魏微+徐穎

摘 要：從2014年秋季學期起，納入國家招生計劃的全部新入學研究生需繳納學費，這標志著我國全面實行研究生教育收費制度。雖然國家限定了研究生教育費用的最高收費標準，但是并未給出詳細方案。應(yīng)用納什均衡和博弈理論，建立了全面收費制度下兩個高校的研究生教育動態(tài)收費的數(shù)學模型，給出了研究生教育投入機制與獎助體系均衡滿足的條件，并探討了研究生教育投入機制與獎助體系對研究生教育收費的影響。

關(guān)鍵詞：全面收費 投入機制 獎助體系

中圖分類號：F230 文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2016）09-237-03

一、引言

我國研究生教育投入機制與獎助體系從新中國成立后已經(jīng)發(fā)展了60多年，在1985年以前，研究生教育經(jīng)費全部由政府財政統(tǒng)一負擔，研究生除了免除學費外，還享受不低于同等級機關(guān)干部工資標準的人民助學金。1985年以后，研究生教育的培養(yǎng)費或由委托單位交納或由研究生自己交納，同時研究生教育獎助體系也逐漸演變?yōu)槠胀í剬W金和優(yōu)秀獎學金等獎學金制度。2013年2月，國務(wù)院常務(wù)會議決定從2014年秋季學期起，納入國家招生計劃的全部新入學研究生需交納學費，這標志著我國全面實行研究生教育收費制度。

很多歐美國家最初施行研究生教育也是免收學費的，但隨著經(jīng)濟的發(fā)展及研究生招生規(guī)模的擴大，越來越多的國家實行了收費制度。美國從1643年安妮·默爾森（Anne Mowlsen）女士捐助貧困學生開始建立了獎助體系，從某種意義上來講，美國高等教育與獎助體系是同時起步的。美國研究生教育學費相對比較昂貴（私立大學約$25000～$45000左右，公立大學約$10000～$20000左右），因此，許多研究生不得不通過爭取獎學金來完成學業(yè)。美國頒布了一系列法案來完善投入機制與獎助體系，因此，美國也是世界上高等教育投入機制與獎助體系最完善的國家之一。英國從2012年開始實行研究生教育完全市場化，各個高校的各個專業(yè)可以采取不同的收費標準。法國研究生資助體系的一大特色是建立了國家一體化的獎、助、貸機制，各類資助由CNOUS（法國大學生事務(wù)管理中心）統(tǒng)一管理，直接向研究生發(fā)放，而不經(jīng)過大學。

由于我國研究生教育全面收費制度剛剛起步，國家發(fā)改委、財政部、教育部雖然明確了全日制學術(shù)型研究生按照碩士生每生每年不超過8000元、博士生不超過10000元的標準，但卻未給出詳細的實施方案，因此，對于研究生教育的收費形式、投入機制與獎助體系還需不斷摸索和借鑒總結(jié)。

二、問題描述及模型建立

本文考慮研究生教育水平相當?shù)膬蓚€高校（A高校和B高校）的同一個專業(yè)分別招收研究生；且只有這兩個高校；兩個高校開始招生的時刻相近；兩個高校在時段[0，T]內(nèi)同時招收研究生。在招生起始時刻t=0時，兩個高校的招生名額分別為NA、NB，到招生結(jié)束時刻t=T時，剩余招生名額的學費為0。為了簡化問題，這里報考的研究生均被錄取且不考慮研究生錄取后退學的情況，并假設(shè)每個高校分別只制定全額學費（不享受獎助政策）和部分減免學費（享受獎助政策）兩種收費政策，用P1K、P2K分別表示第K（K=A、B）個高校的全額學費、部分減免學費，且P1K>P2K。研究生在招生時段[0，T]的報考順序滿足泊松分布，每個研究生只能填報一個志愿，且研究生會根據(jù)學費的高低而考慮報考志愿。當A高校的學費為PiA（i=1，2），B高校的學費為PjB（j=1，2）時，k高校的招收密度為？姿iK，j（K=A，B），即k高校在單位時間內(nèi)招收的研究生的數(shù)量。假設(shè)高校之間的競爭信息是完全對稱的，各個高校互相知道對方當前的獎助體系和剩余招生名額。顯然，高校招收研究生的數(shù)量受對方高校和自身制定的獎助體系有關(guān)，同時也要考慮各個高校的投入機制，假設(shè)當B高校的獎助標準大于A高校時，A高校的學費高于B高校，那么，報考B高校的研究生數(shù)量就會增加，即

類似的，招生數(shù)量與學費應(yīng)滿足如下關(guān)系，高校才會有提高獎助標準的動力，否則，高標準的獎助體系永遠不會被采用。因此，下面的假設(shè)成立。

假設(shè)1：收入是學費的遞減函數(shù)，即

在招收研究生時段[0，T]內(nèi)的任一時刻t，當A、B兩個高校剩余招生名額為（nA，nB）時，高校k（k=A、B）所面臨的決策是確定剩余招生時段[t，T]內(nèi)任一時刻s應(yīng)當采用的學費Pk（s，nA，nB），使得自己高校的期望收入最大。

Pk（s，nA，nB）=P1K s時刻學院K采用高學費P2K s時刻學院K采用低學費 s∈[t，T]（3）

高校在確定研究生學費標準時要考慮獎助體系、招收研究生的數(shù)量、投入機制以及競爭高校的學費標準。高校的最優(yōu)學費標準變化比無競爭狀態(tài)時復雜，但是當兩個高校的剩余招生名額（nA，nB）都不變時，高校各自的學費PK（s，nA，nB）隨招生時間s遞減。

假設(shè)2：當兩個高校的剩余招生名額（nA，nB）都不變時，高校最優(yōu)的學費PK隨招生時間s遞減，即

考慮招收研究生時段[0，T]內(nèi)的任一時刻t，高校A、B剩余招生名額分別為nA和nB時，在下一位研究生報考之前，兩個高校均沒有招收研究生。兩個高校確定各自高、低學費的切換時間分別為ZAnA，nB和ZBnA，nB，即高校k（k=A、B）在ZknA，nB之前使用高學費，ZknA，nB之后使用低學費，（3）式可明確表示為：

Pk（s，nA，nB）=P1K t≤s≤ZknA，nBP2K ZknA，nB

高校一直維持這種策略，直到s時刻，下一個研究生報考時，高校招收了一個研究生后，雙方才根據(jù)從收取的學費中獲得的新的招生信息調(diào)整和更新策略，進入下一輪博弈。如圖1（見下頁）所示。

如果在s時刻，高校A招收了一名研究生，則剩余招生名額變?yōu)椋╪A-1，nB），在剩余招生時段的博弈如圖1中箭頭A所示；如果在s時刻，高校B招收了一名研究生，則剩余招生名額變?yōu)椋╪A，nB-1），在剩余招生時段的博弈如圖1中箭頭B所示。如此繼續(xù)下去，直到兩個高校的招生名額全部用完或招生時間結(jié)束。由于研究生報考的隨機性，研究生報考的時刻s是隨機的，整個招生過程可用一個隨機控制過程來描述。

研究生報考過程服從參數(shù)為？姿的泊松分布，則相鄰時兩個研究生報考的時間間隔服從參數(shù)為？姿的指數(shù)分布。

設(shè)在時段[t，z]內(nèi)的研究生到達率為？姿1（即報考密度），時段[z，T]內(nèi)的研究生到達率為？姿2。則從t時刻算起，下一個研究生報考的時刻s服從概率密度函數(shù)如下的指數(shù)分布：

應(yīng)用上述引理，可建立隨機事件“s時刻高校k招收一名研究生后，雙方因高校k的剩余招生名額改變而轉(zhuǎn)入下一輪博弈”的概率密度函數(shù)為：

由于問題的對稱性，假設(shè)zA ≤zB 。用Vk（t，nA，nB）表示高校k（k=A、B）在給定狀態(tài)（t，nA，nB）下的期望收益函數(shù)。若s時刻高校A以PA（s，nA，nB）的學費招收一名研究生，則高校A獲得PA（s，nA，nB）的收入，同時還剩nA-1個名額，因而，此時高校A的期望收益為：PA（s，nA，nB）+VA（s，nA-1，nB），高校B的期望收益變?yōu)閂B（s，nA-1，nB）；同理，若s時刻高校B以PB（t，nA，nB）的學費招收一名研究生時，兩個高校的期望收益分別為：PB（s，nA，nB）+VB（s，nA，nB-1）和VA（s，nA，nB-1）。由（4）及（6）式，可給出t時刻兩個競爭高校的剩余招生名額為nA和nB，切換時間分別是為z 和z 時，各自的期望收益函數(shù)。其中，高校A的期望收益函數(shù)為：

由此，可以得到使兩個高校的期望收益最大化的均衡策略。

由（7）及（8）式可以看出，高校A的期望收益VA（t，n ，n ）不僅與自身策略z 有關(guān)，也與對手策略z 有關(guān)；而高校B的期望收益VB（t，n ，n ）也取決于雙方的策略z 和z ，高校都希望通過調(diào)整自身策略z （k=A，B），以獲得最大收益。對高校A來說，假設(shè)高校B的策略為z ，那么VA（t，n ，n ）對自身收費的切換點z 求偏導整理后得：

同理，高校B的期望收益VB（t，n ，n ）對自身收費的切換點z 求偏導后整理得：

當兩個高校的收費切換點策略互為給定對手策略下的最優(yōu)策略，即雙方策略互為對手策略的最佳反應(yīng)時，雙方策略達到納什均衡。均衡策略必定是對手策略一定的情況下使己方期望收益達到最大時的極值點。由于是在閉區(qū)間[t，T]上討論問題，最大值也可能在區(qū)間端點取到。因此，兩個高校的均衡策略點（z ，z ）是在閉區(qū)間[t，T]上的納什均衡點，即當兩個高校的收費切換點分別為z 和z 時，兩個高校取得的收益最大。高?？梢酝ㄟ^招生的動態(tài)情況及時調(diào)整高校的獎助體系，同時根據(jù)高校的收益情況來調(diào)整投入機制。

三、結(jié)論

本文從我國研究生招生的實際情況出發(fā)，嘗（下轉(zhuǎn)第240頁）（上接第238頁）試解決競爭環(huán)境下的高校收益管理動態(tài)收費問題，在適當?shù)募僭O(shè)下得到了一些比較好的結(jié)果。但是，本文的研究只討論了兩個競爭高校， 各自只提供兩種獎助體系的情況。在現(xiàn)實中，研究生教育水平相當?shù)母咝?shù)量很多，每個高校都會設(shè)置多種獎助體系，因此，關(guān)于多樣的獎助體系、多個高校模型的研究具有重大的實踐意義。另外，本文的研究是針對完全信息的競爭情況，而事實上，高校對于自身的獎助體系并不是完全被其他高校尤其是競爭高校所知道，如何在不完全信息的條件下做出占優(yōu)的收費決策，以及分析不同競爭對手的信息對自身策略的影響程度，確定對自身策略影響最大的一個或幾個競爭對手，便于集中精力收集關(guān)于該對手的信息，就成為迫切需要研究的問題。

[基金項目：江蘇省2015研究生教改立項課題（JGLX15_023）；江蘇科技大學2014研究生教改課題（YJG2014Y_21）。]

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（作者單位：江蘇科技大學財務(wù)處 江蘇鎮(zhèn)江 212003）

（作者簡介：魏微，碩士研究生，高級審計師，主要研究方向：高校財務(wù)管理。）（責編：賈偉）