yōu)點(diǎn)，是目前檢測(cè)平板缺陷極具前景的無損檢測(cè)手段之一[1]。超聲Lamb波是一種特殊的體波，其頻散特性和多模式特點(diǎn)決定了其在激勵(lì)、傳播、接收和質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方式上的復(fù)雜性[2-4]。因此，研究Lamb波的頻散特性和波結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)而依據(jù)其頻散特性曲線和波結(jié)構(gòu)特性曲線選取一定頻厚積下合適模態(tài)的超聲Lamb波進(jìn)行缺陷檢測(cè)顯得尤為重要[5-9]。目前，超聲Lamb波頻散特性和波結(jié)構(gòu)特性上的研究多為理論分析，基于有限元仿真的方法分析超聲Lamb波頻散特性和波結(jié)構(gòu)特性的較少。

本文首先對(duì)超聲Lamb波的頻率特性方程進(jìn)行數(shù)值求解并繪制其頻散特性曲線和波結(jié)構(gòu)特性曲線?；贏NSYS 有限元分析的方法在鋼板模型中仿真超聲Lamb的傳播過程，提取仿真數(shù)據(jù)結(jié)果，計(jì)算不同頻厚積下A0模態(tài)和S0模態(tài)的群速度，繪制有限元仿真情況下的頻散曲線和波結(jié)構(gòu)曲線。理論分析與仿真結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了有限元法的有效性。

1 超聲Lamb波的理論分析

超聲Lamb波在金屬平板內(nèi)傳播過程中其質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位移滿足Navier質(zhì)點(diǎn)平衡方程：

(1)

式(1)中u為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移矢量，μ、λ為L(zhǎng)ame常數(shù)。

根據(jù)金屬平板中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)特點(diǎn)可分為對(duì)稱模態(tài)(S)和反對(duì)稱模態(tài)(A)。在不同相速度下的超聲Lamb波存在不同階次的模態(tài)，用S0、S1、S2、S3、S4…A0、A1、A2、A3、A4…表示。根據(jù)勢(shì)函數(shù)求解法求解質(zhì)點(diǎn)平衡方程，得到Lamb波位移場(chǎng)表達(dá)式：

對(duì)稱模態(tài)：

(2)

反對(duì)稱模態(tài)：

(3)

其中，μ 為離面位移，ν為面內(nèi)位移，ω為角頻率，cL、cT分別為鋼板中的縱波波速和橫波波速，k為波數(shù)，E和G是鋼板彈性模量和剪切模量，υ為泊松比； ρ為鋼板密度。

根據(jù)零應(yīng)力邊界條件可求得A1、A2、B1、B2，即可計(jì)算得出Rayleigh-Lamb頻率方程：

對(duì)稱模態(tài)：

(4)

反對(duì)稱模態(tài)：

(5)

2 超聲Lamb波頻散特性曲線和波結(jié)構(gòu)特性

2.1 超聲Lamb波的頻散特性曲線

Rayleigh-Lamb頻散方程決定了超聲Lamb波存在多模態(tài)和頻散現(xiàn)象，下面以對(duì)稱模態(tài)為例，求解Rayleigh-Lamb頻散方程：

各項(xiàng)同性材料的金屬板中cl>ct,當(dāng)cp>cl時(shí)式(4)中分子分母都在實(shí)數(shù)范圍之內(nèi)，當(dāng)cp

1) 當(dāng)0

(5)

(6)

2) 當(dāng)ct

(7)

(8)

3) 當(dāng)cl

(9)

編寫Matlab計(jì)算程序使相速度cp和頻厚積fd以一定的時(shí)間步長(zhǎng)在分析范圍內(nèi)迭代求解，采用二分法通過對(duì)比y變量的變化計(jì)算出對(duì)應(yīng)頻厚積下的相速度。鋼板中縱波波速5.790 km/s,橫波波速3.180 km/s，繪制出超聲Lamb波的頻散特性曲線如圖1、圖2所示。

圖1 鋼板中Lamb波的相速度曲線

圖2 鋼板中Lamb波群速度曲線

由超聲Lamb波頻散特性曲線可以看出，同一頻厚積下可以產(chǎn)生兩種或兩種以上模態(tài)，且群速度不同；不同模態(tài)下的超聲Lamb波均存在頻散現(xiàn)象，其相速度和群速度均隨頻厚積的變化而變化；除S0、A0模態(tài)外其余模態(tài)均存在截止頻率。

2.2 超聲Lamb波的波結(jié)構(gòu)特性曲線

在各向同性鋼板中通過給定的模態(tài)Lamb波的頻厚積和相速度，由式(2)、式(3)可推導(dǎo)求解計(jì)算其沿厚度方向的離面位移和面內(nèi)位移，圖3、圖4為頻厚積為0.4 MHz mm和2 MHz mm時(shí)S0模態(tài)和A0模態(tài)超聲Lamb波的波結(jié)構(gòu)示意圖。在此對(duì)其進(jìn)行歸一化處理。

圖3 S0模態(tài)位移波結(jié)構(gòu)示意圖

從圖4可以看出，對(duì)稱模態(tài)的Lamb波沿鋼板厚度方向面內(nèi)位移關(guān)于板中心對(duì)稱，離面位移關(guān)于板中心反對(duì)稱。反對(duì)稱模態(tài)Lamb波，沿鋼板厚度方向離面位移關(guān)于板中心對(duì)稱，面內(nèi)位移關(guān)于板中心反對(duì)稱。在低頻厚積下S0模態(tài)以面內(nèi)位移為主，離面位移為輔；A0模態(tài)以離面位移為主，以面內(nèi)位移為輔。隨頻厚積增加，對(duì)稱模態(tài)的離面位移和反對(duì)稱模態(tài)的面內(nèi)位移在板中逐漸增加，對(duì)稱模態(tài)的面內(nèi)位移和反對(duì)稱模態(tài)的離面位移逐漸減小。

3 超聲Lamb波傳播規(guī)律的有限元仿真

采用有限元仿真軟件ANSYS仿真超聲Lamb波在4 mm厚、1 500 mm長(zhǎng)的鋼板中傳播，鋼板模型材料特性參數(shù)如表1所示。

表1 有限元仿真鋼板材料特性參數(shù)

圖5 有限元仿真模型示意圖

3.1 激勵(lì)信號(hào)選取

為減少Lamb波在傳播過程中的能量泄漏，提高計(jì)算精度，本文采用漢寧窗加載函數(shù)調(diào)制5周期正弦信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)。將激勵(lì)信號(hào)中心頻率從25 kHz逐步增加至500 kHz，對(duì)應(yīng)頻厚積從0.1 MHz mm增加至2 MHz mm。圖6為中心頻率為200 kHz的激勵(lì)信號(hào)波形圖，對(duì)波形幅值統(tǒng)一進(jìn)行歸一化處理。

圖6 中心頻率200 kHz激勵(lì)信號(hào)波形

3.2 有限元仿真結(jié)果分析

根據(jù)Lamb波的波結(jié)構(gòu)理論分析知，在鋼板一端的中間節(jié)點(diǎn)以一定的中心頻率加載面內(nèi)位移可以激勵(lì)產(chǎn)生對(duì)稱模態(tài)信號(hào)；加載離面位移可激勵(lì)產(chǎn)生反對(duì)稱模態(tài)信號(hào)。

在距離加載端面0.5 m和0.9 m處的鋼板表面設(shè)置信號(hào)接收點(diǎn)，設(shè)置加載信號(hào)中心頻率為200 KHz。圖7(a)為加載面內(nèi)位移激勵(lì)產(chǎn)生對(duì)稱模態(tài)Lamb波后接收點(diǎn)波形，根據(jù)群速度判斷為S0模態(tài)Lamb波，圖中接受信號(hào)的第二個(gè)波形為平板端面反射波，計(jì)算時(shí)間范圍內(nèi)，0.5 m處反射波未能完整顯示。圖7(b)為加載離面位移激勵(lì)產(chǎn)生反對(duì)稱模態(tài)超聲Lamb波后接收點(diǎn)波形，根據(jù)群速度判斷為A0模態(tài)Lamb波，由圖可以看出A0模態(tài)在傳播過程中時(shí)間擴(kuò)張較為明顯，在計(jì)算時(shí)間范圍內(nèi)接收點(diǎn)沒有出現(xiàn)端面反射波信號(hào)。

理論分析可知，改變激勵(lì)信號(hào)中心頻率后，超聲Lamb波的將會(huì)發(fā)生頻散現(xiàn)象，圖8(a)為加載中心頻率500 kHz面內(nèi)位移激勵(lì)產(chǎn)生對(duì)稱模態(tài)超聲Lamb波后接收點(diǎn)波形，圖8(b)為加載中心頻率500 kHz離面位移激勵(lì)產(chǎn)生反對(duì)稱模態(tài)超聲Lamb波后接收點(diǎn)波形。由圖可以看出，頻厚積為2 MHzmm時(shí)，對(duì)稱模態(tài)和反對(duì)稱模態(tài)Lamb波在傳播過程中均發(fā)生頻散現(xiàn)象，對(duì)稱模態(tài)Lamb波比反對(duì)稱模態(tài)Lamb波頻散現(xiàn)象更為明顯，且對(duì)稱模態(tài)發(fā)生明顯模態(tài)分離現(xiàn)象。

采用ANSYS有限元仿真的方法可以在鋼板中激勵(lì)出單一模態(tài)的超聲Lamb波，隨頻厚積增加Lamb波在鋼板中傳播時(shí)會(huì)發(fā)生頻散現(xiàn)象和模態(tài)分離現(xiàn)象。采用ANSYS有限元仿真的方法適合激勵(lì)較低頻厚積下的超聲Lamb波。

圖7 加載中心頻率200 kHz接收點(diǎn)波形

圖8 加載中心頻率500 kHz接收點(diǎn)波形

3.3 有限元仿真分析超聲Lamb波的頻散特性

超聲Lamb波在鋼板中向前傳播時(shí)，激勵(lì)信號(hào)以群速度作為能量傳播的速度。通過計(jì)算相應(yīng)波包峰值的前進(jìn)速度可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)模態(tài)的群速度：

(10)

式(10)中D為選定的兩個(gè)接受信號(hào)節(jié)點(diǎn)的距離，Tp1、Tp2為采集到時(shí)域脈沖信號(hào)的對(duì)應(yīng)模態(tài)波峰的時(shí)刻。

根據(jù)采集到接收點(diǎn)波形信號(hào)，可計(jì)算出S0和A0模態(tài)的超聲Lamb波群速度，圖9為理論值與仿真值對(duì)比示意圖。

圖9 群速度理論值與仿真比示意圖

將有限元方法計(jì)算出的群速度值與理論群速度進(jìn)行比較，計(jì)算誤差均小于5%。在誤差允許范圍內(nèi)，利用ANSYS有限元仿真的方法可較精確的計(jì)算鋼板中不同模態(tài)和頻厚積下的群速度值。

3.4 有限元仿真分析超聲Lamb波的波結(jié)構(gòu)特性

在鋼板模型中距離端面0.5 m處沿厚度方向每間隔0.4 mm設(shè)置一個(gè)信號(hào)接收點(diǎn)，分別得出沿厚度方向S0模態(tài)A0模態(tài)離面位移和面內(nèi)位移波形變化規(guī)律，對(duì)節(jié)點(diǎn)處位移進(jìn)行歸一化處理，可得出有限元仿真時(shí)位移波結(jié)構(gòu)示意圖，如圖10、圖11。

圖10 S0模態(tài)位移波結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果示意圖

圖11 A0模態(tài)位移波結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果示意圖

圖10、圖11可以看出，采用有限元分析的方法研究Lamb波在鋼板厚度方向上的位移波結(jié)構(gòu)變化規(guī)律與理論計(jì)算結(jié)果基本吻合，有限元仿真的方法可直觀分析Lamb波的波結(jié)構(gòu)特性，進(jìn)而研究不同模態(tài)和頻厚積下Lamb波穿透結(jié)構(gòu)的能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)鋼板缺陷的檢測(cè)。

4 結(jié)論

本文通過理論分析和有限元仿真相結(jié)合的方法對(duì)鋼板結(jié)構(gòu)中超聲Lamb波的傳播規(guī)律、頻散現(xiàn)象和波結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行研究，理論計(jì)算與有限元仿真基本吻合，理論分析為檢測(cè)鋼板厚度和波速測(cè)定提供依據(jù)，有限元仿真可以更加直觀分析Lamb波的頻散特性和波結(jié)構(gòu)特性，為觀察單一模態(tài)Lamb波在鋼板結(jié)構(gòu)中傳播和穿透結(jié)構(gòu)的能力提供有力工具。

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(責(zé)任編輯 唐定國(guó))

Finite Element Simulation of Lamb Wave Dispersion Characteristics and Wave Structure Features

YUAN Pei-long, ZHOU Shao-qi, LI Xue-xin, TANG Hang

(Department of Military Petroleum Supply Engineering, Logistical Engineering University of PLA, Chongqing 401331，China)

The propagation process of A0 and S0 mode wave in 4 mm steel plate was simulated in finite element simulation software ANSYS, and group velocity curves and wave structure characteristic curves of S0 and A0 Lamb waves in steel plate were plotted. Simulation results are approximately agreed with the theoretical analysis. It provides theoretical basis for group velocity measurement and defect detection.

Lamb wave; dispersion; wave structure; the FE method; propagation law

2016-07-14；

2016-10-15 基金項(xiàng)目：重慶市重點(diǎn)科技攻關(guān)項(xiàng)目(cstc2012gg-sfgc00002)

袁培龍(1992—)，男，碩士研究生，主要從事超聲導(dǎo)波檢測(cè)技術(shù)方向研究。

10.11809/scbgxb2017.03.032

袁培龍，周紹騎，李學(xué)新，等.Lamb波頻散特性和波結(jié)構(gòu)特性的有限元仿真[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(3):137-142.

format:YUAN Pei-long, ZHOU Shao-qi, LI Xue-xin, et al.Finite Element Simulation of Lamb Wave Dispersion Characteristics and Wave Structure Features[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(3):137-142.

TB553

A

2096-2304(2017)03-0137-06