羅小艷++劉偉平

摘要：土水特征曲線（SWCC）用于描述非飽和土中含水量與基質(zhì)吸力的關(guān)系，在非飽和土力學(xué)中具有重要的作用。在SWCC擬合模型中有多個(gè)擬合參數(shù)，各值通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法獲得且具有很大的不確定性。采用貝葉斯理論對(duì)擬合參數(shù)的不確定性進(jìn)行分析，將SWCC擬合參數(shù)作為隨機(jī)變量，采用Van Genuchten模型擬合花崗巖殘積土的土水特征曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)。以馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法的延遲拒絕適應(yīng)性算法獲得模型參數(shù)后驗(yàn)分布抽樣，獲得了不同置信區(qū)間的SWCC及其對(duì)應(yīng)參數(shù)值。

關(guān)鍵詞：貝葉斯理論；土水特征曲線；馬爾可夫鏈蒙特卡羅算法；花崗巖殘積土；置信區(qū)間

中圖分類號(hào)：TU411文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：16744764（2017）01011206

收稿日期：20160916

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（51468041、 51268046）；江西省自然科學(xué)基金（20161BAB203078）；教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)基金（20123601110001）

作者簡(jiǎn)介：羅小艷（1978），女，主要從事巖土工程可靠度研究，（Email）luoxiaoyan2@126.com。

劉偉平（通信作者），男，副教授，（Email）wpliu@126.com。

Received：20160916

Foundation item：National Natural Science Foundation of China （No.51468041， 51268046）； Natural Science Foundation of Jiangxi （No. 20161BAB203078）； PhD Programs Foundation of Ministry of Education of China （No. 20123601110001）

Author brief：Luo Xiaoyan （1978）， main research interest： geotechnical engineering reliability， （Emial） luoxiaoyan2@126.com.

Liu Weiping （corresponding author）， associate professor， （Email） wpliu@126.com.Probabilistic analysis of the soilwater characteristic

curve of granite residual soil

Luo Xiaoyan1，2，3，Liu Weiping1

（1.School of Civil Engineering and Architecture， Nanchang University， Nanchang 330031， P. R. China；

2. School of Civil Engineering and Architecture， Jiangxi Science and Technology Normal University，

Nanchang 330013， P. R. China；3. The University of Newcastle， NSW 2308， Australia）

Abstract：The soilwater characteristic curve（SWCC）could be used to describe the relationship between the water content and the matrix suction in unsaturated soil and played important roles in unsaturated soil mechanics. Several parameters in fitting models and significant uncertainty of SWCC were obtained by experiment. The uncertainty of SWCC fitting parameters was analyzed using the Bayesian theory. The curvefitting parameters were regarded as the random vectors. And the Van Genuchten model was used to fit the experimental data of SWCC for the granite residual soils. The posterior distributions of model fitting parameters were obtained by the Markov Chain Monte Carlo simulation delayed rejection adaptive metropolis. Confidence intervals of uncertain model parameters of SWCC were obtained by proposed approach.

Keywords：bayesian theory； soilwater characteristic curve； markov chain monte carlo； granite residual soils； confidence interval

土水特征曲線（SWCC）描述土中含水量或飽和度與基質(zhì)吸力之間的關(guān)系，可以用來(lái)預(yù)測(cè)非飽和土中的滲透系數(shù)、抗剪強(qiáng)度、體積變化等[13]。由于每個(gè)測(cè)量點(diǎn)需要長(zhǎng)時(shí)間去使基質(zhì)吸力平衡，土水特征曲線試驗(yàn)耗時(shí)很長(zhǎng)。通常只能在有限的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上對(duì)土水特征曲線進(jìn)行擬合。為了有效地預(yù)測(cè)土水特征曲線，不同的土水特征曲線的擬合方法和模型被提出。土水特征曲線廣泛應(yīng)用到非飽和土工程的數(shù)值分析中，SWCC擬合參數(shù)輸入的可靠性直接影響著數(shù)值結(jié)果的正確性。

由于土水特征曲線受影響因素很多，土的種類、試驗(yàn)方法、環(huán)境因素等都會(huì)使土水特征存在明顯的差異性。土水特征曲線的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合參數(shù)也就具有明顯的不確定性。Phoon等 [4]采用四項(xiàng)Hermite展開式對(duì)砂土的土水特征曲線進(jìn)行概率分析。譚曉慧等[5]、徐全等[6]分別對(duì)UNSODA數(shù)據(jù)庫(kù)的非飽和土、合肥非飽和土的土水特征曲線進(jìn)行了概率和敏感性分析。為了分析模型參數(shù)不確定性，擬合參數(shù)可以作為隨機(jī)變量[7]。土水特征曲線的計(jì)算模型參數(shù)不易確定，該模型的預(yù)測(cè)精度嚴(yán)重影響邊坡穩(wěn)定性分析的可靠性。

目前，在巖土工程隨機(jī)分析中，貝葉斯方法主要用于土的抗剪強(qiáng)度[8]、滲流參數(shù)[9]、固結(jié)系數(shù)[10]等問(wèn)題的分析中。利用實(shí)測(cè)土水特征曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合參數(shù)的貝葉斯更新分析還不足。本文基于貝葉斯理論分析花崗巖殘積土土水特征曲線擬合參數(shù)的不確定性，根據(jù)試驗(yàn)測(cè)得的土水特征曲線數(shù)據(jù)獲得了Van Genuchten模型擬合參數(shù)的后驗(yàn)分布。采用馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法的延遲拒絕自適應(yīng)算法進(jìn)行參數(shù)后驗(yàn)分布抽樣，分析土水特征曲線置信區(qū)間，對(duì)模型參數(shù)的不確定性進(jìn)行分析。

1土水特征曲線

對(duì)于土水特征曲線的研究，學(xué)者們提出了多種不同的土水特征曲線模型用于預(yù)測(cè)基質(zhì)吸力與含水率或飽和度的關(guān)系，土中的土水相互作用較為復(fù)雜，且多為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀１疚牟捎肰an Genuchten[11]提出的土水特征曲線模型進(jìn)行分析，Van Genuchten（VG）模型表達(dá)式為θw=θr+（θs-θr）S（1）

S=1[1+（aψ）n]（1-n-1）（2）式中：θw為土體的體積含水率；θs為飽和含水率；θr為殘余含水率；S為飽和度；ψ為土體的基質(zhì)吸力；a、n為曲線擬合參數(shù)，a與進(jìn)氣值相關(guān)參數(shù)；n為當(dāng)基質(zhì)吸力超過(guò)進(jìn)氣值時(shí)土中水流出率相關(guān)參數(shù)。

2貝葉斯方法

貝葉斯理論非常適合應(yīng)用分析巖土工程問(wèn)題，尤其在只能獲得有限數(shù)據(jù)的情況。該理論認(rèn)為任一未知參數(shù)均可以看作成隨機(jī)變量，且具有不確定性，可以用概率分布來(lái)描述。貝葉斯公式可以表示為p（ζ|D）=p（D|ζ）p（ζ）p（D）（3）式中：p（ζ）為參數(shù)先驗(yàn)概率；p（ζ|D）為似然函數(shù)，體現(xiàn)模型輸出與觀測(cè)數(shù)據(jù)的似然度；P（ζ|D）為參數(shù)后驗(yàn)分布；p（D）為概率密度函數(shù)歸化常數(shù)；ζ是不確定輸入?yún)?shù)矢量。

根據(jù)選定的土水特征曲線擬合模型，擬合參數(shù)的不確定性可以通過(guò)貝葉斯理論估計(jì)，將擬合參數(shù)看成隨機(jī)變量ζ。考慮到模型自身和參數(shù)的不確定性以及觀測(cè)誤差，真實(shí)值與模型預(yù)測(cè)值之間存在差值，其可以用一個(gè)誤差參數(shù)ε來(lái)定義，用ε來(lái)代表其不確定性。Sm=S（ζ）+ε（4）式中：Sm是測(cè)量飽和度；S（ζ）為計(jì)算模型的預(yù)測(cè)飽和度；ε代表模型誤差和測(cè)量誤差。

假設(shè)ε符合正態(tài)分布，則ε的概率密度函數(shù)為h（ε）=12πσεexp-（ε-με）22σ2ε（5）式中：με為ε均值，本文取με=0；σ2ε為ε方差。

假設(shè)擬合參數(shù)ζ=[a，n]滿足已知的先驗(yàn)分布p（ζ），根據(jù)貝葉斯公式，則在數(shù)組D中的擬合參數(shù)更新后驗(yàn)分布可以表示為[1213]p（ζ|D）=

c0p（ζ）（2π）-N2σ-Nεexp-N2σ2εJg（ζ|D）（6）式中：c0為歸化常數(shù)；N為測(cè)量記錄點(diǎn)數(shù)；p（ζ）為模型參數(shù)的先驗(yàn)分布，代表主觀判斷；Jg（ζ|D）可以表示為擬合優(yōu)度。Jg（ζ|D）=1NNn=1[Sm（i）-S（ψ；ζ）]2 （7）式中：Sm（i）第i個(gè)測(cè)量點(diǎn)的飽和度；S（ψ；ζ）相對(duì)應(yīng)模型參數(shù)所得到飽和度輸出值。

土水特征曲線擬合參數(shù)的最優(yōu)值可以通過(guò)函數(shù)擬合優(yōu)度最小的方法獲得，也就是后驗(yàn)密度函數(shù)最大時(shí)，最優(yōu)值所對(duì)應(yīng)的誤差方差等于擬合優(yōu)度最小值，即2ε=minJg（ζ|D）=Jg（|D） （8）由于土水特征曲線擬合參數(shù)值具有非負(fù)性，選取擬合參數(shù)ζ的先驗(yàn)分布為對(duì)數(shù)分布[14]。假定擬合參數(shù)之間非相關(guān)，則參數(shù)的先驗(yàn)分布的表達(dá)式為p（ζ）=∏mi=112πζiσlnζiexp-12ln（ζi）-μlnζiσlnζi2（9）式中：m為隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)； μlnζi和 σlnζi分別為隨機(jī)變量對(duì)數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。σlnζi=ln1+σζiμζi2（10）

μlnζi=lnμζi-12σ2lnζi（11）3土水特征曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)

采用GEOExperts應(yīng)力相關(guān)的土水特征曲線壓力儀測(cè)得花崗巖殘積土土樣的土水特征曲線數(shù)據(jù)。該設(shè)備通過(guò)增加或減小基質(zhì)吸力，實(shí)現(xiàn)土樣的脫濕和吸濕過(guò)程，利用高進(jìn)氣值陶土板能夠在空氣和水之間起隔膜作用的特點(diǎn)，可測(cè)量不同吸力范圍的土水特征曲線。試驗(yàn)土樣樣本采集于江西省贛州市于都縣金橋村附近的崩崗區(qū)，其物理性質(zhì)指標(biāo)為：比重2.73、液限40.0%、塑限27.5%、塑性指數(shù)12.5、最大干密度1.76 g/cm3。將通過(guò)2 mm孔徑篩的土樣制成干密度為1.45、1.50、1.55、165 g/cm3的試樣；將分別通過(guò)0.5、1、2 mm孔徑篩的土樣制成干密度為1.60 g/cm3試樣，對(duì)不同干密度和不同顆粒粒徑大小的試樣進(jìn)行土水特征曲線試驗(yàn)。本文使用數(shù)據(jù)來(lái)源于上述七個(gè)土樣的土水特征曲線試驗(yàn)數(shù)據(jù)。試驗(yàn)均采用重塑真空抽氣飽和土樣，所有土樣進(jìn)行一次脫濕試驗(yàn)，基質(zhì)吸力施加值為0、5、25、50、100、200、300、400 kPa。具體試驗(yàn)過(guò)程限于文章篇幅不再展開，試驗(yàn)所得的各土樣飽和度與基質(zhì)吸力關(guān)系數(shù)據(jù)如圖1中數(shù)據(jù)點(diǎn)所示。

圖1最優(yōu)土水特征曲線與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

Fig.1SWCC of optimal parameters and laboratory data4不確定性估計(jì)

基于Van Genuchten擬合模型和前述方法，選取上述花崗巖殘積土土水特征試驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行貝葉斯分析，所得的土水特征曲線模型擬合參數(shù)的最優(yōu)值及相應(yīng)的其他值如表1所示。最優(yōu)值所對(duì)應(yīng)的土水特征曲線及土水特征曲線測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)如圖1所示。圖2為土水特征曲線模型擬合參數(shù)a、n的后驗(yàn)分布，分布的峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)值（=0.016 6，=1.296 7）即為參數(shù)a、n的最優(yōu)值。表1模型擬合參數(shù)的后驗(yàn)分布統(tǒng)計(jì)值

Table 1Summary of statistics of posterior distributionsμaσa μn σn 2ε0.016 60.016 78×10-71.296 41.296 71.0×10-40.002 6圖2參數(shù)的后驗(yàn)分布

Fig.2Posterior probability density5馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法

當(dāng)給定先驗(yàn)分布時(shí)，參數(shù)可以通過(guò)貝葉斯理論進(jìn)行更新，對(duì)于輸入?yún)?shù)的后驗(yàn)分布通常不能取得理論值，這時(shí)，后驗(yàn)分布就需通過(guò)隨機(jī)的方法產(chǎn)生隨機(jī)樣本。馬爾可夫鏈蒙特卡羅抽樣方法可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜模型貝葉斯公式的數(shù)值計(jì)算。MCMC方法的基本思想是建立一個(gè)進(jìn)行抽樣的馬爾可夫鏈，并最終趨于一個(gè)穩(wěn)定分析，通過(guò)馬爾可夫鏈獲得后驗(yàn)分布的隨機(jī)樣本，再利用蒙特卡羅法求相關(guān)值，如期望值、最大后驗(yàn)分布概率、置信區(qū)間等。這個(gè)方法目前常用于后驗(yàn)分布抽樣，也可應(yīng)用于非線性、參數(shù)高維、參數(shù)高度相關(guān)的模型分析，并可以獲得足夠多的樣本[10，16]，還并能有效處理大量的隨機(jī)參數(shù)，且不依賴于先驗(yàn)分布。MCMC采用的算法有適應(yīng)性Metropolis算法（Adapive metropolis）、延遲拒絕算法（Delayed rejection）、延遲拒絕適應(yīng)性算法（delayed rejection adaptive metropolis algorithm， DRAM）等。本文采用延遲拒絕適應(yīng)性算法（DRAM）[15]，其穩(wěn)定收斂速度快，適應(yīng)用性強(qiáng)，即使目標(biāo)分布偏離高斯分布很大時(shí)，DRAM也能夠獲得好的抽樣結(jié)果，目前，該算法在巖土工程領(lǐng)域應(yīng)用較少。DRAM 算法結(jié)合了延遲拒絕算法和適應(yīng)性Mertopolis算法的優(yōu)點(diǎn)，在抽樣過(guò)程中根據(jù)前面所得的抽樣結(jié)果不斷更新提議協(xié)方差，使其不斷逼近目標(biāo)分布函數(shù)。 Ci=C0i≤i0

sdcov（ζ0，…，ζi-1）+sdδIdi>i0 （12）式中：C0為初始協(xié)方差；sd為取決于空間維數(shù)的縮放因子，sd=2.42d[17]； cov（ζ0，…，ζi-1）為樣本協(xié)方差矩陣；Id代表d維單位矩陣；δ代表小常數(shù)，保證Ci為非奇異矩陣。

協(xié)方差矩陣表達(dá)式為cov（ζ0，…，ζk）=1k（ki=1ζiζTi-（k+1）kTk）（13）式中：k=1k+1ki=0ζi。

對(duì)于i>i0，將式（13）代入式（12），協(xié)方差滿足遞歸方程，即Cn+1=n-1nCn+sdn（nn-1Tn-1-

（n+1）nTn+ζnζTn+εId）（14）提出初始參數(shù)值ζ0，如果ζ（1）i被接受，此次接受概率公式為α1（ζi-1，ζ（1）i）=min1，p（θ（1）i|D）q1（ζ（1）i，ζi-1）p（ζi-1|D）q1（ζi-1，ζ（1）i）（15）式中：q1為第1次形成的分布。

如果ζ（1）i被拒絕，根據(jù)當(dāng)前值第2次迭代繼續(xù)，提議第2次分布q2，其接受概率為α2（ζi-1，ζ（2）i）=min1，p（ζ（2）i|D）q1（ζ（2）i，ζ（1）i）q2（ζ（2）i，ζ（1）i，ζi-1）p（ζi-1|D）q1（ζi-1，ζ（1）i）q2（ζi-1，ζ（1）i，ζ（2）i）

×[1-α1（ζ（2）i，ζ（1）i）][1-α1（ζi-1，ζ（1）i）]（16）式中：q2是第2次形成的分布。

這個(gè)程序可以不斷地迭代進(jìn)行，直至獲得足夠的抽樣樣本。

6置信區(qū)間分析

基于MCMC的土水特征曲線置信區(qū)間分析計(jì)算具體步驟：

1）確定土水特征曲線擬合參數(shù)向量ζ的先驗(yàn)分布p（ζ），假定隨機(jī)變量的先驗(yàn)分布為獨(dú)立對(duì)數(shù)分布，a均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.05和0.05；n均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.5和0.3；

2）根據(jù)土水特征曲線實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)確定似然函數(shù)p（D|ζ）；

3）以后驗(yàn)概率密度函數(shù)P（ζ|D）為目標(biāo)函數(shù)，采用延遲拒絕適應(yīng)性算法獲得隨機(jī)樣本；

4）刪除收斂前的參數(shù)樣本，將收斂后的樣本作為后驗(yàn)概率密度函數(shù)的樣本；

5）計(jì)算后驗(yàn)分布的置信區(qū)間。

考慮土水特征曲線擬合參數(shù)的不確定性，不同置信區(qū)間所對(duì)應(yīng)的水土特征曲線和相應(yīng)擬合參數(shù)可以用前述方法獲得。通過(guò)MCMC方法，在分布空間取樣，對(duì)樣本點(diǎn)建立迭代條件，抽取收斂于后驗(yàn)分布函數(shù)的樣本，獲得符合Van Genuchten模型的20 000個(gè)土水特征曲線樣本。圖3為產(chǎn)生參數(shù)a、n隨機(jī)變量樣本的時(shí)程變化圖。

圖3隨機(jī)樣本的時(shí)程變化圖

Fig.3Evolution processes of random samples去掉收斂前的3 000個(gè)樣本，將剩余的17 000個(gè)樣本作為后驗(yàn)分布樣本，即生成了17 000組模型參數(shù)[a，n]。所以，對(duì)于一個(gè)給定的基質(zhì)吸力，有17 000個(gè)相應(yīng)的飽和度。通過(guò)對(duì)這17 000個(gè)飽和度重新排列，可以獲得不同置信度的土水特征曲線和相關(guān)擬合參數(shù)。各置信度對(duì)應(yīng)的擬合參數(shù)值如表2所示。土水特征曲線的擬合參數(shù)a的置信區(qū)間范圍[0.009 3，0.036 1]，n的置信區(qū)間范圍[1.191 9，1447 2]，所得的參數(shù)可用于分析非飽和土工程的可靠度分析。百分點(diǎn)可用來(lái)表征擬合參數(shù)的置信區(qū)間，如50%置信區(qū)間為[25百分點(diǎn)，75百分點(diǎn)]，75%置信區(qū)間為[12.5百分點(diǎn)，87.5百分點(diǎn)]。不同置信區(qū)間對(duì)應(yīng)的土水特征曲線如圖4所示，圖中給定了不同置信區(qū)間的上下限。表2不同置信度百分點(diǎn)的擬合參數(shù)值

Table 2Fitting parameter for different

percentiles of SWCC samples百分點(diǎn)an2.50.036 11.447 250.032 11.416 712.50.027 11.375 9250.022 61.334 7750.013 81.247 187.50.011 71.223 5950.010 31.203 097.50.009 31.191 9圖4土水特征曲線的置信區(qū)間

Fig. 4Confidence intervals of SWCC7結(jié)論

根據(jù)貝葉斯理論框架，采用最大似然法，獲得花崗巖殘積土土水特征曲線的最優(yōu)值。建立了基于延遲拒絕自適應(yīng)（DRAM）算法的土水特征曲線參數(shù)估計(jì)方法，該算法具有很好的魯棒性和靈活性。通過(guò)對(duì)模型參數(shù)后驗(yàn)分布抽樣，采用后驗(yàn)分布的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)樣本可以對(duì)土水特征曲線的某一置信水平的區(qū)間進(jìn)行預(yù)測(cè)。融合馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法為巖土工程中各類模型參數(shù)優(yōu)選和不確定性分析提供有效手段。（致謝：感謝澳大利亞紐卡斯?fàn)柎髮W(xué)黃勁松教授對(duì)本文的指導(dǎo)和幫助。）

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