孟麗君

（蘭州財經(jīng)大學(xué)長青學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

獨立學(xué)院微積分教學(xué)改革的研究與實踐
——基于M·克萊因的數(shù)學(xué)教育思想

孟麗君

（蘭州財經(jīng)大學(xué)長青學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

本文對我國獨立學(xué)院微積分教學(xué)現(xiàn)狀和出現(xiàn)的問題進(jìn)行了分析，根據(jù)M·克萊因的教學(xué)思想，得出了獨立學(xué)院微積分教學(xué)改革的啟示，通過融入數(shù)學(xué)史等方式，使學(xué)生們喜歡微積分，并滲透到自己所學(xué)專業(yè)領(lǐng)域，達(dá)到教學(xué)相長、學(xué)以致用的目的.

獨立學(xué)院；M·克萊因；教學(xué)改革

獨立學(xué)院是近10多年來中國高等教育辦學(xué)體制改革創(chuàng)新的重要成果，為發(fā)展民辦高等教育事業(yè)、促進(jìn)高等教育大眾化做出了積極貢獻(xiàn).隨著獨立學(xué)院的迅速發(fā)展，招生規(guī)模的擴大，一些關(guān)于獨立學(xué)院的教學(xué)改革問題越來越受到學(xué)者們的關(guān)注.微積分這門課程幾乎是所有專業(yè)學(xué)生的基礎(chǔ)必修課，對學(xué)生們能否更好的學(xué)習(xí)專業(yè)課程發(fā)揮著重要作用.筆者針對獨立學(xué)院的微積分教學(xué)改革進(jìn)行了一些研究.

1 我國獨立學(xué)院微積分教學(xué)現(xiàn)狀和出現(xiàn)的問題分析

1.1 獨立學(xué)院微積分教學(xué)現(xiàn)狀

本人借鑒參考文獻(xiàn)[1]的調(diào)查問卷成果，說明我國獨立學(xué)院微積分教學(xué)現(xiàn)狀.調(diào)查的對象是獨立學(xué)院的學(xué)生（按照三本線招生的學(xué)生），人數(shù)是300人左右，主要是會計、金融和市場營銷等經(jīng)濟管理類的專業(yè)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果可以得出我國獨立學(xué)院微積分的教學(xué)現(xiàn)狀有：

1.獨立學(xué)院一半以上的學(xué)生（約58.1%）認(rèn)為自己初高中數(shù)學(xué)學(xué)的不好，與此相對應(yīng)的是一半以上的學(xué)生（約86.67%）都重視微積分的學(xué)習(xí).由調(diào)查結(jié)果可以看出，學(xué)生們還是非常重視微積分學(xué)習(xí)，但重視微積分學(xué)習(xí)的原因上述論文并沒有提到，根據(jù)筆者近幾年的教學(xué)經(jīng)驗以及和一些學(xué)生的交流，可以看出學(xué)生之所以重視微積分課程的學(xué)習(xí)，并不是因為對微積分課程的興趣，而僅僅是為了應(yīng)付學(xué)校的考試，或為了考研考試，一旦考試通過，這門課程通常也無人問津了，這與我們的教育初衷是嚴(yán)重違背的.

2.獨立學(xué)院63%的學(xué)生認(rèn)為學(xué)校定的微積分教材偏難，僅6%的學(xué)生認(rèn)為學(xué)校所選用的微積分教材還可以.出現(xiàn)這樣的原因是大多數(shù)獨立學(xué)院用的教材和一些重點高校和二本高校用的教材一樣，尤其和獨立學(xué)校自身的母校的教材一致，但并沒有考慮到學(xué)生的基礎(chǔ)是不一樣的.由于學(xué)校成立的時間并不是很長，從而專門針對獨立學(xué)院的優(yōu)秀教材并不是很多.而且學(xué)生們在教材中并沒有看到微積分的知識與自己所學(xué)的專業(yè)有關(guān)系，認(rèn)為自己所學(xué)的東西沒用，從而失去了學(xué)習(xí)的動力.

3.獨立學(xué)院的大多數(shù)學(xué)生對于教師上課的內(nèi)容表示不太理解，尤其是微積分的一些概念不能很好的理解.導(dǎo)致這些現(xiàn)象的原因是中國高校教育這些年來連續(xù)擴招，高校教育由以前的精英式教育逐漸向大眾化教育轉(zhuǎn)移，而我國微積分的教學(xué)要求仍然以過去的教學(xué)要求為主要參考，而且一些獨立院校的教師（尤其是母校的老師），上課的內(nèi)容與母校上課內(nèi)容幾乎一致，從而使許多學(xué)生無法達(dá)到教學(xué)要求.

1.2 存在的問題分析

由以上獨立學(xué)院微積分教學(xué)現(xiàn)狀的分析，得出我國獨立學(xué)院微積分教學(xué)出現(xiàn)的問題主要集中在以下三個方面：

1.獨立學(xué)院的學(xué)生們雖然很重視微積分的學(xué)習(xí)，但是學(xué)習(xí)的目的多數(shù)是為了應(yīng)付考研考試或者期末考試，學(xué)習(xí)缺乏主動性以及積極性.學(xué)生們在學(xué)習(xí)微積分過程中更加重視考試要求的一些計算能力以及定理的理論證明，而忽略了微積分一些思維方法以及用微積分解決實際問題的能力.

2.獨立學(xué)院學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時所使用的教材不太適合獨立學(xué)院學(xué)生的學(xué)習(xí)，雖然我國現(xiàn)有微積分教材很多，但這些微積分教材內(nèi)容大同小異，更多強調(diào)的是嚴(yán)格理論分析以及突顯出計算的重要性，而忽略了微積分學(xué)習(xí)在實際問題中的應(yīng)用，更加沒與學(xué)生所學(xué)專業(yè)聯(lián)系起來，從而學(xué)生們雖然重視微積分的學(xué)習(xí)，但卻缺少微積分學(xué)習(xí)的興趣.上述問題不僅是獨立學(xué)院學(xué)生面臨的問題，而是我國高校普遍面臨的問題.

3.獨立學(xué)院的教師在教導(dǎo)學(xué)生的時候，往往采用傳統(tǒng)的教學(xué)模式，而且許多獨立學(xué)院因為經(jīng)費問題，數(shù)學(xué)教師在給學(xué)生上課時采用的教學(xué)設(shè)施也是傳統(tǒng)的黑板，使的本來就緊張的數(shù)學(xué)課時變得更加緊張.教師在上課時注重的是數(shù)學(xué)知識理論講解以及一些計算題的講解，而往往忽略微積分一些概念產(chǎn)生的原因，以及忽略微積分?jǐn)?shù)學(xué)知識在現(xiàn)實中的作用，或者說學(xué)生無法將所學(xué)的微積分知識與自己專業(yè)聯(lián)系起來，從而逐漸失去微積分學(xué)習(xí)的興趣.

2 M·克萊因的思想簡介

M·克萊因(Morris Kline,1908-1992)是美國著名的數(shù)學(xué)教育家、應(yīng)用數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家.他一生多數(shù)時間從事美國高校數(shù)學(xué)研究與教學(xué)工作，并且將數(shù)學(xué)知識用于實踐，獲得了多項發(fā)明專利（無線電工程方面）.M·克萊因的許多著作，對美國微積分教學(xué)改革產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，其代表作有：《古今數(shù)學(xué)思想》、《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》、《西方文化中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)：一種文化探索》等，其中《古今數(shù)學(xué)思想》是一部介紹從古代直至20世紀(jì)初數(shù)學(xué)發(fā)展的最全面和最權(quán)威的著作，被稱作“現(xiàn)有的最好的一本數(shù)學(xué)史”.M·克萊因的數(shù)學(xué)教育思想對美國數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，研究他的教育思想以及教育理念將對我國數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有借鑒意義，也為獨立學(xué)院微積分教學(xué)提供了一些參考.

2.1 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最佳動力是學(xué)生的興趣

M·克萊因認(rèn)為興趣對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有重要的作用，為了激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，每個老師都應(yīng)該成為一個演員，他們在課堂上可以幽默一點，甚或是行為古怪一點，用一些玩笑或故事活躍課堂氣氛，從而激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.M·克萊因?qū)⒓ぐl(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣作為教學(xué)思想中的四個思想之一.M·克萊因指出老師們在講授數(shù)學(xué)知識點時應(yīng)將其放入歷史背景中，數(shù)學(xué)史可以十分有效的提高學(xué)生們對數(shù)學(xué)的熱情.通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，使學(xué)生們知道數(shù)學(xué)僅是人類的一種文化活動，每個數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)概念背后，都有其產(chǎn)生的背景，有許多數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私鉀Q相關(guān)問題涉及到的一些數(shù)學(xué)故事，甚至是遇到的一些問題，這樣學(xué)生們就會知道并不是僅僅自己在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中有困難，數(shù)學(xué)家們在研究這些數(shù)學(xué)問題時也會遇到問題，也是經(jīng)歷了艱苦和漫長的過程，從而使學(xué)生們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中遇到挫折時，不會灰心喪氣，而失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

以微積分中極限的概念為例，這個概念非常的抽象，對于剛?cè)雽W(xué)的、基礎(chǔ)不太好的獨立學(xué)院大一新生接受這個概念確實有些困難，作為一名教師，除了盡可能的講解此概念，方便學(xué)生們對極限概念的理解，還要講解一下關(guān)于極限概念的發(fā)展簡史，使學(xué)生們不要畏懼這個概念，更不要因為一時理解不了這個概念而徹底放棄這門學(xué)科.極限概念的起源可以追溯到16世紀(jì)初期，隨著生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展，大量現(xiàn)實問題出現(xiàn)，例如求瞬時速度、曲線的切線斜率、曲線的弧長以及大量物理問題等，有了極限概念，但極限概念并不是我們今天教材上講的嚴(yán)格的極限定義，而僅僅在極限的描述上，因為常量思維的影響，無法準(zhǔn)確定義出極限.到了17世紀(jì)，由于極限概念沒有嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)，微積分曾一度無法繼續(xù)發(fā)展，許多學(xué)者對于牛頓的推斷進(jìn)行攻擊，牛頓當(dāng)時也確實無法解釋推導(dǎo)過程的矛盾：“無窮小”位于分母時，有時運算的需要把無窮小量看做是0，而分母為0無意義這也是不爭的事實，無窮小量到底是0還是非0是當(dāng)時許多數(shù)學(xué)家討論的焦點.直到17世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家約翰瓦里斯提出了變量極限的概念，將極限的本質(zhì)展示出來，從而促進(jìn)了微積分的進(jìn)一步發(fā)展.在講微積分極限的概念時，穿插相關(guān)的歷史背景，使學(xué)生們了解有些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生是非常波折的，即使一些數(shù)學(xué)家也會遇到困難，僅極限的概念就經(jīng)歷了一個多世紀(jì)才在數(shù)學(xué)家的努力下有了嚴(yán)格意義的表達(dá)，到了19世紀(jì)，由數(shù)學(xué)家柯西比較完整的給出了極限的概念，維爾斯特拉斯則用數(shù)學(xué)的語言將其表述出來，也是現(xiàn)在微積分教材中通用的概念表述.通過對微積分極限概念簡史的闡述，使學(xué)生們了解到極限的概念不是單純的抽象符號的描述，其產(chǎn)生是有原因的，而且即使數(shù)學(xué)家在建立此概念時也出現(xiàn)了許多挫折，從而學(xué)生們不會因為一時理解不了就對微積分產(chǎn)生畏懼心理，一些小故事的加入也可以引起學(xué)生們學(xué)習(xí)微積分的興趣，從而利于教學(xué)活動.

2.2 教師在教育過程中必須為所教課程提供目的和動機

M·克萊因指出無論以何種方法為激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，教師在教育過程中必須為所教課程提供目的和動機.在實踐教學(xué)活動中，我們發(fā)現(xiàn)單純的講授一些數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)概念，學(xué)生們感覺數(shù)學(xué)枯燥乏味，覺得離自己的生活很遠(yuǎn)，而且微積分中有些數(shù)學(xué)概念理解起來是非常困難得，從而學(xué)生們慢慢失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，這點非常不利于學(xué)生們對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，更加不要說對數(shù)學(xué)的發(fā)展.

以無窮積分概念為例，如果單純從無窮積分概念開始講解無窮積分章節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生們往往覺得無窮積分內(nèi)容抽象，不好理解，而且覺得根本沒有用處.在教學(xué)過程中，不妨加入有名的芝諾悖論的例子，或者伯努力遇到的難題“巴塞爾難題”，在講解這些歷史難題時，可以使學(xué)生知道學(xué)習(xí)無窮積分是有原因的，它可以幫助數(shù)學(xué)家們解決一些難題，從而學(xué)生們就有了學(xué)習(xí)的目的和動機.

2.3 數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)時遇到的困難也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難

M·克萊因指出歷史上數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)時遇到的困難，也是學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時遇到的障礙，從而數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南.從微積分?jǐn)?shù)學(xué)史可以看出，即使創(chuàng)立微積分的大數(shù)學(xué)家牛頓和萊布尼茨，他們也沒用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯以及語言創(chuàng)立微積分；即使上文提到的極限的概念，也經(jīng)歷了許多數(shù)學(xué)家的持續(xù)努力以及很長的時間才用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言表述出來，于此類似的例子還有很多，本文不一一贅述.因此，M·克萊因并不主張教學(xué)過程中過分追求嚴(yán)格的邏輯性，他認(rèn)為對數(shù)學(xué)問題的直覺性比其邏輯性要成功得多.

在M·克萊因的微積分教材中，他指出為了便于教學(xué)，很多情況下故意“錯誤地開始”，以使學(xué)生認(rèn)識到正確的方法和證明只有在經(jīng)歷了摸索后才會產(chǎn)生.“通過錯誤地開始”，使學(xué)生們知道數(shù)學(xué)的定義以及定理是在數(shù)學(xué)家的敏銳直覺基礎(chǔ)之上建立的，而不是憑空出現(xiàn)的，也不會總是正確的.以無窮級數(shù)斂散性概念為例，交錯級數(shù)1-1+1-1+…求和在17—18世紀(jì)引起了許多爭論，一種觀點認(rèn)為一種觀點認(rèn)為；還有一種觀點認(rèn)為從而.以上三種結(jié)論曾是17—18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們爭論的作法，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱蓑炞C自己的結(jié)論，用的是不同的數(shù)學(xué)方法以及找的不同的例子，通過上述簡史的介紹，引導(dǎo)學(xué)生們無窮級數(shù)分成斂散性的必要性，從而再給學(xué)生們介紹級數(shù)斂散性的概念時，學(xué)生們不會一時的錯誤而失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，而且可以提高學(xué)生們探究數(shù)學(xué)問題的興趣.

2.4 學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程應(yīng)與數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程類似

M·克萊因指出教師的任務(wù)應(yīng)該讓孩子的思維經(jīng)歷祖先相應(yīng)的經(jīng)歷，迅速的通過某些階段但不跳過任何階段，由此可以看出，數(shù)學(xué)史是我們的指南.在微積分的教學(xué)活動中，我們通常是按照教材編寫的順序給學(xué)生們講授，展示給學(xué)生更多的是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)以及數(shù)學(xué)邏輯，這無疑與我們的認(rèn)知過程不同，認(rèn)知事物的過程開始都是通過直觀的方式建立起來的，而最初數(shù)學(xué)家們也是通過直觀的思維思考問題，然后慢慢演繹出嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯和一些相關(guān)推導(dǎo).

仍然以前文提到的微積分中極限的概念為例，克萊因指出數(shù)學(xué)史的順序是學(xué)習(xí)微積分的好向?qū)В⒎e分的開始不應(yīng)含有ε-δ語言，這種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)應(yīng)該在更高級的微積分中再出現(xiàn).克萊因主張函數(shù)極限的ε-δ定義應(yīng)在學(xué)完一元和多元微積分后，即在微積分的最后學(xué)習(xí)中學(xué)習(xí)函數(shù)極限ε-δ定義，然后用ε-δ語言再重新定義連續(xù)性、可導(dǎo)性、定積分等概念.這種學(xué)習(xí)順序正是微積分?jǐn)?shù)學(xué)史的發(fā)展順序，微積分是許多數(shù)學(xué)家們在敏銳的直覺基礎(chǔ)上，再加上為解決一些現(xiàn)實問題發(fā)展出來的，直到19世紀(jì)，柯西才在極限思想的基礎(chǔ)上整理出微積分.所以，不論是學(xué)生們學(xué)習(xí)微積分的過程還是教材編寫的順序，最好與數(shù)學(xué)史的順序一致，這樣學(xué)生們才可以一步步領(lǐng)略數(shù)學(xué)一些概念定理出現(xiàn)的原因，可以激發(fā)學(xué)生們的探知遇，激發(fā)學(xué)生們的興趣，從而提高微積分的學(xué)習(xí)效率.

3 M·克萊因的思想對獨立學(xué)院微積分教學(xué)改革的啟示

由上文中我國獨立學(xué)院微積分教學(xué)出現(xiàn)的問題主要有：獨立學(xué)院的學(xué)生們對于微積分學(xué)習(xí)缺乏主動性以及積極性；獨立學(xué)院學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時所使用的教材更多強調(diào)的是嚴(yán)格理論分析以及突顯出計算的重要性，不適合獨立學(xué)院的學(xué)生學(xué)習(xí)；獨立學(xué)院的教師在教導(dǎo)學(xué)生采用傳統(tǒng)的教學(xué)模式，不利于提高上課效率.結(jié)合M·克萊因的思想，本人對獨立學(xué)院微積分教學(xué)改革提出如下建議：

3.1 講授微積分教學(xué)內(nèi)容時穿插一些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容.M·克萊因思想的內(nèi)容之一是提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而在實踐教學(xué)活動中獨立學(xué)院微積分教學(xué)出現(xiàn)的問題之一正是學(xué)生們對微積分學(xué)習(xí)缺少興趣，而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣最有效的方式就是數(shù)學(xué)史的介紹.通過數(shù)學(xué)史的介紹，使學(xué)生們了解到一些數(shù)學(xué)家們在解決數(shù)學(xué)問題時也會摔跤，從而使學(xué)生們對于學(xué)好微積分建立信心；通過數(shù)學(xué)史的介紹，使學(xué)生們知道微積分的產(chǎn)生是有其實際背景的，不是一門僅僅是從定義到定義或定理到定理的科學(xué)，從而認(rèn)識到微積分確實是一門非常實用的科學(xué)，從而慢慢的喜歡接受這種思維，甚至可以用這種思維去解決自己專業(yè)的一些問題；通過數(shù)學(xué)史的介紹，使學(xué)生們的認(rèn)知過程與數(shù)學(xué)史發(fā)展過程類似，有利于梳理微積分的一些理論內(nèi)容，從而加深所學(xué)知識的印象.

3.2 在講授微積分課程時找尋一本適合獨立學(xué)院學(xué)生的教材.M·克萊因思想的最后內(nèi)容為學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程應(yīng)與數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程類似，這點最好通過使用的教材來滿足，現(xiàn)有的微積分教材更多的微積分嚴(yán)格的定義以及一些定理的展示，通常都在其嚴(yán)密的推導(dǎo)下進(jìn)行的，這點恰恰不符合M·克萊因思想關(guān)于認(rèn)知過程的看法，最好找尋一本按照微積分史發(fā)展過程編寫的教材，這樣的教材有利于學(xué)生們的認(rèn)知過程.

3.3 在講授微積分課程時需要教師改變傳統(tǒng)的教學(xué)觀點、改變教學(xué)模式.（1）教學(xué)觀點的改變，對于微積分教師傳統(tǒng)的要求更多的是專業(yè)知識的熟悉，要清楚每個定義和定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表述，以及定理的嚴(yán)格的邏輯證明等等.但對于獨立學(xué)院學(xué)生而言，要求教師的更多的是讓學(xué)生們感覺到他們多學(xué)的微積分知識確實是有實際用處的，可以幫助他們解決一些實際問題甚或是專業(yè)方面的問題，使學(xué)生們真正喜歡上這門課程，這就需要教師們改變傳統(tǒng)教學(xué)觀點，在課程中加入一些微積分發(fā)展史，加入一些數(shù)學(xué)家們?yōu)榻鉀Q問題所遇到的困難，當(dāng)然能再加入用微積分知識解決學(xué)生們相關(guān)的專業(yè)問題則更好；（2）教學(xué)模式的改變，對于微積分教師傳統(tǒng)的教學(xué)模式基本上就是粉筆和黑板的運用，但如果在課堂上要展示一些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，或是微積分的一些應(yīng)用問題，課堂時間是非常緊張的，建議在課堂上加入一些多媒體的運用，例如展示一些數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，或微積分的一些現(xiàn)實應(yīng)用，用多媒體給同學(xué)們展示一下，這樣可以提高課堂效率，也使學(xué)生們對自己所學(xué)知識有了更深刻的認(rèn)識.

4 結(jié)束語

隨著獨立學(xué)院的迅速發(fā)展，如何使獨立學(xué)院學(xué)生學(xué)好微積分這門課程，M·克萊因為我們提供了新的思路，教師們可以參考M·克萊因的一些做法進(jìn)行教學(xué)改革，改變傳統(tǒng)的教學(xué)觀點，按照微積分發(fā)展史的順序組織教學(xué)，并融入一些數(shù)學(xué)史，展示微積分解決的一些現(xiàn)實問題，開闊學(xué)生們的視野，提高學(xué)生們對微積分的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生們真正喜歡微積分這門課程，然后慢慢滲透到自己所學(xué)專業(yè)領(lǐng)域，這才是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的最終目的.

〔1〕杜聰慧.經(jīng)管類微積分教學(xué)與創(chuàng)新思路[J].大學(xué)教育，2015（10）：114–116．

〔2〕莫京蘭.獨立學(xué)院經(jīng)管類專業(yè)微積分教學(xué)改革的探索[J].價值工程，2013（18）：229–240．

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〔5〕莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊）[M].朱學(xué)賢，申又棖，葉其孝等譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2003．

〔6〕莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）[M].鄧東皋，張恭慶譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2006.

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