劉敏，呂一兵，陳忠

(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

線性半向量二層規(guī)劃問題樂觀最優(yōu)解的極點檢驗方法

劉敏，呂一兵，陳忠

(長江大學信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023)

針對線性半向量二層規(guī)劃問題的特殊結(jié)構(gòu)，首先采用標量化技術(shù)將上述線性半向量二層規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一般的二層單目標規(guī)劃問題，然后采用以下層問題的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件代替原問題的方法將其轉(zhuǎn)化為含互補約束的優(yōu)化問題，并取互補約束為罰項，構(gòu)造相應的罰問題，同時分析罰問題最優(yōu)解的性質(zhì)，最后基于罰問題最優(yōu)解的性質(zhì)設(shè)計了線性半向量二層規(guī)劃問題“樂觀最優(yōu)解”的極點檢驗方法。

半向量二層規(guī)劃；罰函數(shù)；極點；樂觀最優(yōu)解

考慮如下線性半向量二層規(guī)劃問題，

(1)

其中，x∈Rn,y∈Rm,b∈Rp,A1∈Rp×n,A2∈Rp×m,c∈Rn,c′∈Rm,D∈Rl×m。在上述半向量二層規(guī)劃問題中，其下層問題：

(2)

為包含上層決策變量x的線性多目標優(yōu)化問題。因此，對于給定的上層決策變量x，下層問題以有效解集或者弱有效解集的形式反饋給上層。由于下層問題的有效解集或者弱有效解集中的元素一般不是唯一的，這就意味著半向量二層規(guī)劃問題本質(zhì)上屬于下層有不唯一最優(yōu)解的一類二層規(guī)劃問題。對于下層有不唯一最優(yōu)解的二層規(guī)劃問題，其最優(yōu)解定義一般采用“樂觀最優(yōu)解”或者“悲觀最優(yōu)解”[1,2]。筆者考慮上述問題(1)的“樂觀最優(yōu)解”，即考慮如下線性半向量二層規(guī)劃問題：

(3)

半向量二層規(guī)劃最早由Bonnel 和Morgan在文獻[3]中提出，近年來逐步引起了國內(nèi)外研究者的關(guān)注。在線性半向量二層規(guī)劃問題(3)的“樂觀最優(yōu)解”的研究方面，呂一兵和萬仲平[4]以下層問題的互補約束為罰項，構(gòu)造了罰問題并通過分析罰問題最優(yōu)解的相關(guān)性質(zhì)，設(shè)計了該類半向量二層規(guī)劃問題的“樂觀最優(yōu)解”的全局優(yōu)化算法；Ankhili和Mansouri[5]以下層問題的邊緣函數(shù)為罰項，構(gòu)造了相應的罰問題，證明了罰函數(shù)的精確性并給出了罰函數(shù)算法；Zheng和Wan[6]將上層目標函數(shù)估計值與下層問題的邊緣函數(shù)同時作為罰項，提出了一種包含2個罰因子的罰函數(shù)方法，同時證明了罰函數(shù)的精確性；Calvete和Galve[7]將該類半向量二層規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為非凸約束域上的優(yōu)化問題，并分別設(shè)計了Kth-算法及遺傳算法，同時給出了數(shù)值實驗結(jié)果；最近，Ren和Wang[8]將其轉(zhuǎn)化為含對偶間隙約束條件的單層優(yōu)化問題，構(gòu)造出對偶間隙指標函數(shù)并取其為罰項，得到了相應的罰問題，證明了罰函數(shù)的精確性并設(shè)計了罰函數(shù)算法；另外，Lv和Wan[9]首先將該類半向量二層規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為非光滑優(yōu)化問題，然后采用松弛技術(shù)逼近原問題的可行域，最后設(shè)計了求解原問題近似最優(yōu)解的算法。下面，筆者針對線性半向量二層規(guī)劃問題的特殊結(jié)構(gòu)，采用標量化技術(shù)將上述線性半向量二層規(guī)劃問題(3)轉(zhuǎn)化為一般的二層單目標規(guī)劃問題，構(gòu)造了相應的罰問題，通過分析罰問題最優(yōu)解的相關(guān)性質(zhì)設(shè)計了線性半向量二層規(guī)劃問題“樂觀最優(yōu)解”的極點檢驗方法。

1 相關(guān)定義及理論結(jié)果

記S={(x,y)|Ax+By≤b,x≥0,y≥0}為問題(3)的約束域，同時對于給定的上層決策變量x，記S(x)為下層問題(2)的弱有效解集。

定義1 若點(x,y)∈IR={(x,y)|(x,y)∈S,y∈S(x)}，則稱(x,y)為問題(3)的可行解。

定義2 點(x*,y*)∈IR為問題(3)的局部最優(yōu)解, 如果存在(x*,y*)的某個鄰域U，使得對任意的(x,y)∈IR∩U,有cx+c′y≤cx*+c′y*。

為了確保所討論的問題存在最優(yōu)解，假設(shè)下列條件成立：

(A)問題(3)的可行域IR為非空緊集。

因此，問題(3)可以轉(zhuǎn)化為：

(4)

在上述問題(4)中，以下層問題的最優(yōu)性條件代替下層問題，可以將問題(4)轉(zhuǎn)化為：

(5)

其中，u∈Rp,v∈Rm為Lagrange乘子。

問題(5)為帶互補約束的線性規(guī)劃問題，考慮將互補約束uT(b-A1x-A2y)=0,vTy=0作為罰項加入到上層目標函數(shù)，得到如下罰問題：

(6)

下面將分析問題(6)的最優(yōu)解的相關(guān)性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計相應的求解算法。

記：

Z={(x,y)|A1x+A2y≤b,x≥0,y≥0}

且Zv,Wv分別表示集合Z,W的頂點集。

定理1 假設(shè)給定(λ,u,v)∈W以及罰因子K，問題：

(7)

的某個最優(yōu)解(x*,y*)可在集合Z的頂點處取得，即(x*,y*)∈Zv。

證明 對于給定的(λ,u,v)∈W以及罰因子K，問題(7)為線性規(guī)劃問題。顯然，問題(7)的某個最優(yōu)解(x*,y*)∈Zv。證畢。

由定理1可以得到如下定理2。

定理2對于某個罰因子K，罰問題(6)的某個最優(yōu)解(x*,y*,λ*,u*,v*)可在其可行域的頂點處取得，即(x*,y*,λ*,u*,v*)∈Zv×Wv。

證明 假設(shè)(x*,y*)∈Zv為問題(6)的某個最優(yōu)解。對于問題(6)，由于其目標函數(shù)cx+c′y-K(uT(b-A1x-A2y)+vTy)為(λ,u,v)的線性函數(shù)，且W為多面體，則下列線性規(guī)劃問題：

其某個最優(yōu)解(λ*,u*,v*)必可在可行域W的頂點處取得，即 (λ*,u*,v*)∈Wv。證畢。

上述2個定理表明，罰問題(6)的最優(yōu)解可以在其可行域的某個頂點處取得。下面將證明在罰問題(6)的最優(yōu)解處，其罰項為零。

證明 假設(shè)(x*,y*,λ*)為問題(4)的最優(yōu)解，則存在Lagrange乘子u*∈Rp,v*∈Rm，使得問題(4)的下層問題的最優(yōu)性條件滿足，即:

-(λ*)TD+(u*)TA2-(v*)T=0 (u*)T(b-A1x*-A2y*)=0 (v*)Ty*=0

假設(shè)點(xk,yk,λk,uk,vk)為問題(6)的最優(yōu)解，則有：

簡單運算后可得：

基于上述定理1、定理2和定理3，可以設(shè)計如下求解線性半向量二層規(guī)劃問題“樂觀最優(yōu)解”的極點搜索算法。

2 算法

算法步驟如下：

步1 將線性半向量二層規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為問題(5)，同時采用相關(guān)方法求出Z和W的頂點集Zv,Wv。

步2 選擇點(x,y,λ,u,v)∈Zv×Wv，且滿足uT(b-A1x-A2y)=0以及vTt=0。

步3 將步1中得到的候選點分別帶入上層目標函數(shù)，同時比較目標函數(shù)的值得到相應的最優(yōu)解。

3 算例

為了說明算法的實現(xiàn)過程，考慮如下半向量二層規(guī)劃問題[10]，文獻中其最優(yōu)解為(x,y,z)=(3,0,0)。

求出集合Z和W的頂點集：

Zv={(3,0,1),(1,0,2),(3,0,0),(0,1,2),(0,3,0)}

在上述頂點集中，選擇使得互補條件uT(b-A1x-A2y)+vTy=0滿足的組合。

將上述滿足條件的頂點組合帶入目標函數(shù)并比較大小可知，頂點(x,y,z)=(3,0,0)為上述線性半向量二層規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

上述算例表明，筆者設(shè)計的極點檢驗方法對求解線性半向量二層規(guī)劃問題是可行的。

4 結(jié)語

利用線性半向量二層規(guī)劃問題的特殊結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)造罰問題并分析其“樂觀最優(yōu)解”的相關(guān)性質(zhì)設(shè)計了求解其“樂觀最優(yōu)解”的極點檢驗方法。簡單的算例表明，所設(shè)計的算法是可行的。值得指出的是，筆者提出的算法依賴于多面體頂點的有效獲取。然而，目前如何有效的獲得多面體的全部頂點依然是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。倘若能夠有效的獲得多面體的全部頂點，那么所設(shè)計的算法將具有良好的計算前景。

[1]DempeS.Foundationsofbilevelprogramming[M].London:KluwerAcademicPublishers,2002.

[2]滕春賢,李智慧. 二層規(guī)劃的理論與應用 [M].北京: 科學出版社,2002.

[3]BonnelH,MorganJ.Semivectorialbileveloptimizationproblem:Penaltyapproach[J].JournalofOptimizationTheoryandApplications, 2006, 31(3): 365～382.

[4]呂一兵，萬仲平. 線性半向量二層規(guī)劃問題的全局優(yōu)化方法[J]. 運籌學學報，2015, 19(2):29～36.

[5]AnkhiliZ,MansouriA.Anexactpenaltyonbilevelprogramswithlinearvectoroptimizationlowerlevel[J].EuropeanJournalofOperationalResearch, 2009, 197(1):36～41.

[6]ZhengY,WanZM.Asolutionmethodforsemivectorialbilevelprogrammingproblemviapenaltymethod[J].JournalofAppliedMathematicsandComputing, 2011(37):207～219.

[7]CalveteHI,GaleC.Onlinearbilevelproblemswithmultipleobjectivesatthelowerlevel[J].Omega, 2011, 39(1):33～40.

[8]RenAH,WangYP.Anovelpenaltyfunctionmethodforsemivectorialbilevelprogrammingproblem[J].AppliedMathematicsModelling, 2016(40):135～149.

[9]LvYB,WanZM.Asolutionmethodfortheoptimisticlinearsemivectorialbileveloptimizationproblem[J].JournalofInequalitiesandApplications,2014:164.

[10]CalveteHI,GaleC.Onlinearbilevelproblemswithmultipleobjectivesatthelowerlevel[J].Omega, 2011(39):33～40.

[編輯] 洪云飛

2016-11-16

國家自然科學基金項目(11201039)。

劉敏(1979-)，女，碩士生，現(xiàn)主要從事最優(yōu)化理論與算法方面的研究工作。

呂一兵(1979-)，男，博士，教授，現(xiàn)主要從事最優(yōu)化理論與算法方面的教學與研究工作,30950045@qq.com。

O224

A

1673-1409(2017)01-0001-04

[引著格式]劉敏，呂一兵，陳忠.線性半向量二層規(guī)劃問題樂觀最優(yōu)解的極點檢驗方法[J].長江大學學報(自科版)，2017,14(1)：1～4.