余小英，李凡生，周采宜

（1.廣西民族師范學院 物理與電子工程學院，廣西 崇左532200；2.廣西師范大學 物理科學與技術學院，廣西 桂林 541004）

打陀螺運動是一項少數民族傳統(tǒng)體育運動項目。陀螺的樣式五花八門，圖1所示的平頭陀螺為少數民族傳統(tǒng)體育運動會比賽用陀。對打陀螺運動的研究主要是從體育學的角度研究打陀螺技術的特點和分析陀螺技術的動作結構［1-3］，也有學者在其文化作用和健身作用方面做研究［4-5］。從物理學角度研究探討陀螺，主要集中在陀螺儀方面，如微機械陀螺儀［6］、光纖陀螺儀［7］和振動陀螺儀［8］。

圖1 平頭陀螺

打陀螺比賽中的防守和進攻姿勢繁多，技術的運用五花八門，但不管是何種技術的運用都離不開陀螺的本質——旋轉時間長和打得準。其中陀螺的旋轉時間取決于陀螺轉動的初速度。陀螺在旋轉的時候，不但圍繞本身的軸線轉動，而且還圍繞一個垂直軸作錐形運動。也就是說，陀螺一面圍繞本身的軸線作“自轉”，一面圍繞垂直軸作“公轉”。陀螺圍繞自身軸線作“自轉”運動速度的快慢，決定著陀螺擺動角的大小。轉得越慢，擺動角越大，穩(wěn)定性越差；轉得越快，擺動角越小，因而穩(wěn)定性也就越好。但在實際的打陀螺運動中，陀螺在轉動過程中要克服與地面之間的摩擦力做功。陀螺轉動的初動能為為陀螺的轉動慣量，轉動的初始角速度。在具有相同的轉動初動能和相同的地面狀況下，底錐張角對陀螺的穩(wěn)定性是否有影響？采用極限法來思考：陀螺正常時是可以靠慣性轉動，因為陀螺尖端接觸地面幾乎為一個點，阻力作用效果很小，需要較長時間才能停下來；陀螺倒過來，底錐朝上，阻力作用效果很明顯，幾乎不可能靠慣性繼續(xù)轉動。這一上一下的區(qū)別就在于陀螺的底錐張角不同，是否有一個合適的角度，使得陀螺轉動最穩(wěn)定？筆者帶著這個疑問，通過制作不同規(guī)格的陀螺及其轉速控制裝置，研究底錐張角對陀螺轉動穩(wěn)定性的影響。

1 陀螺及其轉速控制裝置的設計與制作

1.1 陀螺的制作

1.1.1 制作材料與用具

制作陀螺的材料是半徑不同的圓柱狀尼龍棒和鐵釘以及鐵板，使用到的工具有機床、臺鉆、打磨儀、量角器、電子秤、直尺、游標卡尺和螺絲批。常見的陀螺通常是木質的，筆者采用尼龍棒作為材料，主要是尼龍棒有比較規(guī)則的形狀且在加工的過程中不易出現開裂的情況。

1.1.2 制作過程

為了探究影響陀螺底錐張角對陀螺旋轉穩(wěn)定的影響，設計了制作質量相同但底錐張角不同的陀螺，陀螺底錐張角設計的角度范圍是50°～140°，角度間隔 10°。

陀螺的制作過程：1.利用電子秤、直尺和游標卡尺等工具測量出尼龍棒的密度備用；2.切出7cm長的尼龍棒，在機床上設定底錐張角的角度，把尼龍棒放在機床上制作底錐張角為50°～140°的陀螺；3.設定陀螺質量，根據標準值切割掉多余的質量，切割出相同質量的尼龍棒（計算切割質量的方法，利用步驟1計算出的密度來求取切割長度）。

為了方便研究，筆者用同一尼龍棒制作質量相同而底錐張角不同的陀螺。為了避免陀螺底錐尖端過快磨損，在陀螺底錐用臺鉆打了一個小孔，然后再旋入小陀釘。因為控制陀螺旋轉的初速度的系統(tǒng)是利用電磁鐵吸附陀螺旋的，所以還必須在陀螺的頂部安裝一塊與陀身半徑相同的鐵塊（如圖2所示）。最后加工出來的陀螺如圖3所示。

圖2 實驗陀螺示意圖

圖3 陀螺成品

1.2 陀螺轉速控制裝置的設計與制作

研究不同底錐張角對陀螺穩(wěn)定性的影響，就要對陀螺的初始轉動速度進行控制。筆者設計并制作了如圖4（a）所示陀螺轉速控制系統(tǒng)裝置，它的主要部分是電磁鐵，通電給電磁鐵就可以把帶有鐵塊的陀螺吸住，由電動機帶動電磁鐵旋轉，電磁鐵斷電后即可釋放陀螺。

裝置實物如圖4（b）所示，裝置構成包括一個280w的可調轉速的電動機、2個皮帶輪、1根皮帶、14V的電磁鐵、可調學生電源、2個相同同的軸承、2個大小相同的軸承座、1根長度為50cm軸（塑料水管）、支架（由1.2m的槽鋼2根、60cm的槽鋼2根和50cm槽鋼2根焊接而成）和HT-4200型非接觸式數字手持式轉速表。若干螺母組裝而成。

圖4 陀螺轉速控制裝置

在制作這個裝置的過程中，電磁鐵的連線是一個技術難關：接在電磁鐵上的導線必須能隨著電磁鐵一起轉動，但其供電電源卻是固定的，如果直接連線是行不通的，這就需要用電刷。但在實際制作中，筆者發(fā)現電刷的制作比較麻煩，且容易出現導電不良的現象。

如圖5所示，利用金屬軸承內外層實現電刷功能，電磁鐵的兩個接線柱分別和兩個金屬軸承的內層相連（轉動軸是塑料水管制成，連接導線可以從水管內穿過），金屬軸承的外層與電磁鐵的電源相連。因為金屬軸承的外層與內層接觸是較為緊密的，當控制電磁鐵電源通斷就可以控制電磁鐵磁性的有無，從而實現陀螺的吸附或釋放。這一動作不會受到電磁鐵轉動的影響。

2 陀螺穩(wěn)定性影響的實驗研究

陀螺圍繞自身軸線作“自轉”速度的快慢，決定陀螺穩(wěn)定性，轉得越快，穩(wěn)定性越好。陀螺轉動的能量損失主要用來克服摩擦力做功，能量損失越多，轉動的時間越短，因此，可以通過比較相同情況下陀螺的轉動時間來比較其穩(wěn)定性。為了方便比較，筆者選用旋轉半徑相同，不同底錐張角的陀螺來進行實驗。陀螺質量為190g，鐵塊的質量為86.2g，半徑為3.1cm。

由圖2可知，陀螺可以分為鐵塊、陀身和底錐三部分，則整體的陀螺等于這三部分對中心軸的轉動慣量之和，由理論公式知：

鐵塊的轉動慣量為

陀身的轉動慣量為

底錐的轉動慣量為

則

其中，R為鐵塊、陀身和底錐的半徑，ρ為尼龍棒的密度，h2和h3為陀身和底錐的高度，將上文陀螺制作過程中實驗步驟1得到的實驗數據代入以上各式可算得各個陀螺的轉動慣量，具體數據如表1。

表1 質量相同底錐張角不同陀螺的轉動慣量

從表1表可知，當旋轉半徑相同的情況下，質量相同而底錐張角不同陀螺的轉動慣量相差不多。根據陀螺轉動的動能計算公式可知，當陀螺具有相同的轉動初速度時，其轉動的初動能大致相等。因此可以通過研究質量相同而底錐張角不同陀螺的轉動時長來研究其穩(wěn)定性。

為了研究底錐張角是否對陀螺轉動的穩(wěn)定性有影響，筆者把質量均為277.6g角度為50°～140°的陀螺吸附在電磁鐵下面，打開電動機，帶動電磁鐵旋轉，調節(jié)電動機轉速，利用HT-4200型非接觸式數字手持式轉速表測量時電磁鐵轉速，確保陀螺獲得相同的轉動初速度。待電磁鐵轉動穩(wěn)定時，斷開電磁鐵的電源開關，釋放陀螺。用秒表記錄得各個陀螺在同一地面的旋轉時間。由實驗得底錐為50°～70°的陀螺獲得相同的初速度時掉落地面立即倒下，無法旋轉，其他底錐張角的陀螺旋轉時間如表2所示。利用測量數據作底錐張角與平均時間的關系圖如圖6所示。

從表2和圖6中可以得到這樣的結論：相同旋轉半徑的陀螺的穩(wěn)定性與其底錐張角有關；在相同的初速度旋轉的陀螺，底錐張角與陀螺旋轉時間存在非線性關系，陀螺的旋轉時間在底錐張角為130°附近取得最大值。

3 研究結果分析

從所得的數據分析可知，底錐張角能影響陀螺的穩(wěn)定性，陀螺底錐張角在130°附近時陀螺的穩(wěn)定性最佳。在相同的速度旋轉和相近的轉動慣量，陀螺底錐張角的角度越小，陀螺的穩(wěn)定性越弱。造成這一現象的原因是：在質量相同的情況下，底錐張角越小的陀螺的重心距離地面越高，底錐張角越大的陀螺的重心距離地面越低，如圖7所示。

表2 質量相同底錐張角不同的陀螺旋轉時間陀螺初速度100r/min

圖6 底錐張角——平均時間關系圖

圖7 陀螺重心位置示意圖

根據陀螺運動原理，當其轉速不足時，陀螺將會出現擺動，這時底錐張角小的陀螺的重力矩大于底錐張角大的陀螺的重力矩，所以底錐張角小的陀螺容易翻倒。而底錐張角過大，陀螺旋轉時間也會減少，雖然它們的重心距離地面的高度低，重力矩影響較小，但是這個底錐張角的陀螺，與地面接觸面積大，壓力的作用效果不明顯，陀螺可以在地面四處游動，除了要克服轉動過程中的摩擦力做功之外，還要克服平移時的摩擦力做功，損耗更多的動能，使得陀螺旋轉的時間減少。陀螺的轉動過程中，與地面的任意接觸點摩擦力，都可以看作一種滑動摩擦。陀螺底錐張角越大，陀螺與地面的接觸面積越大，阻力相對于轉動中心的力矩越大，陀螺就越難轉動，且一旦陀螺出現擺動，阻力矩的作用就更明顯。這也正是文章前言所述“陀螺倒過來，底錐朝上，陀螺幾乎不可能靠慣性繼續(xù)轉動”的原因所在。

［1］宋衛(wèi).陀螺技術分類與動作結構分析［J］.遼寧體育科技，2014（5）：101-104.

［2］余剛.少數民族傳統(tǒng)體育競技項目——陀螺技術及特點分析［J］.貴州民族學院學報：哲學社會科學版，2009（2）：130-132.

［3］胡慶華.陀螺運動技戰(zhàn)術變遷與發(fā)展研究［J］.湖北民族學院學報：哲學社會科學版，2013（5）：156-160.

［4］文展.白褲瑤“打陀螺”引入中小學體育教學的意義［J］.科技信息：科學教研，2007（27）：154+215.

［5］趙波，劉麗蓉.有趣的陀螺運動［J］.當代貴州，2010（15）：51.

［6］李新剛，袁建平.微機械陀螺的發(fā)展現狀［J］.力學進展，2003（3）：17-18+24.

［7］周海波，劉建業(yè)，賴際舟，等.光纖陀螺儀的發(fā)展現狀［J］.南京航空航天大學，2005（6）：1-3.

［8］李博，楊擁軍，徐永青，等.一種集成式硅 MEMS 振動陀螺儀［J］.中國電子科技集團公司，2013（8）：501-505.