亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        曲線之間的滾動*

        2017-04-01 07:32:38
        物理通報 2017年4期

        楊 潔

        (湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

        邱為鋼

        (湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000;湖州師范學(xué)院物理視覺工作室 浙江 湖州 313000)

        曲線之間的滾動*

        楊 潔

        (湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

        邱為鋼

        (湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000;湖州師范學(xué)院物理視覺工作室 浙江 湖州 313000)

        把滾動分解為質(zhì)心平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動.由約束條件,給出了圓弧組成的葉狀物在正三角形和正方形內(nèi)滾動時,以及內(nèi)擺線在另一個內(nèi)擺線滾動時,質(zhì)心位置和轉(zhuǎn)動角的參數(shù)方程.由這些表達(dá)式,給出了滾動物體上特殊點(diǎn)的軌跡.

        滾動 內(nèi)擺線 軌跡

        一個曲線沿著另一個曲線(一般固定)滾動,滾動曲線上或內(nèi)(外)一點(diǎn),依據(jù)這兩個曲線形式和滾動模式,會形成多種多樣的軌跡.如果固定曲線是直線,滾動曲線是橢圓,滾動模式是純滾動,那么滾動橢圓上一點(diǎn)會形成橢圓旋輪線[1].如果固定曲線是圓,滾動曲線也是圓,兩個圓半徑之比是有理數(shù),滾動模式是純滾動,那么滾動圓上一點(diǎn)會形成內(nèi)(外)擺線[2].本文考慮兩個曲線都是封閉曲線之間的(非純)滾動模式.運(yùn)動學(xué)上滾動可以分解為質(zhì)心平動與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動,由于約束條件,質(zhì)心位置(或平移量)可以表示為轉(zhuǎn)動角的參數(shù)方程.依據(jù)質(zhì)心位置轉(zhuǎn)動角的表達(dá)式,就可以把滾動曲線上(外)任意一點(diǎn)的軌跡表示出來.為簡單起見,本文只考慮3種情況:兩段圓弧組成的封閉曲線在一個正三角形內(nèi)滾動;三段對稱圓弧組成的封閉曲線(萊洛三角形)在一個正方形內(nèi)滾動;內(nèi)擺線在一個內(nèi)擺線內(nèi)滾動.

        圖1 雙葉在正三角形內(nèi)的滾動

        從對稱性考慮,以正三角形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),正三角形的外接圓半徑是4,A點(diǎn)的起始坐標(biāo)是(4,0),B點(diǎn)的起始坐標(biāo)是(-2,0),雙葉質(zhì)心坐標(biāo)是(1,0).雙葉上下兩段圓弧起始時刻相對質(zhì)心的參數(shù)坐標(biāo)分別是

        (1)

        (2)

        雙葉滾動后,A點(diǎn)和B點(diǎn)仍舊在三角形的兩條邊上.計算得到(省略過程)質(zhì)心平移量與轉(zhuǎn)動角度的關(guān)系式

        (3)

        (4)

        圖2 雙葉質(zhì)心和圓弧中點(diǎn)軌跡

        質(zhì)心表達(dá)式(3)和(4)其實是橢圓弧,所以雙葉上任意固定一點(diǎn)的軌跡由3段對稱的橢圓弧組合而成,這從圖2上可以看出來.

        圖3 三葉在正方體內(nèi)的滾動

        (5)

        (6)

        (7)

        隨后,三葉質(zhì)心平移(xc,yc),然后整體逆時針轉(zhuǎn)動θ角度.三葉滾動后,兩個端點(diǎn)E和F仍舊落在正方形邊上.計算得到質(zhì)心平移量與轉(zhuǎn)動角度的關(guān)系式

        (8)

        (9)

        質(zhì)心表達(dá)式(8)和(9)其實是橢圓弧,所以三葉上任意固定一點(diǎn)的軌跡由4段對稱的橢圓弧(與質(zhì)心的橢圓弧不一樣)組合而成,這從圖4上可以看出來.

        圖4 三葉質(zhì)心和圓弧中點(diǎn)軌跡

        第三種情況如圖5所示,是一個三葉內(nèi)擺線在另一個四葉內(nèi)擺線內(nèi)的滾動.

        圖5 三葉內(nèi)擺線在四葉內(nèi)擺線內(nèi)的滾動

        內(nèi)擺線可以看作一個小圓在一個大圓內(nèi)純滾動時,小圓圓周上固定一點(diǎn)的軌跡.如果大圓半徑為R,小圓半徑為r,以大圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),那么內(nèi)擺線復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程是[4]

        (10)

        設(shè)3個圓的半徑分別為r1,r2,r3.小的內(nèi)擺線是第一個圓在第二個圓里面滾動形成的,它相對第二個圓圓心的參數(shù)方程是

        (11)

        這個內(nèi)擺線隨著第二個圓一起在第三個圓內(nèi)滾動,由復(fù)數(shù)加法和乘法意義,加法代表平移,乘法exp(iθ)表示轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)動角為θ.設(shè)第二個圓質(zhì)心平移后的復(fù)數(shù)坐標(biāo)是u,那么滾動后擺線的參數(shù)方程是

        (12)

        滾動后擺線上一點(diǎn)要落在第二個內(nèi)擺線上.第二個擺線由第一個圓在第三個圓內(nèi)滾動而成,復(fù)坐標(biāo)具有以下表達(dá)式

        (13)

        式(11)和式(12)應(yīng)該相等.假定平移后第二個圓質(zhì)心復(fù)坐標(biāo)有這樣的形式u=(r3-r2)exp(iφ),對比式(11)和(12),得到參數(shù)角與轉(zhuǎn)動角的關(guān)系式

        (14)

        取半徑為(1,3,4),就得到圖5中的圖形.取半徑為(1,3,5),就得到圖6中的圖形.

        圖6 三葉內(nèi)擺線在五葉內(nèi)擺線內(nèi)的滾動

        由以上平移和轉(zhuǎn)動表達(dá)式,還能得到三葉內(nèi)擺線在五葉內(nèi)擺線內(nèi)滾動時,尖點(diǎn)和“弧線”中間點(diǎn)的滾動軌跡,如圖7所示.

        圖7 三葉內(nèi)擺線尖點(diǎn)和弧線中點(diǎn)的滾動軌跡

        這樣,利用運(yùn)動學(xué)分解和約束條件,得到了質(zhì)心平移量(或位置)與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動角的解析表達(dá)式,并給出了物體上特殊點(diǎn)的滾動軌跡.這種方法也能求其他曲線之間的滾動軌跡,不再詳述.

        1 陶濤,邱為鋼.橢圓旋輪線.大學(xué)物理,2013,32(1):33~34

        2 佘守憲, 唐瑩.淺析物理學(xué)中的旋輪線(擺線).大學(xué)物理,2001,20(6): 5~10

        3 萊洛三角形. http://mathworld.wolfram.com/Reuleau- xTriangle.html

        4 擺線. http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid. html

        The Rolling Motion between Curves

        Yang Jie

        (Department of Physics, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000)

        Qiu Weigang

        (Department of Physics, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000;Physical Visual effects studio, Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000)

        A rolling motion is composed of displacement of center of mass (COM) and rotation around COM. From constraint condition, the rotation angle parametric expressions of displacement of COM are given for two kind of rolling motion between two curves: a leaf-like body made of arcs rolling inside a regular triangle and a square and a hypocycloid rolling inside another hypocycloid. The orbits of some special point on the rolling body are also given.

        rolling motion; hypocycloid; orbit

        *高等學(xué)校力學(xué)課程教學(xué)研究項目,項目編號:JZW-15-LX-15;湖州師范學(xué)院教改項目,項目編號:JGB16022;國家自然科學(xué)基金,項目編號:11475062

        楊潔(1995- ),女,在讀本科生.

        邱為鋼(1975- ),男,博士,副教授,主要從事大學(xué)物理的教學(xué)研究工作.

        2016-10-10)

        国产精品毛片极品久久| 日韩一区二区超清视频| 日本一区二区亚洲三区| 美女露出奶头扒开内裤的视频| 777精品出轨人妻国产| 人妻妺妺窝人体色www聚色窝 | 国产亚洲精品久久久久久| 91亚洲国产成人aⅴ毛片大全| 国产91九色视频在线播放| av影院手机在线观看| 边喂奶边中出的人妻| 在线播放a欧美专区一区| 蜜臀av人妻一区二区三区| 日韩一区av二区三区| 亚洲毛片αv无线播放一区| 亚洲AV秘 无码二区在线| 91国产视频自拍在线观看| 在厨房拨开内裤进入毛片| 少妇放荡的呻吟干柴烈火动漫| 欧美日韩中文亚洲另类春色| 99热婷婷一区二区三区| 丰满大爆乳波霸奶| 国产精品区一区第一页| 成人国产乱对白在线观看| 久久夜色国产精品噜噜亚洲av| 日韩精品无码中文字幕电影| 在线播放国产女同闺蜜| 国产盗摄一区二区三区av| 久久人妻少妇嫩草av| 蜜桃av噜噜一区二区三区| 日本丰满少妇高潮呻吟| 亚洲美女自拍偷拍视频| 亚洲码国产精品高潮在线| Y111111国产精品久久久| 精品国产一区二区av麻豆不卡| 99精品国产成人一区二区| 国产偷国产偷亚洲清高| 亚洲愉拍自拍视频一区| 蜜桃视频免费进入观看| 夜夜欢性恔免费视频| 国产成人精品aaaa视频一区|