馬繼云

(北京大學(xué)附屬中學(xué),北京 100190)

如此等效錯(cuò)在哪里?

馬繼云

(北京大學(xué)附屬中學(xué),北京 100190)

“同性電荷相斥,異性電荷相吸”一直是我們?cè)谥v解電荷間相互作用時(shí)的一個(gè)結(jié)論性總結(jié),它有沒(méi)有使用的局限性呢?本文根據(jù)中學(xué)階段一道常見(jiàn)的帶電導(dǎo)體球間的相互作用為例,通過(guò)電荷等效分析了不同的材質(zhì)球間的相互作用問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)該結(jié)論實(shí)際是有使用條件的,從而進(jìn)一步體現(xiàn)出物理規(guī)律的使用范圍和使用條件的嚴(yán)謹(jǐn)性,不能隨意地等效和擴(kuò)展類推．

導(dǎo)體球； 感應(yīng)電荷； 鏡像電荷； 庫(kù)侖定律

在靜電場(chǎng)部分,考查庫(kù)侖定律的題目中時(shí)常有這類問(wèn)題出現(xiàn),兩個(gè)帶電導(dǎo)體球位置較近時(shí)討論它們間的庫(kù)侖力,目的是考查庫(kù)侖定律的適用條件以及等效思想的應(yīng)用．可是實(shí)際上這類題目在中學(xué)階段的解答是有問(wèn)題的,或是需要一定的限制條件的．下面以一道題目為例說(shuō)明這類問(wèn)題分析時(shí)到底錯(cuò)在哪里．

有一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷與一個(gè)帶等電量的導(dǎo)體球,它們相距較近且位置保持不變,設(shè)它們帶同種電荷時(shí)它們間的靜電力為F1,它們帶異種電荷(電荷量大小不變)時(shí)它們間的靜電力為F2,則F1和F2大小關(guān)系是

(A)F1=F2. (B)F1>F2.

(C)F1

該題答案為選項(xiàng)(C).分析認(rèn)為由于點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球靠得較近,所以導(dǎo)體球不可以直接當(dāng)成點(diǎn)電荷處理,又考慮到電荷間同性相斥、異性相吸的作用規(guī)律,所以導(dǎo)體球帶同性電荷時(shí),等效電荷間的距離d′要大于球心間距d,如圖1所示;同理,導(dǎo)體球帶異性電荷時(shí),等效電荷間的距離d′要小于球心間距d,如圖2所示．

圖1 導(dǎo)體球與點(diǎn)電荷帶同種電荷

圖2 導(dǎo)體球與點(diǎn)電荷帶異種電荷

該題的分析乍一看很有道理,我們知道均勻帶電球可以等效為電荷量集中在球心的點(diǎn)電荷,由于題目中的帶電球是導(dǎo)體球,因此當(dāng)有其他電荷存在時(shí)導(dǎo)體球表面的電荷不再是均勻分布,那么等效電荷要偏離球心是理所當(dāng)然的事情．可是其中忽略了一個(gè)重要問(wèn)題,那就是導(dǎo)體球在電場(chǎng)中的靜電感應(yīng)現(xiàn)象,也就是說(shuō)上面這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上并不是剛才分析的那么簡(jiǎn)單,還應(yīng)該考慮感應(yīng)電荷的影響．下面,我們將從簡(jiǎn)單到復(fù)雜逐一分析這個(gè)問(wèn)題．

首先,假設(shè)有一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷Q和一個(gè)半徑為R的導(dǎo)體球,點(diǎn)電荷到導(dǎo)體球球心距離為r.

問(wèn)題1:如果將導(dǎo)體球接地,導(dǎo)體球與點(diǎn)電荷間的靜電力F的表達(dá)式是怎樣的呢?

由于導(dǎo)體球處于點(diǎn)電荷Q的靜電場(chǎng)中,所以會(huì)在導(dǎo)體球表面靠近點(diǎn)電荷的一側(cè)出現(xiàn)異性感應(yīng)電荷,設(shè)電荷量為q．由于導(dǎo)體球被接地,則導(dǎo)體球球面上電勢(shì)為0,利用邊界條件(導(dǎo)體球的表面電勢(shì)為0)和鏡像法,[1]可以知道在導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷可以等效為一個(gè)點(diǎn)電荷(稱為鏡像電荷),其位置到導(dǎo)體球球心的距離d為R2r,鏡像電荷是電荷量q為RrQ的負(fù)電荷,如圖3所示.

圖3 點(diǎn)電荷Q電場(chǎng)中導(dǎo)體球(接地)的電荷分布

點(diǎn)電荷Q處于鏡像電荷的電場(chǎng)中,根據(jù)點(diǎn)電荷間庫(kù)侖力公式,[2]

點(diǎn)電荷Q與導(dǎo)體球間的靜電力為

F=-kQq(r-b)2=-kQ2Rr(r2-R2)2.

完善了水資源配置體系。錦凌水庫(kù)、青山水庫(kù)、三灣水利樞紐分別完成總進(jìn)度的89%、85%和88%，其中三灣水利樞紐已下閘蓄水。輸水應(yīng)急入連、長(zhǎng)海縣引水工程具備通水條件。觀音閣水庫(kù)輸水工程開(kāi)工建設(shè)。全年完成供水143億m3，其中省直水利工程調(diào)放河道生態(tài)水6.58億m3。

(1)

問(wèn)題2:如果該導(dǎo)體球帶電荷量為Q0(Q0>0),且不接地,那么點(diǎn)電荷Q受到的電場(chǎng)力F又該如何呢?

此時(shí)導(dǎo)體球上被點(diǎn)電荷感應(yīng)出的負(fù)電荷q仍然存在,因此導(dǎo)體球上的正電荷包括Q0和與感應(yīng)負(fù)電荷相對(duì)應(yīng)的正感應(yīng)電荷q兩部分．由于導(dǎo)體球是等勢(shì)體,這些正電荷會(huì)均勻分布在球體表面，如圖4所示.

圖4 點(diǎn)電荷Q電場(chǎng)中帶電荷量為Q0的導(dǎo)體球電荷分布情況

由于正電荷均勻分布在表面,所以正電荷可以等效為位于球心,帶電荷量為Q0+q的點(diǎn)電荷,而負(fù)感應(yīng)電荷可以等效為鏡像電荷-q距離導(dǎo)體球心d為R2r,鏡像電荷電荷量-q為-RrQ,點(diǎn)電荷Q就處于這兩個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)的疊加場(chǎng)中．如圖5所示.

圖5 導(dǎo)體球電荷等效分布

設(shè)電荷間斥力為正,則由庫(kù)侖定律得,點(diǎn)電荷Q受到的電場(chǎng)力為

F=kQ(Q0+q)r2-kQq(r-d)2.

(2)

代入d與q得

F=kQQ0r2-kQ2R3(2r2-R2)r3(r2-R2)2.

(3)

該式第1項(xiàng)F1為斥力,第2項(xiàng)F2為引力,如果我們?cè)O(shè)點(diǎn)電荷Q=nQ0,而點(diǎn)電荷到球心的距離r=mR, 其中m、n取任意值,則(3)式中斥力項(xiàng)與引力項(xiàng)的比值為

代入不同數(shù)值可以得到表1.

表1 m、n取不同值是兩者作用力的引力項(xiàng)與斥力項(xiàng)數(shù)值之比

表1中小于1的數(shù)據(jù)說(shuō)明斥力小于引力,點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球間作用力表現(xiàn)為引力,而大于1的數(shù)據(jù)表明斥力大于引力,點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球間作用力表現(xiàn)為斥力．這說(shuō)明點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球間表現(xiàn)出的靜電作用力并不再是異性電荷吸引,同性電荷相互排斥的作用規(guī)律,具體情況還要取決于兩者的距離和它們的電荷量關(guān)系．這是因?yàn)楫?dāng)r→R時(shí),(3)式中第二項(xiàng)吸引力的數(shù)值大于第一項(xiàng),因此即使Q與Q0同號(hào),只要Q距離導(dǎo)體球足夠近,它受到導(dǎo)體球的作用力就可能為引力．這是由于靜電感應(yīng)作用,雖然導(dǎo)體球凈電荷量為正電,但在導(dǎo)體球靠近點(diǎn)電荷的一側(cè)可能出現(xiàn)異號(hào)電荷．當(dāng)兩項(xiàng)相等時(shí)兩者間作用力為0,即

kQQ0r2=kQ2R3(2r2-R2)r3(r2-R2)2，

整理得

Q0Q=R3(2r2-R2)r(r2-R2)2.

通過(guò)計(jì)算得到表2.

表2 點(diǎn)電荷Q到球心距離取不同值時(shí)庫(kù)侖作用力為0時(shí)兩者電荷量關(guān)系

導(dǎo)體球與點(diǎn)電荷間的作用力為0的點(diǎn)是引力與斥力轉(zhuǎn)變的分界點(diǎn),而這個(gè)位置是與兩個(gè)帶電體的電荷量關(guān)系和距離關(guān)系決定的．

前面題目的分析中把導(dǎo)體球表面電荷的不均勻分布認(rèn)為是點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球表面電荷的庫(kù)侖作用造成的,隨著點(diǎn)電荷的靠近,這種等效得到的結(jié)論是作用力僅僅會(huì)由于等效距離變化造成大小變化,不會(huì)發(fā)生方向的變化(即引力與斥力的轉(zhuǎn)變);但實(shí)際上這種電荷的不均勻分布是導(dǎo)體球上均勻分布的原電荷與不均勻分布的感應(yīng)電荷疊加后的效果,因此它們之間的電場(chǎng)力應(yīng)該是這兩種電荷作用的合力,它可能最后表現(xiàn)為引力也可能表現(xiàn)為斥力,甚至在某一位置力的作用為0．

除此之外,我們還在有些學(xué)習(xí)資料上看到用兩個(gè)導(dǎo)體球帶同性等量電荷或是異性電荷時(shí)作用力的大小比較,[3]分析過(guò)程與開(kāi)始題目的分析方法類似,結(jié)論也是有條件的．因?yàn)閮蓚€(gè)帶電導(dǎo)體球間的相互作用更復(fù)雜,需要進(jìn)行無(wú)限次鏡像電荷等效進(jìn)行討論．只有在兩球體半徑相同,并帶等量同性電荷時(shí)作用力將恒為斥力,等量異號(hào)電荷時(shí)作用力將恒為引力,否則,兩球之間的作用力將會(huì)出現(xiàn)引力,零,斥力的復(fù)雜變化過(guò)程．[4]

因此,等效法的應(yīng)用雖然容易理解,但是不可以任意推廣,一定要清楚等效背后的物理實(shí)質(zhì)，以免推廣出錯(cuò)誤結(jié)論．教師在日常教學(xué)中也應(yīng)該對(duì)這些問(wèn)題嚴(yán)加推敲,對(duì)于有條件性的結(jié)論應(yīng)該進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)說(shuō)明和論證,避免學(xué)生形成一些有局限性的認(rèn)識(shí)和結(jié)論．

1 郭鴻碩.電動(dòng)力學(xué)(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2008: 53-56.

2 物理選修3-1[M].北京：人民教育出版社，2010: 5-7.

3 李國(guó)宇，李奕斌等.課堂導(dǎo)學(xué)與針對(duì)訓(xùn)練(中冊(cè))[M].北京：中國(guó)言實(shí)出版社，2011：5.

4 歐紅葉，胡先權(quán).兩個(gè)帶電導(dǎo)體球之間相互作用力的計(jì)算[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003(2)：6.

2016-10-05)