余小英，李凡生，周采宜

（1.廣西民族師范學院 物理與電子工程學院，廣西 崇左532200；2.廣西師范大學 物理科學與技術(shù)學院，廣西 桂林 541004）

打陀螺運動是一項少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運動項目。陀螺的樣式五花八門，圖1所示的平頭陀螺為少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運動會比賽用陀。對打陀螺運動的研究主要是從體育學的角度研究打陀螺技術(shù)的特點和分析陀螺技術(shù)的動作結(jié)構(gòu)［1-3］，也有學者在其文化作用和健身作用方面做研究［4-5］。從物理學角度研究探討陀螺，主要集中在陀螺儀方面，如微機械陀螺儀［6］、光纖陀螺儀［7］和振動陀螺儀［8］。

圖1 平頭陀螺

打陀螺比賽中的防守和進攻姿勢繁多，技術(shù)的運用五花八門，但不管是何種技術(shù)的運用都離不開陀螺的本質(zhì)——旋轉(zhuǎn)時間長和打得準。其中陀螺的旋轉(zhuǎn)時間取決于陀螺轉(zhuǎn)動的初速度。陀螺在旋轉(zhuǎn)的時候，不但圍繞本身的軸線轉(zhuǎn)動，而且還圍繞一個垂直軸作錐形運動。也就是說，陀螺一面圍繞本身的軸線作“自轉(zhuǎn)”，一面圍繞垂直軸作“公轉(zhuǎn)”。陀螺圍繞自身軸線作“自轉(zhuǎn)”運動速度的快慢，決定著陀螺擺動角的大小。轉(zhuǎn)得越慢，擺動角越大，穩(wěn)定性越差；轉(zhuǎn)得越快，擺動角越小，因而穩(wěn)定性也就越好。但在實際的打陀螺運動中，陀螺在轉(zhuǎn)動過程中要克服與地面之間的摩擦力做功。陀螺轉(zhuǎn)動的初動能為為陀螺的轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)動的初始角速度。在具有相同的轉(zhuǎn)動初動能和相同的地面狀況下，底錐張角對陀螺的穩(wěn)定性是否有影響？采用極限法來思考：陀螺正常時是可以靠慣性轉(zhuǎn)動，因為陀螺尖端接觸地面幾乎為一個點，阻力作用效果很小，需要較長時間才能停下來；陀螺倒過來，底錐朝上，阻力作用效果很明顯，幾乎不可能靠慣性繼續(xù)轉(zhuǎn)動。這一上一下的區(qū)別就在于陀螺的底錐張角不同，是否有一個合適的角度，使得陀螺轉(zhuǎn)動最穩(wěn)定？筆者帶著這個疑問，通過制作不同規(guī)格的陀螺及其轉(zhuǎn)速控制裝置，研究底錐張角對陀螺轉(zhuǎn)動穩(wěn)定性的影響。

1 陀螺及其轉(zhuǎn)速控制裝置的設(shè)計與制作

1.1 陀螺的制作

1.1.1 制作材料與用具

制作陀螺的材料是半徑不同的圓柱狀尼龍棒和鐵釘以及鐵板，使用到的工具有機床、臺鉆、打磨儀、量角器、電子秤、直尺、游標卡尺和螺絲批。常見的陀螺通常是木質(zhì)的，筆者采用尼龍棒作為材料，主要是尼龍棒有比較規(guī)則的形狀且在加工的過程中不易出現(xiàn)開裂的情況。

1.1.2 制作過程

為了探究影響陀螺底錐張角對陀螺旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定的影響，設(shè)計了制作質(zhì)量相同但底錐張角不同的陀螺，陀螺底錐張角設(shè)計的角度范圍是50°～140°，角度間隔 10°。

陀螺的制作過程：1.利用電子秤、直尺和游標卡尺等工具測量出尼龍棒的密度備用；2.切出7cm長的尼龍棒，在機床上設(shè)定底錐張角的角度，把尼龍棒放在機床上制作底錐張角為50°～140°的陀螺；3.設(shè)定陀螺質(zhì)量，根據(jù)標準值切割掉多余的質(zhì)量，切割出相同質(zhì)量的尼龍棒（計算切割質(zhì)量的方法，利用步驟1計算出的密度來求取切割長度）。

為了方便研究，筆者用同一尼龍棒制作質(zhì)量相同而底錐張角不同的陀螺。為了避免陀螺底錐尖端過快磨損，在陀螺底錐用臺鉆打了一個小孔，然后再旋入小陀釘。因為控制陀螺旋轉(zhuǎn)的初速度的系統(tǒng)是利用電磁鐵吸附陀螺旋的，所以還必須在陀螺的頂部安裝一塊與陀身半徑相同的鐵塊（如圖2所示）。最后加工出來的陀螺如圖3所示。

圖2 實驗陀螺示意圖

圖3 陀螺成品

1.2 陀螺轉(zhuǎn)速控制裝置的設(shè)計與制作

研究不同底錐張角對陀螺穩(wěn)定性的影響，就要對陀螺的初始轉(zhuǎn)動速度進行控制。筆者設(shè)計并制作了如圖4（a）所示陀螺轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)裝置，它的主要部分是電磁鐵，通電給電磁鐵就可以把帶有鐵塊的陀螺吸住，由電動機帶動電磁鐵旋轉(zhuǎn)，電磁鐵斷電后即可釋放陀螺。

裝置實物如圖4（b）所示，裝置構(gòu)成包括一個280w的可調(diào)轉(zhuǎn)速的電動機、2個皮帶輪、1根皮帶、14V的電磁鐵、可調(diào)學生電源、2個相同同的軸承、2個大小相同的軸承座、1根長度為50cm軸（塑料水管）、支架（由1.2m的槽鋼2根、60cm的槽鋼2根和50cm槽鋼2根焊接而成）和HT-4200型非接觸式數(shù)字手持式轉(zhuǎn)速表。若干螺母組裝而成。

圖4 陀螺轉(zhuǎn)速控制裝置

在制作這個裝置的過程中，電磁鐵的連線是一個技術(shù)難關(guān)：接在電磁鐵上的導線必須能隨著電磁鐵一起轉(zhuǎn)動，但其供電電源卻是固定的，如果直接連線是行不通的，這就需要用電刷。但在實際制作中，筆者發(fā)現(xiàn)電刷的制作比較麻煩，且容易出現(xiàn)導電不良的現(xiàn)象。

如圖5所示，利用金屬軸承內(nèi)外層實現(xiàn)電刷功能，電磁鐵的兩個接線柱分別和兩個金屬軸承的內(nèi)層相連（轉(zhuǎn)動軸是塑料水管制成，連接導線可以從水管內(nèi)穿過），金屬軸承的外層與電磁鐵的電源相連。因為金屬軸承的外層與內(nèi)層接觸是較為緊密的，當控制電磁鐵電源通斷就可以控制電磁鐵磁性的有無，從而實現(xiàn)陀螺的吸附或釋放。這一動作不會受到電磁鐵轉(zhuǎn)動的影響。

2 陀螺穩(wěn)定性影響的實驗研究

陀螺圍繞自身軸線作“自轉(zhuǎn)”速度的快慢，決定陀螺穩(wěn)定性，轉(zhuǎn)得越快，穩(wěn)定性越好。陀螺轉(zhuǎn)動的能量損失主要用來克服摩擦力做功，能量損失越多，轉(zhuǎn)動的時間越短，因此，可以通過比較相同情況下陀螺的轉(zhuǎn)動時間來比較其穩(wěn)定性。為了方便比較，筆者選用旋轉(zhuǎn)半徑相同，不同底錐張角的陀螺來進行實驗。陀螺質(zhì)量為190g，鐵塊的質(zhì)量為86.2g，半徑為3.1cm。

由圖2可知，陀螺可以分為鐵塊、陀身和底錐三部分，則整體的陀螺等于這三部分對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，由理論公式知：

鐵塊的轉(zhuǎn)動慣量為

陀身的轉(zhuǎn)動慣量為

底錐的轉(zhuǎn)動慣量為

則

其中，R為鐵塊、陀身和底錐的半徑，ρ為尼龍棒的密度，h2和h3為陀身和底錐的高度，將上文陀螺制作過程中實驗步驟1得到的實驗數(shù)據(jù)代入以上各式可算得各個陀螺的轉(zhuǎn)動慣量，具體數(shù)據(jù)如表1。

表1 質(zhì)量相同底錐張角不同陀螺的轉(zhuǎn)動慣量

從表1表可知，當旋轉(zhuǎn)半徑相同的情況下，質(zhì)量相同而底錐張角不同陀螺的轉(zhuǎn)動慣量相差不多。根據(jù)陀螺轉(zhuǎn)動的動能計算公式可知，當陀螺具有相同的轉(zhuǎn)動初速度時，其轉(zhuǎn)動的初動能大致相等。因此可以通過研究質(zhì)量相同而底錐張角不同陀螺的轉(zhuǎn)動時長來研究其穩(wěn)定性。

為了研究底錐張角是否對陀螺轉(zhuǎn)動的穩(wěn)定性有影響，筆者把質(zhì)量均為277.6g角度為50°～140°的陀螺吸附在電磁鐵下面，打開電動機，帶動電磁鐵旋轉(zhuǎn)，調(diào)節(jié)電動機轉(zhuǎn)速，利用HT-4200型非接觸式數(shù)字手持式轉(zhuǎn)速表測量時電磁鐵轉(zhuǎn)速，確保陀螺獲得相同的轉(zhuǎn)動初速度。待電磁鐵轉(zhuǎn)動穩(wěn)定時，斷開電磁鐵的電源開關(guān)，釋放陀螺。用秒表記錄得各個陀螺在同一地面的旋轉(zhuǎn)時間。由實驗得底錐為50°～70°的陀螺獲得相同的初速度時掉落地面立即倒下，無法旋轉(zhuǎn)，其他底錐張角的陀螺旋轉(zhuǎn)時間如表2所示。利用測量數(shù)據(jù)作底錐張角與平均時間的關(guān)系圖如圖6所示。

從表2和圖6中可以得到這樣的結(jié)論：相同旋轉(zhuǎn)半徑的陀螺的穩(wěn)定性與其底錐張角有關(guān)；在相同的初速度旋轉(zhuǎn)的陀螺，底錐張角與陀螺旋轉(zhuǎn)時間存在非線性關(guān)系，陀螺的旋轉(zhuǎn)時間在底錐張角為130°附近取得最大值。

3 研究結(jié)果分析

從所得的數(shù)據(jù)分析可知，底錐張角能影響陀螺的穩(wěn)定性，陀螺底錐張角在130°附近時陀螺的穩(wěn)定性最佳。在相同的速度旋轉(zhuǎn)和相近的轉(zhuǎn)動慣量，陀螺底錐張角的角度越小，陀螺的穩(wěn)定性越弱。造成這一現(xiàn)象的原因是：在質(zhì)量相同的情況下，底錐張角越小的陀螺的重心距離地面越高，底錐張角越大的陀螺的重心距離地面越低，如圖7所示。

表2 質(zhì)量相同底錐張角不同的陀螺旋轉(zhuǎn)時間陀螺初速度100r/min

圖6 底錐張角——平均時間關(guān)系圖

圖7 陀螺重心位置示意圖

根據(jù)陀螺運動原理，當其轉(zhuǎn)速不足時，陀螺將會出現(xiàn)擺動，這時底錐張角小的陀螺的重力矩大于底錐張角大的陀螺的重力矩，所以底錐張角小的陀螺容易翻倒。而底錐張角過大，陀螺旋轉(zhuǎn)時間也會減少，雖然它們的重心距離地面的高度低，重力矩影響較小，但是這個底錐張角的陀螺，與地面接觸面積大，壓力的作用效果不明顯，陀螺可以在地面四處游動，除了要克服轉(zhuǎn)動過程中的摩擦力做功之外，還要克服平移時的摩擦力做功，損耗更多的動能，使得陀螺旋轉(zhuǎn)的時間減少。陀螺的轉(zhuǎn)動過程中，與地面的任意接觸點摩擦力，都可以看作一種滑動摩擦。陀螺底錐張角越大，陀螺與地面的接觸面積越大，阻力相對于轉(zhuǎn)動中心的力矩越大，陀螺就越難轉(zhuǎn)動，且一旦陀螺出現(xiàn)擺動，阻力矩的作用就更明顯。這也正是文章前言所述“陀螺倒過來，底錐朝上，陀螺幾乎不可能靠慣性繼續(xù)轉(zhuǎn)動”的原因所在。

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