賴文龍，陳洋洋，燕樂緯，譚 平

（1.廣州大學 減震控制與結(jié)構(gòu)安全國家重點實驗室培育基地，廣州 510405；2.廣州大學土木工程學院工程力學系，廣州 510006）

0 前言

結(jié)構(gòu)被動減震控制裝置的粘滯 阻尼器[1]廣泛應(yīng)用于高層、超高層建筑結(jié)構(gòu)的減震控制。早期被動減震控制裝置被均勻分布于高層建筑各層。隨結(jié)構(gòu)層數(shù)及阻尼器數(shù)量的增加，為降低消能減震系統(tǒng)成本、提高耗能效率，優(yōu)化阻尼器布置成為布置消能裝置須考慮的問題之一[2-4]。結(jié)構(gòu)的阻尼器優(yōu)化布置屬于離散型優(yōu)化問題，采用模擬退火算法是能夠有效解決離散型優(yōu)化問題的一種途徑。模擬退火求解過程無需目標函數(shù)梯度信息，是一種解決大規(guī)模組合優(yōu)化問題的算法。對于阻尼器可選安裝位置，即安裝阻尼器于不安裝阻尼器兩種狀態(tài)可映射到優(yōu)化問題優(yōu)化變量中使用{0，1}表示是否在某一樓層安裝阻尼器[5-6]，對該編碼的優(yōu)化變量進行模擬退火優(yōu)化，即可得到最優(yōu)布置方案。

模擬退火算法是一種啟發(fā)式隨機搜索方法[4]，可以在一定條件下接受劣解，使得優(yōu)化過程可以跳出局部最優(yōu)解， 在實際工程優(yōu)化問題上，能有效地求解出優(yōu)化問題的全局最優(yōu)或近似全局最優(yōu)解等優(yōu)點，且原理簡單、算法設(shè)置靈活。但算法的缺點時求解時間太長、溫度進度表中影響算法參數(shù)較難確定、尋優(yōu)過程中由于執(zhí)行Metropolis環(huán)節(jié)而可能遺失當前遇到的最優(yōu)解等缺點，模擬退火在優(yōu)化問題的運用所表現(xiàn)的性能和這些參數(shù)設(shè)置相關(guān)[7]，一個好的優(yōu)化參數(shù)設(shè)置能夠顯著縮短程序運行時間和提高算法性能。因此，如何正確選取合適的優(yōu)化參數(shù)是使用算法去解決工程實際問題的關(guān)鍵。

本文將算法尋優(yōu)過程中所接受的狀態(tài)（無論好壞狀態(tài)）記憶下來,使得模擬退火在整個最優(yōu)解搜索完后能夠輸出最優(yōu)解；并設(shè)置閾值使得當算法穩(wěn)定收斂時，結(jié)束優(yōu)化，減少計算量[8]，但存在陷入局部最優(yōu)解的風險，可設(shè)置較大閾值進行控制。使用算例進行討論模擬退火冷卻進度表中初始溫度與退火因子的選擇對算法性能的影響。數(shù)值表明，使用合適的算法參數(shù)下的模擬退火對高層結(jié)構(gòu)阻尼器優(yōu)化布置有高效性，穩(wěn)定性等優(yōu)良性能。

1 模擬退火

1.1 模擬退火原理

模擬退火算法（SA）最初的思想由Metropolis在1953年提出，1982年KirkPatrick[9]將退火思想引入組合優(yōu)化領(lǐng)域，提出一種解決大規(guī)模組合優(yōu)化問題的算法，特別是解TSP等NP-hard問題的通用有效的全局優(yōu)化方法[10]。

模擬退火算法來源于固體退火原理[11]，先將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻。當溫度升高的過程，固體內(nèi)部粒子狀態(tài)變?yōu)闊o序狀態(tài)，而溫度降低冷卻時粒子趨向有序。在降溫過程中，使得每降一次溫度，系統(tǒng)都達到一個內(nèi)能很小的平衡態(tài)，最后在常溫下系統(tǒng)達到一個內(nèi)能最小的一個基態(tài)。其過程包括降溫環(huán)節(jié)和Metropolis概率接受環(huán)節(jié)。Metropolis概率是粒子在溫度T時趨于平衡的概率為 e-ΔE/（kT）。 （ΔE 為其改變能量改變量， k為Boltzmann常數(shù)）。用模擬退火解決優(yōu)化問題，能量改變量模擬為新狀態(tài)與舊狀態(tài)目標函數(shù)值之差Δf（x）。得到解組合優(yōu)化問題的模擬退火算法:由初始解S0和控制參數(shù)初值T0開始，對當前溫度下，進行重復 “產(chǎn)生新解，計算目標函數(shù)差,接受或舍棄”的Metropolis概率接受環(huán)節(jié)，并逐步衰減溫度值，算法終止時的當前解即為所得近似最優(yōu)解[7]。模擬退火過程是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機搜索過程。退火過程由冷卻進度表（Cooling Schedule）控制[4]，包括控制參數(shù)的初值T0及其衰減因子λ、每個T值時的迭代次數(shù)（馬氏鏈長度）L和停止條件S。冷卻進度表參數(shù)影響模擬退火的性能。

1.2 冷卻進度表

初始溫度越高，溫度緩緩下降時求得最優(yōu)解的概率越大，但其迭代次數(shù)多，導致模擬退火的計算效率低，性能差。Kirkpatrick et al.[4]建議以初始接受差解的概率（P）確認初始溫度，則：T0=-降火方式可采用線性降火函數(shù)即：Tk=λk-1T0，但降火因子對算法的影響甚至決定模擬退火算法是否能尋找到最優(yōu)解。馬氏鏈長度L的選取，應(yīng)使得在同一溫度下，系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)，及不在有新解長生，L的選取亦可根據(jù)優(yōu)化變量的解空間大小及經(jīng)驗選取。算法的終止條件可用退火次數(shù)M及不在有新解的接受次數(shù)H來控制。

1.3 模擬退火的一般流程

典型SA步驟通常在給定冷卻進度表下可描述為：

（1）給定冷卻進度表參數(shù)，包括降溫次數(shù)M，Metropolis抽樣次數(shù)L，初溫T0，衰減因子λ等參數(shù)，令k=0；

（2）隨機產(chǎn)生初始狀態(tài)S；

（3）重復下列步驟L次:

① 從S的鄰域中隨機產(chǎn)生狀態(tài)S'；

②令 Δ =f（S'）-f（S）， 其中 f（S）表示優(yōu)化目標函數(shù)；

③ 若 Δ＜ 0， 令 S=S'； 若 Δ≥ 0， 且 e-ΔE/（kT）≥0， θ∈（0，1）的隨機數(shù)， 令 S=S'；

（4）若達到最大仿量真 （k=M），則輸出整個SA過程所接受解中最好的解Sbest并終止算法； 否則令 Tk+1=λTk， k=k+1 并返回（3）。

在模擬退火尋優(yōu)的過程中，可加入具有記憶功能的模擬退火，使得在模擬退火過程中所接受的解中取出最優(yōu)值；當算法降火次數(shù)還沒達到最大降火次數(shù)M時，可加入尋優(yōu)過程不在有新解的接受的次數(shù)H來控制，使算法達到一定穩(wěn)定性時輸出最優(yōu)解，提前終止算法。經(jīng)典模擬退火流程圖見圖1。

圖1 模擬退火流程圖Fig.1 Classic simulated annealing algorithm flow chart

2 模型

2.1 結(jié)構(gòu)模型

通常線性粘滯阻尼器出力取決于其瞬時相對速度大小[12]，即：

一般在地震激勵作用下，其中設(shè)置粘彈性阻

尼器的結(jié)構(gòu)體系運動微分方程即為：

方程 （2）一般可以采用經(jīng)典的時程分析法求解，本文采用Newmark-β法求解。

2.2 目標函數(shù)

本文取層間位移角的相對值作為響應(yīng)目標函數(shù)[5-6]：

式（3）中：θ為結(jié)構(gòu)在地震作用下層間位移角；下標max表示有控結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值；0，max表示無控結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值。

2.3 優(yōu)化模型

高層結(jié)構(gòu)阻器優(yōu)化布置問題的一般數(shù)學表達形式為：

式（4）中：X為阻尼器的布置方案；t為動荷載作用時間；n為結(jié)構(gòu)層數(shù)；xj∈{0，1}為結(jié)構(gòu)樓層是否布置阻尼器，0表示不布置阻尼器，1表示布置阻尼器；g（X，t）經(jīng)過標準化處理后的約束條件。f為優(yōu)化問題目標函數(shù)，本文取2.2目標函數(shù)的層間位移角的相對值[9-10]：

3 高層結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器優(yōu)化布置

3.1 模型信息

選取工程算例[5]為某20層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)作為高層結(jié)構(gòu)建筑研究對象，該框架模型的總高60.6 m，首層高3.6 m，其余層高3 m，結(jié)構(gòu)阻尼比0.05，一階模態(tài)振動周期2.849 6 s。要求選擇 10層安裝等效阻尼系數(shù)ceq=2.1×107N·s/m的粘滯阻尼器，每層安裝五個。各層質(zhì)量及水平側(cè)移剛度見表1，各階周期與周期見表2。選取美國1940年5月18日Imperial Valley地震EL Centro地震波為輸入，以各層最大層間位移角最小化 為目標進行優(yōu)化。根據(jù)場地條件要求，將地震波峰值調(diào)整為400 gal（0.4 g）

表1 各層質(zhì)量及與水平側(cè)移剛度值Table 1 Layer quality and horizontal lateral stiffness

表2 模型各階固有頻率與周期Table 2 Each order natural frequency and period of model

3.2 模擬退火參數(shù)選擇[4]

本文對最大降火次數(shù)M=60，馬氏鏈長度L=30，探討初始溫度與降溫函數(shù)中的衰減因子對算法的效率的影響。此算法加入記憶功能的模擬退火，不在有新解接受的次數(shù)H=100，選取初始溫度下接受差解的概率P=0.5。

3.3 初始溫度及衰減因子的討論

在確定最大降火次數(shù)及馬氏鏈長度后，初始溫度及衰減因子對模擬退火的性能影響極大，本文研究初始溫度和衰減因子的不同組合對模擬退火算法的效率、收斂性等性能影響極大。

為了確定T0的范圍，可隨機算1 000個解空間的值，并算求得評價函數(shù) 最大值ymax=0.822 2，評價函數(shù)次最大值ymax，second=0.820 2，評價函數(shù)最小值 ymin=0.642 4； 則 Δymax=0.179 8， Δymin=0.002；-Δy

衰減因子取值λ：λ1=0.85，λ2=0.90， λ3=0.95。

表3為所計算的初始溫度與選取溫度衰減因子不同組合的標號，并逐一對各編號所代表的初溫與衰減因子各運行對應(yīng)冷卻進度表的模擬退火10次，其所獲得最優(yōu)解次數(shù)及目標函數(shù)平均計算次數(shù)見表4。其數(shù)值結(jié)果顯示：不同的SA參數(shù)對其收斂性和計算效率影響極大，參數(shù)選擇不好時（如編號為⑥⑧⑨），算法容易陷入局部最優(yōu)解，使其在實際運用中無法保證尋找到最優(yōu)解。只有選擇恰當?shù)乃惴▍?shù)方可使得算法具有收斂性、效率等良好性能。

表3 初始溫度與降火因子組合編號Table 3 Combination number（initial temperature,cooling ratio）

由表4得出組號為③④⑦的初始溫度T0與降火因子λ時，10次尋優(yōu)中每次都收斂，其對應(yīng)初始溫度與降火因子見表5。在高層粘滯阻尼器優(yōu)化布置中，數(shù)值結(jié)果顯示，當初始溫度選擇較低時，而溫度降火因子較大時可使SA能快速的尋找到最優(yōu)解，具有良好的性能。圖2為第③號組合參數(shù)下模擬退火一次尋優(yōu)過程，由圖可看出，算法具有快速收斂性。

表4 各組組合編號算法性能對比Table 4 The performance comparison of the combination numbering algorithms of each group

表5 十次全收斂參數(shù)及效率對比Table 5 Ten times full convergence parameters and performance comparison

最優(yōu)布置方案為 [0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0]，即阻尼器最優(yōu)布置位置在2～9，11～12層，不同布置方案的層間最大位移角包絡(luò)圖見圖3，加阻尼器的優(yōu)化布置方案比無控下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)具有明顯的控制優(yōu)勢。最優(yōu)布置方案阻尼器偏中下層。

圖2 第③號組合參數(shù)下模擬退火尋優(yōu)曲線Fig.2 Simulated annealing optimization curve under the third combined parameters

圖3 樓層最大層間位移角包絡(luò)圖Fig.3 Envelope diagrams of maximal story drift radio

4 結(jié)語

在高層結(jié)構(gòu)粘滯阻尼器的布置中，當選擇一定層數(shù)進行布置阻尼器，優(yōu)化問題設(shè)計空間巨大，使用窮舉法需要花費大量的時間，在實際工程的尋優(yōu)中無法滿足對時間的要求，在合適的參數(shù)下，模擬退火可快速穩(wěn)定的尋找到最優(yōu)解。模擬退火冷卻進度表中參數(shù)選擇對算法的性能影響極大，只有選擇合適的算法參數(shù)才能使模擬退火能夠高效的尋找到最優(yōu)解。

圖4 第7層層間位移角時程圖Fig.4 Story drift radio time histories

本文對控制模擬退火性能的冷卻進度表中初始溫度及降火因子進行不同的分組并研究其收斂、效率等性能。給出此實例下能快速穩(wěn)定的尋找到高層粘滯阻尼器最優(yōu)布置的初始溫度及降火因子，其初始溫度及降火因子的選擇也可作為其他工程優(yōu)化問題的一個借鑒。

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