邵愛珠

圖形的認(rèn)識(shí)是“圖形與幾何”部分的主要內(nèi)容之一，主要包括空間和平面基本圖形的認(rèn)識(shí)這兩個(gè)部分?；趯W(xué)生不同年齡段對(duì)于空間感知力和認(rèn)知力的強(qiáng)弱，很多圖形的認(rèn)識(shí)都是分階段循環(huán)編排的，那么“再認(rèn)識(shí)”與“初步認(rèn)識(shí)”有什么不同？又該如何進(jìn)行“再認(rèn)識(shí)”教學(xué)呢？這是值得我們深入思考與探究的。據(jù)現(xiàn)有的資料顯示，國(guó)內(nèi)現(xiàn)行的幾套教材在“圖形的再認(rèn)識(shí)”時(shí)，都不約而同地選擇以“長(zhǎng)方形”作為研究對(duì)象，下面就以《長(zhǎng)方形再認(rèn)識(shí)》的教學(xué)為例，談一些自己的思考。

一、如何理解長(zhǎng)方形的“再認(rèn)識(shí)”

1.通覽教材編排之序。

以人教版為例，從整體編排序列看，長(zhǎng)方形的“初步認(rèn)識(shí)”放在一年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)圖形（二）》，這里第一次出現(xiàn)長(zhǎng)方形、正方形等平面圖形，要求能直觀辨認(rèn)，也就是能通過(guò)整體輪廓辨認(rèn)長(zhǎng)方形或正方形，在這個(gè)階段只要讓學(xué)生直觀判斷就可以，一般不要求學(xué)生判斷后說(shuō)明理由。長(zhǎng)方形的“再認(rèn)識(shí)”則安排在三年級(jí)上冊(cè)教學(xué)四邊形的認(rèn)識(shí)后，教學(xué)長(zhǎng)方形和正方形的特征，要求由表象探索實(shí)質(zhì)，通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)、歸納出特征：“長(zhǎng)方形的兩組對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角”，并能根據(jù)特征進(jìn)行判斷。

2.深究學(xué)生發(fā)展之理。

長(zhǎng)方形再認(rèn)識(shí)是基于第一次初步認(rèn)識(shí)之上進(jìn)行的，那么知識(shí)的增長(zhǎng)點(diǎn)在哪呢？荷蘭學(xué)者范希爾夫婦將幾何思維水平劃分為五個(gè)層次：視覺水平、分析水平、非形式化演繹、形式演繹水平、嚴(yán)密性水平。由此來(lái)看，“初步認(rèn)識(shí)”基本屬于“視覺水平”，直觀辨認(rèn)即可；通過(guò)“再認(rèn)識(shí)”，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形、正方形要走向“分析水平”的認(rèn)識(shí)，僅憑看到的信息是不夠的，需要分析和推理，建立明確的概念特征，以便作為判斷的基礎(chǔ)，對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)由表象提升到了圖形本質(zhì)。

3.細(xì)品教學(xué)目標(biāo)之度。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：圖形認(rèn)識(shí)的內(nèi)容安排體現(xiàn)了從生活到數(shù)學(xué)、從直觀到抽象、從整體到局部的特點(diǎn)，目標(biāo)要求循序漸進(jìn)、逐漸提高。遵循這樣的要求，對(duì)于不同年級(jí)的教學(xué)目標(biāo)也有不同的設(shè)定。從圖形之間的關(guān)系來(lái)看，在“初步認(rèn)識(shí)”階段，只要理解長(zhǎng)方形和正方形是兩個(gè)并列關(guān)系的概念，而“再認(rèn)識(shí)”時(shí)，則需要理解正方形是特殊的長(zhǎng)方形，也就是兩者之間是從屬關(guān)系。

二、長(zhǎng)方形再認(rèn)識(shí)如何教學(xué)

1.喚醒舊知，追問(wèn)中揭示新課目標(biāo)。

【教學(xué)片斷一】

出示一組平面圖形：

提問(wèn)：這些圖形有什么共同特征？（都有四條邊四個(gè)角）請(qǐng)從圖中找出長(zhǎng)方形或正方形。

師：我們以前就已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形和正方形，今天還要繼續(xù)研究。那么你想研究長(zhǎng)方形和正方形的什么知識(shí)呢？

提示：已經(jīng)知道長(zhǎng)方形（或正方形）有四條邊四個(gè)角，進(jìn)一步可以思考的問(wèn)題是：“邊”還有什么特點(diǎn)？“角”還有什么特點(diǎn)？

長(zhǎng)方形的再認(rèn)識(shí)是建立在初步認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上的，從一些四邊形中找出長(zhǎng)方形或正方形，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不困難，一方面喚醒他們?cè)袑?duì)長(zhǎng)、正方形直觀判斷的經(jīng)驗(yàn)，另一方面幫助他們回憶四邊形的特征，得到“四條邊、四個(gè)角”，引導(dǎo)學(xué)生明確研究圖形的思路，可以從“邊”與“角”去考慮。

美國(guó)認(rèn)知教育心理學(xué)家奧蘇貝爾認(rèn)為：要完成有意義的學(xué)習(xí)，必須具備的條件是學(xué)習(xí)材料本身具有邏輯意義，學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備適當(dāng)?shù)闹R(shí)基礎(chǔ)。因此教學(xué)一開始的設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)已有知識(shí)的回顧與追問(wèn)，提出了新課的目標(biāo)，也讓學(xué)生初步感知長(zhǎng)方形、正方形與四邊形之間的從屬關(guān)系，為后續(xù)教學(xué)的展開做知識(shí)上的準(zhǔn)備。

2.動(dòng)手操作，探究中發(fā)現(xiàn)圖形特征。

【教學(xué)片斷二】

（1）為每位學(xué)生提供一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)正方形，并提供三角尺等工具。

請(qǐng)學(xué)生選擇一個(gè)圖形，用自己的方式探索圖形的特點(diǎn)。（教師巡視，并個(gè)別輔導(dǎo)）

（2）以四人小組為單位，交流各自的發(fā)現(xiàn)。

（3）反饋交流：

①對(duì)長(zhǎng)方形“邊”的特征的研究：有什么新的發(fā)現(xiàn)？

通過(guò)量一量、折一折的辦法驗(yàn)證長(zhǎng)方形兩組對(duì)邊分別相等。

②對(duì)長(zhǎng)方形的“角”有什么新的發(fā)現(xiàn)？

用三角尺上的直角比一比，驗(yàn)證四個(gè)角是否是直角。

三年級(jí)開始，學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)從“直觀辨認(rèn)水平”發(fā)展為“依據(jù)特征的初級(jí)概念判斷水平”，因此長(zhǎng)方形再認(rèn)識(shí)的教學(xué)要突出圖形特征的研究。

在探究長(zhǎng)方形“邊”的特征時(shí)，學(xué)生主要通過(guò)兩種方法操作：一是度量，二是對(duì)折。度量當(dāng)然是好方法，通過(guò)量一量，能清晰的看到兩組對(duì)邊分別相等，但是度量的誤差不可避免。對(duì)折的方法學(xué)生并不陌生，憑借已有的折紙經(jīng)驗(yàn)，能自然想到用折一折的方法。對(duì)折是“幾何變換”（實(shí)際是對(duì)稱變換），運(yùn)用幾何變換的方法來(lái)認(rèn)識(shí)，是以后學(xué)習(xí)其他圖形特征的重要思想方法。

探究“邊”的特征用了這兩種方法，“角”的特征研究也經(jīng)歷了這兩種方法。雖然學(xué)生還不會(huì)用量角器度量長(zhǎng)方形的角，但借助三角板上的“直角”也能度量角的大?。ù笥凇⑿∮诨虻扔谥苯牵?。通過(guò)比一比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角。當(dāng)然也可以通過(guò)折一折的方法，發(fā)現(xiàn)四個(gè)角都相等，都是直角。

3.分類嘗試，遷移中滲透研究方法。

【教學(xué)片斷三】

（1）梳理探究方法：回想一下剛才的探究過(guò)程，我們是怎么研究長(zhǎng)方形特征的？

小結(jié)：我們對(duì)一個(gè)圖形特征的研究，是從角與邊這兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行的，通過(guò)量一量、折一折、比一比等活動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形邊的特征：有四條邊，形成兩組對(duì)邊，這兩組對(duì)邊分別相等；有四個(gè)角，四個(gè)角都相等，四個(gè)都是直角。

（2）用上面歸納出來(lái)的研究方法再次研究正方形。

（3）請(qǐng)學(xué)生介紹：對(duì)正方形有什么新的發(fā)現(xiàn)？

重點(diǎn)指導(dǎo)：從角與邊兩個(gè)方面研究，在折一折的過(guò)程中，不僅需要上下對(duì)折、左右對(duì)折，還需要引導(dǎo)學(xué)生沿對(duì)角線對(duì)折，從而發(fā)現(xiàn)：正方形不僅對(duì)邊長(zhǎng)度相等，而且鄰邊的長(zhǎng)度也相等。

（4）梳理小結(jié)：通過(guò)驗(yàn)證我們發(fā)現(xiàn)正方形四條邊一樣長(zhǎng)，有四個(gè)直角。

再認(rèn)識(shí)的教學(xué)，除了對(duì)知識(shí)點(diǎn)的提升，還應(yīng)在思想方法上有增量。因此，在這一環(huán)節(jié)完成后，要及時(shí)梳理探究的方法：是怎么研究長(zhǎng)方形的特征的？這里，除了要?dú)w納出從角與邊兩個(gè)維度去研究（包括角的數(shù)量、角的大小、角與角之間的關(guān)系；邊的數(shù)量、邊的長(zhǎng)短、邊與邊之間的關(guān)系），還要滲透從一般到特殊的研究意識(shí)，為后續(xù)圖形認(rèn)識(shí)積累研究經(jīng)驗(yàn)。

縱觀每一套教材，在長(zhǎng)方形、正方形再認(rèn)識(shí)時(shí)，都設(shè)計(jì)了類似數(shù)一數(shù)、量一量、折一折等操作活動(dòng)，意圖是讓學(xué)生經(jīng)歷從具體形象操作中感悟圖形特征的過(guò)程。因此教學(xué)中，要給學(xué)生充分的探索時(shí)間和空間，在自主探索、動(dòng)手操作、交流討論中發(fā)現(xiàn)圖形的特征，提煉研究方法。

4.多維比較，辨析中凸顯判斷依據(jù)。

【教學(xué)片斷四】

（1）辨一辨：下面圖形是長(zhǎng)方形或正方形嗎？為什么？

圖1

圖2

圖3

圖4

先獨(dú)立判斷，再四人小組討論交流，之后全班交流。

追問(wèn)：①圖1看上去斜斜的，為什么是長(zhǎng)方形？

②圖2也有兩組對(duì)邊相等，為什么不是長(zhǎng)方形？

③圖3有兩個(gè)直角，為什么不是長(zhǎng)方形？

④圖4的四條邊都相等，為什么也不是正方形？

（2）分析比較后，小結(jié)得出：

在判斷圖形時(shí)，不能僅憑觀察就下結(jié)論，需要根據(jù)長(zhǎng)方形或正方形的特征來(lái)判斷；另一方面只關(guān)注“邊”的特征或者“角”的特征，也不能準(zhǔn)確判定是什么圖形，而是需要同時(shí)從“邊”和“角”兩個(gè)維度去關(guān)注圖形特征。

這里呈現(xiàn)的四個(gè)圖形各有特點(diǎn)：圖1是不在水平位置上的長(zhǎng)方形、圖2兩組對(duì)邊相等、圖3有兩個(gè)直角、圖4四邊都相等。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些圖形邊與角的特征都非常具有迷惑性。通過(guò)比較、辨析，使學(xué)生清晰：學(xué)習(xí)了今天的知識(shí)以后，判斷一個(gè)圖形是不是長(zhǎng)方形（或正方形），就要用特征來(lái)說(shuō)理，而不是只憑“看看”；要判定一個(gè)圖形是不是長(zhǎng)方形（或正方形），要同時(shí)關(guān)注“邊”和“角”的特征，也就是要說(shuō)明它符合長(zhǎng)方形或正方形的所有特征，而說(shuō)它不是，則只要舉出一個(gè)不符合特征的地方即可。

我們?cè)谑崂斫滩臅r(shí)不難發(fā)現(xiàn)，教材中所提供的例子往往都是“標(biāo)準(zhǔn)式”的，如果是幾何圖形，那么其中一條邊基本都在水平位置，這樣安排有利于對(duì)概念的正面建構(gòu)。因?yàn)閷W(xué)生必然要先接觸標(biāo)準(zhǔn)的例子才能更好地為建構(gòu)概念服務(wù)。但如果我們止步于此，為學(xué)生提供的素材都是標(biāo)準(zhǔn)式的話，學(xué)生對(duì)概念理解難免出現(xiàn)片面性。利用變式圖形，可以使學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，排除非本質(zhì)屬性的干擾，抓住圖形本質(zhì)屬性進(jìn)行判斷，更好的掌握?qǐng)D形的概念。

5.運(yùn)動(dòng)聯(lián)結(jié)，思辨中感悟圖形聯(lián)系。

【教學(xué)片斷五】

（1）信封里裝的是四邊形，猜一猜可能是什么形狀的？說(shuō)說(shuō)你是怎么判斷的？

提示學(xué)生需要用圖形的特征、有理有據(jù)進(jìn)行判斷。

如：這個(gè)四邊形已經(jīng)有兩個(gè)直角，如果還有兩個(gè)直角，那么這個(gè)四邊形就是長(zhǎng)方形；

如果這個(gè)長(zhǎng)方形繼續(xù)往外拉，當(dāng)四條邊都相等時(shí)，就變成了正方形；當(dāng)然繼續(xù)往外拉，又變成了長(zhǎng)方形。

（2）用16根同樣的小棒擺一個(gè)長(zhǎng)方形，你有哪些擺法？

①學(xué)生在獨(dú)立思考、動(dòng)手操作基礎(chǔ)上，全班交流、整理得到所有擺法：

長(zhǎng)邊擺7根，寬邊1根；

長(zhǎng)邊擺6根，寬邊2根；

長(zhǎng)邊擺5根，寬邊3根；

每邊擺4根。

②觀察發(fā)現(xiàn)：用16根同樣的小棒擺一個(gè)長(zhǎng)方形，有四種不同的擺法，其中長(zhǎng)邊和寬邊都擺4根時(shí)，就變成了正方形。因此，可以說(shuō)：正方形是特殊的長(zhǎng)方形。

這兩題都是基于長(zhǎng)方形特征設(shè)計(jì)的練習(xí)：

猜信封里的圖形，要求學(xué)生能利用特征進(jìn)行圖形辨析。一方面能用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述、判斷圖形，進(jìn)一步鞏固長(zhǎng)方形的特征；另一方面將信封里的長(zhǎng)方形往外拉的過(guò)程中，使學(xué)生感悟到：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊與寬邊相等時(shí)，這個(gè)長(zhǎng)方形也就是正方形；繼續(xù)往外拉，又變成了長(zhǎng)方形。設(shè)計(jì)的意圖是通過(guò)運(yùn)動(dòng)，在猜想、驗(yàn)證的過(guò)程中感悟長(zhǎng)方形與正方形之間的聯(lián)系。

用16根小棒擺長(zhǎng)方形，是一道開放題，既是對(duì)長(zhǎng)方形特征的鞏固、同時(shí)滲透了變與不變的函數(shù)思想，也為后續(xù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算做知識(shí)上的準(zhǔn)備。

在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，圖形都是孤立地、并列地呈現(xiàn)的，通過(guò)這節(jié)課的研究與學(xué)習(xí)，從四邊形的邊、角特征出發(fā)，探究長(zhǎng)方形、正方形“邊”與“角”的特征，經(jīng)歷從概念的角度分析圖形的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯性；同時(shí)還要教學(xué)長(zhǎng)方形與正方形之間的關(guān)系，要從直觀認(rèn)識(shí)階段的“并列關(guān)系”到現(xiàn)在再認(rèn)識(shí)階段的“包含關(guān)系”，這是學(xué)生認(rèn)識(shí)上的進(jìn)一步發(fā)展。

（本文作者系朱樂平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）