劉揚(yáng),何先平
(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)
一類常利率下帶干擾的雙險種風(fēng)險模型
劉揚(yáng),何先平
(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)
討論了一類常利率下帶干擾、保單收取次數(shù)為復(fù)合Poisson過程、保險賠付次數(shù)服從負(fù)二項分布的風(fēng)險模型,運(yùn)用鞅方法和盈余過程的性質(zhì)得到了破產(chǎn)概率的表達(dá)式和Lundberg不等式。
風(fēng)險模型;破產(chǎn)概率;鞅;Poisson過程
瑞典精算師Filip Lundberg于1903年首次將Poisson過程引入破產(chǎn)理論研究,時至今日,破產(chǎn)理論日益豐富,已成為一門應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來描述和研究保險公司經(jīng)營的重要學(xué)科。經(jīng)典風(fēng)險模型[1,2]用常數(shù)速率考慮保費的收取問題,但實際生活中無論是保費的到達(dá)還是險種的賠付往往是隨機(jī)的,所以有必要將經(jīng)典的風(fēng)險模型加以推廣。文獻(xiàn)[3]引入了廣義雙險種模型,但未考慮利率因素對模型的影響。文獻(xiàn)[4]加入了利率因素,但沒考慮市場通貨膨脹及保險公司本身的不確定因素形成的干擾。文獻(xiàn)[5]引入了隨機(jī)擾動項對模型的影響,文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步將模型推廣到常利率下帶干擾的風(fēng)險模型,但單位時間內(nèi)保費的收入為常數(shù),文獻(xiàn)[7]豐富了保費收入,建立了保費收入和理賠均為復(fù)合Poisson過程的風(fēng)險模型。筆者將單一險種推廣為雙險種,為考慮干擾項和常利率因素,假設(shè)保費收取次數(shù)為Poisson過程,理賠次數(shù)符合負(fù)二項分布,建立了常利率下帶干擾的雙險種風(fēng)險模型,最終求解出新模型的破產(chǎn)概率表達(dá)式和Lundberg不等式。
設(shè)u≥0 ,以下隨機(jī)變量都定義在給定的概率空間(Ω,F(xiàn),P) 上,建立風(fēng)險模型:
式中,U(t),S(t)分別表示保險公司在時刻t的盈余與盈利;u為保險公司的初始資本;c為常數(shù),是保險公司單位時間內(nèi)收取的保費;常數(shù)i表示利率;M(t)表示在[0,t]內(nèi)收到的保單總數(shù),且服從參數(shù)為λt的Poisson分布;Nj(t)(j=1,2)分別表示第j險種在[0,t]內(nèi)發(fā)生的理賠次數(shù),且分別服從參數(shù)為(t,pj)(0
定義1T=inf{t|U(t)<0}為破產(chǎn)時刻,若對任意t≥0,均有U(t)≥0,即破產(chǎn)不會發(fā)生,記T=∞。則在初始資金為u的條件下,保險公司的最終破產(chǎn)概率為:
ψ(u)=P{T<∞|U(0)=u}
為保證公司穩(wěn)定經(jīng)營,要求單位時間內(nèi)平均保費收入大于平均理賠額,即:
引理1 盈利過程{S(t),t=0,1,2,…}具有平穩(wěn)獨立增量。
定理1 對于盈利過程{S(t),t=0,1,2,…} ,存在函數(shù)g(r),使得E[e-rS(t)]=etg(r)。
證明 因為:
=etg(r)
所以:
其中,MX(-r)、MY(r)、MZ(r)分別為Xi、Yi、Zi的矩母函數(shù)。
定理2 方程g(r)=0在(0,+∞)存在唯一的正解R,稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。
證明 由于:
因為g″(r)>0,所以曲線g(r)在r>0內(nèi)是上凹的,g′(r)在r>0內(nèi)單調(diào)遞增,且:
又因為r→+∞時,g′(r)→+∞,所以存在r1∈(0,+∞),使得g′(r1)=0,從而g(r1)為g(r)在(0,+∞)上的極小值。
又因為g(0)=0,r→∞時,g(r)→∞,所以g(r)=0在(0,+∞)存在唯一的正解R。
定理3 對于盈利過程{S(t),t≥0},定義事件域:
令:
證明 對于任意t1∈[0,t],由定理1有:
=Mu(t1)
定理4 在風(fēng)險過程{U(t),t≥0}下,設(shè)R為調(diào)節(jié)系數(shù),則最終破產(chǎn)概率為:
證明
E{exp}[-rU(t)]}=E{exp[-rU(t)]|T≤t}P(T≤t)
+E{exp[-rU(t)]|T>t}P(T>t)
(1)
因為:
所以式(1)左端可以寫為:
由定理2,取r=R,有g(shù)(R)=0,E[e-RU(t)]=e-Ru(1+i),則式(1)變?yōu)椋?/p>
e-Ru(1+i)=E[e-RU(t)|T≤t]P(T≤t)+E[e-RU(t)|T>t]P(T>t)
(2)
又因為:
U(t) =U(T)+(U(t)-U(T))
所以式(2)右端第1項:
E[e-RU(t)|T≤t]P(T≤t)
=E[e-RU(T)+(t-T)g(R)|T≤t]P(T≤t)=E[e-RU(T)|T≤t]P(T≤t)
因為:
E{exp[-RU(t)]|T>t}P(T>t)=E[e-RU(t)·I(T>t)]≤E[e-RU(t)·I(U(t)>0)]
式中,I(T>t)為{T>t}的示性函數(shù)。
又因為0≤e-RU(t)·I(U(t)>0)≤1,故由強(qiáng)大數(shù)定律可得:
由Lebesgue控制收斂定理得:
于是當(dāng)t→∞時,式(2)可化簡為:
e-Ru(1+i)=E{exp[-RU(t)]|T≤t}ψ(u)
即:
推論1 在上述風(fēng)險過程{U(t),t≥0}下,最終破產(chǎn)概率ψ(u)符合Lundberg不等式,即ψ(u)≤exp[-Ru(1+i)],e-Ru(1+i)為ψ(u)的Lundberg上界。
在經(jīng)典風(fēng)險模型的基礎(chǔ)上,加入了利率因素和通貨膨脹、管理者自身等不確定因素造成的擾動項,最終得到了新模型的破產(chǎn)概率一般表達(dá)式及破產(chǎn)概率上界,加深和豐富了風(fēng)險模型的討論。但隨著保險業(yè)的發(fā)展,險種類別愈加多樣化,險種不僅局限在相互獨立的狀態(tài)下,還出現(xiàn)了相關(guān)聯(lián)的情況。今后該模型可在險種間的保費到達(dá)過程、索賠到達(dá)過程及干擾項的相關(guān)性問題上做出進(jìn)一步改進(jìn),實現(xiàn)可以為風(fēng)險預(yù)警和控制提供重要指標(biāo)、更加貼近現(xiàn)實需要的風(fēng)險模型。
[1]GrandellJ.AspectsofRiskTheory[M] .NewYork:SpringerVerlag, 1991.
[2] 蔣志明, 王漢興. 一類多險種風(fēng)險過程的破產(chǎn)概率[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報, 2001,14 (1):9~16.
[3] 郭立娟, 劉冬元. 一類廣義雙險種二項風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2007, 27 (4):49~52.
[4] 陳奕含,楊璐. 一類帶干擾的離散風(fēng)險模型[J]. 佳木斯大學(xué)學(xué)報, 2015,33(1):140~141.
[5] 陳鳳麗, 施齊焉. 一類雙險種風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率研究[J]. 福州大學(xué)數(shù)學(xué)報, 2012, 40 (4):449~452.
[6] 呂偉春, 陳新美. 常利率下帶干擾的雙險種風(fēng)險模型[J]. 湖南文理學(xué)院學(xué)報, 2010, 22 (1):7~9.
[7] 贠小青. 帶干擾的泊松風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率及推廣[J]. 統(tǒng)計與決策, 2013,373(1):18~21.
[編輯] 洪云飛
2016-09-27
國家自然科學(xué)基金項目(60873021/F0201)。
劉揚(yáng)(1986-),女,碩士生,現(xiàn)主要從事數(shù)理統(tǒng)計、風(fēng)險模型方面的研究工作。
何先平(1964-),男,碩士,教授,現(xiàn)主要從事數(shù)理統(tǒng)計方面的教學(xué)與研究工作,hxp@yangtzeu.edu.cn。
O211.6
A
1673-1409(2017)01-0036-04
[引著格式]劉揚(yáng),何先平.一類常利率下帶干擾的雙險種風(fēng)險模型[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版),2017,14(1):36~39.