曾 劍,劉 云,甄葦葦

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

關(guān)于一類熱傳導(dǎo)方程的間斷擴散系數(shù)的穩(wěn)定方法

曾 劍,劉 云,甄葦葦

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

考慮了一類利用終端觀測值反演熱傳導(dǎo)方程中間斷擴散系數(shù)的反問題, 此類問題無論是在理論討論還是在實際應(yīng)用中都有極其重要的研究意義。相較于擴散系數(shù)連續(xù)的文獻(xiàn), 間斷的情形鮮有文獻(xiàn)涉足,由于控制泛函非凸,一般來說沒有唯一性,在假設(shè)T比較小的情況下,證明了極小元的唯一性和穩(wěn)定性。

熱傳導(dǎo)方程;間斷擴散系數(shù);非凸;穩(wěn)定性;唯一性

通常擴散系數(shù)可作為表征擴散的一個參量，它不僅與擴散機構(gòu)也與擴散介質(zhì)和外部條件有關(guān)。在許多實際問題中,擴散物質(zhì)可以在多種介質(zhì)中傳播,擴散系數(shù)在介質(zhì)交界面處是不連續(xù)的。

本文考慮一類特殊的擴散系數(shù)的反問題,這里的擴散系數(shù)可能是間斷的。具體的數(shù)學(xué)模型如下:

(1)

其中：f和φ是兩個給定的光滑函數(shù)且滿足如下條件

(2)

在a>0的情況下,假設(shè)φ(x)一致滿足齊次Neumann邊界條件。

函數(shù)a(x)在x=ε上有第一類間斷點,即a(ε+0)=a(ε-0)。在間斷線上滿足如下的聯(lián)結(jié)條件

(3)

假設(shè)給定如下的附加條件：

(4)

其中：g(x)是一個已知函數(shù)。利用條件(1)/條件(4)來同時確定u和a。

鑒于不適定問題的研究是偏微分方程的一個重要分支[1-2]。許多學(xué)者針對類似于條件(1)/條件(3)的問題求解做了大量的研究工作[3-8],該問題的難度在于擴散系數(shù)的不連續(xù)和問題的不適定。文獻(xiàn)[3-4]中作者運用最優(yōu)控制理論框架反演了方程ut-a(x)uxx+b(x)ux+c(x)u=f(x,t),(x,t)∈Q中的首項系數(shù)a(x)。而對于反演方程中源項f=f(x)的情況可參見文獻(xiàn)[5]。文獻(xiàn)[6]利用觀測數(shù)據(jù)從數(shù)值計算的角度對拋物型方程中未知源項的反演問題做了研究。文獻(xiàn)[8]研究了一類時間分?jǐn)?shù)階擴散方程的源項反演問題。

目前,國內(nèi)外對一般拋物型方程的系數(shù)反演問題的研究成果已經(jīng)很多[3-8],但是對拋物型方程的間斷系數(shù)識別問題還很少。主要難點在于問題的強不適定性(定解數(shù)據(jù)的微小變化將導(dǎo)致解的巨大變化),完全非線性性(盡管本文的方程是線性的,但反問題是完全非線性的)以及系數(shù)的間斷性。由于附加數(shù)據(jù)偏少,很難得到最優(yōu)解的唯一性。本文利用Tikhonov正則化方法,在優(yōu)化理論的基礎(chǔ)上將一個強不適定問題轉(zhuǎn)化為一個適定問題,然后證明了極小元的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。

1 最優(yōu)化問題

由于問題是嚴(yán)重不適定的,故將原系數(shù)反演問題轉(zhuǎn)化為如下的一個優(yōu)化控制問題。

(5)

其中

(6)

(7)

u(x,t;a)是對應(yīng)于任意給定的系數(shù)a(x)∈Α,方程(1)的解;N是正則化參數(shù),α、β是兩個給定的正數(shù)。

首先,對正問題做一些討論。

(8)

引理1.1[9]當(dāng)u(x,t)是方程(8)的解且a(x)∈A是一個給定的函數(shù)時,對u(x,t)有如下的估計:

其中C是常數(shù)。

另外,要求觀測數(shù)據(jù)g(x)滿足

g(x)∈L2(0,l)。

(9)

顯然,由條件(9)及引理1.1可知,對任意的a∈A,控制泛函(6)是適定的。

2 存在性

3 必要條件

定理3.1 令a是最優(yōu)控制問題(5)的極小元,則存在三元函數(shù)組(u,v;a)滿足下面條件：

(10)

(11)

且

(12)

對任意h∈A都成立。

4 局部唯一性與穩(wěn)定性

由于最優(yōu)控制問題P1是非凸的,一般地,無法得到它的唯一解。但是,在本節(jié)中證明了當(dāng)T相對較小時,極小元具有局部唯一性和局部穩(wěn)定性。

引理4.1[9]對方程(10)有如下估計式:

引理4.2[9]對方程(11)有如下估計式:

引理4.3[7]對任意有界連續(xù)函數(shù)k(x)∈C(0,l),有

其中x0是(0,l)中的一個固定點。

令u1-u2=U,v1-v2=V,a1-a2=I。則U和V滿足

(13)

(14)

引理4.4 對方程(13)有如下的估計式成立：

(15)

這里C與T無關(guān)。

證明: 由方程(13),當(dāng)0

(16)

分部積分,得到

(17)

即

(18)

這里用到了聯(lián)結(jié)條件和邊界條件。

由Gronwall不等式及式(18),得到

引理4.4證畢。

引理4.5 對方程(14)有如下估計式

(19)

這里C與T無關(guān)。

(引理4.5的證明與引理4.4的證明過程類似,此處略。)

證明:在式(12)中,當(dāng)a=a1時取h=a2,而當(dāng)a=a2時取h=a1,于是有

(20)

(21)

由式(20)及式(21)可得

(22)

由定理的假設(shè)知存在一點x0∈(0,l)使得

I(x0)=a1(x0)-a2(x0)=0。

(23)

由引理4.3及式(23)有

(24)

由式(22)、式(24)及cauchy不等式,并利用估計式(15)和式(19),有

由引理4.1和引理4.2得

(26)

由式(23)～式(26)有

(27)

選擇T<<1使得

(28)

聯(lián)立式(27)和式(28)可得

定理4.1證畢。

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Stable Method for Discontinuous Diffusion Coefficient in Class of Heat Conduction Equations

ZENGJian,LIUYun,ZHENWeiwei

(LanzhouJiaotongUniversity,LanZhou730070,China)

Thispaperstudiesaninverseproblemofidentifyingthediscontinuousdiffusioncoefficientinaclassofheatconductionequationsfromthefinalobservation,whichisofgreatsignificancebothintheoryandpractice.Beingdifferentfromordinarycontinuousdiffusioncoefficientproblems,documentsconcernedthediscontinuouscaseareratherfew.Sincethecontrolfunctionalisnon-convex,theuniquenessoftheoptimalsolutioncannotbeguaranteed.AssumingthatTisrelativelysmall,itisprovedthattheminizerisuniqueandstable.

heatconductionequations;discontinuousdiffusioncoefficient;non-convex;stability;uniqueness

2016-11-01

曾劍(1991-),男,貴州畢節(jié)人,在讀碩士研究生,主要從事數(shù)學(xué)物理反問題方面的研究.

國家自然科學(xué)基金(11461039)

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.01.021

O

A

1674-5403(2017)01-0080-04