吳勝斌

【摘 要】數(shù)列求和是從它們的本質(zhì)特點出發(fā)，去尋找最一般的方法，從而得出的結論比較具有針對性。如掌握直接求和法（公式法），錯位相減求和法，分組轉(zhuǎn)化求和法，裂項相消求和法等一些簡單的特殊數(shù)列求和的方法，理解數(shù)列求和中蘊含的數(shù)學思想，并能利用數(shù)列求和解決一些數(shù)列問題。

【關鍵詞】直接求和法（公式法）；分組求和法；錯位相減求和法；裂項相消求和法

一、直接求和法（公式法）

如果所給數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列， 那么它們的求和問題，可以直接利用等差或等比數(shù)列求和公式解決。

（1）等差數(shù)列的前n 項和公式：；

（2）等比數(shù)列的前n 項和公式：①當q=1 時，；②當q≠1 時，。

例1： 求1，2，3，…，100 這樣一個等差數(shù)列的和。

解：

二、分組求和法

若數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)和，可將其分成幾部分來求。一般為{等差+等比}的形式出現(xiàn)時用到分組求和法。

例2 求數(shù)列，…的前項和。

分析：此數(shù)列的通項公式是，而數(shù)列是一個等差數(shù)列，數(shù)列是一個等比數(shù)列，故采用分組求和法求解。

解：.

例3：在數(shù)列中，，， n∈N*

（1）證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n 項和。

（1）證明： 由題設 得

，n∈N* 又，

所以數(shù)列{}是首項為1，且公比為4 的等比數(shù)列。

（2）解：由（1）可知于是數(shù)列的通項公式為，

所以數(shù)列的前n 項和

=

=

==

小結：在求和時，一定要認真觀察數(shù)列的通項公式，如果它能拆分成幾項的和，而這些項分別構成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和。

三、裂項相消法

裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：

1。乘積形式

如：

（1）

（2）

（3）

（4）

2。根式形式

如：

例4：求數(shù)列，，，…，，…的前項和

解：∵=

小結：如果一個數(shù)列的每一項都能化為兩項之差，而前一項的減數(shù)恰與后一項的被減數(shù)相同，一減一加，中間項全部相消為零，那么原數(shù)列的前n項之和等于第一項的被減數(shù)與最末項的減數(shù)之差。多用于分母為等差數(shù)列的相鄰k項之積，且分子為常數(shù)的分式型數(shù)列的求和。

四、錯項相消法

如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應之積形成，那么此數(shù)列可采用錯項相減消法。

例6 求和

解：由原式乘以公比得：

原式與上式相減，得

∴

錯位相減法是是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前n項和，其中、中一個是等差數(shù)列，一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。

總而言之，數(shù)列求和，如果是等差、等比數(shù)列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到靈活運用。非等差等比數(shù)列的一般數(shù)列的求和，可以利用錯位相減求和法，分組轉(zhuǎn)化求和法，裂項相消求和法等一些簡單的特殊數(shù)列求和的方法。數(shù)列求和問題，一般說來方法靈活多樣，解法往往不止一種，很難說盡求全。本文中所介紹的種種求和方法，主要是給出一些解題的思路和方法，在解題中希望會有所幫助。