吳志超，程義斌，孫 波，郭寶才

(1. 浙江工商大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 310018； 2. 中國疾病預(yù)防控制中心環(huán)境與健康相關(guān)產(chǎn)品安全所，北京100021)

0 引言

總體參數(shù)的區(qū)間估計是統(tǒng)計推斷的一個重要內(nèi)容，已廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟與生產(chǎn)實踐.衡量置信區(qū)間的優(yōu)良性有兩個標(biāo)準(zhǔn)：置信水平和區(qū)間長度.給定置信水平，區(qū)間長度越短，參數(shù)估計精度就越高.傳統(tǒng)的區(qū)間估計是按概率對稱方法來選取的，即等尾置信區(qū)間.但對于偏態(tài)總體或偏態(tài)抽樣分布而言，等尾置信區(qū)間長度顯然不是最短的.有許多學(xué)者針對最短置信區(qū)間問題進行了相關(guān)研究.如文獻[1-3]對正態(tài)總體方差的最短置信區(qū)間進行了比較詳細的討論.王秀麗[4]介紹了均勻分布區(qū)間長度的最短置信區(qū)間.徐美萍等[5]對Weibull分布中尺度參數(shù)的最短置信區(qū)間問題進行了研究.李廣正[6]討論了兩正態(tài)總體方差比的最短置信區(qū)間問題.李云飛等[7]利用樣本分位數(shù)來構(gòu)造樞軸量，給出了雙參數(shù)指數(shù)分布的等尾置信區(qū)間.

Maxwell分布是可靠性統(tǒng)計和實踐中常見的壽命分布之一，制造行業(yè)、立式鏜床的使用壽命等均遵循該偏態(tài)分布，在統(tǒng)計動力學(xué)中也有諸多應(yīng)用.國內(nèi)學(xué)者對這一問題的研究比較少.桂春燕[8]給出了Maxwell分布的一些特性，但沒有討論參數(shù)估計的問題.王曉紅等[9]在文獻[8]的基礎(chǔ)上給出了Maxwell分布參數(shù)的極大似然估計和Bayes估計.文獻[10-13]構(gòu)建了統(tǒng)計質(zhì)量控制圖監(jiān)控Maxwell分布尺度參數(shù)的變化.

就筆者所知，還沒有文獻討論Maxwell分布參數(shù)的最短置信區(qū)間問題.本文將構(gòu)建樞軸量來計算Maxwell分布尺度參數(shù)的最短置信區(qū)間，并與傳統(tǒng)的等尾置信區(qū)間進行比較.最后用一個實例進行分析和說明.

1 Maxwell分布與樞軸量

若隨機變量X的概率密度函數(shù)為

則稱X服從參數(shù)為σ的Maxwell分布，記作X～Maxwell(σ).

引理1設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，那么σ2的極大似然估計為

(1)

引理2設(shè)總體X～Maxwell(σ)，那么X2/2σ2服從形狀參數(shù)為3/2、尺度參數(shù)為1的伽馬分布，即X2/2σ2～Gamma(3/2,1).

(2)

即T的概率密度函數(shù)為

(3)

本文將T用作樞軸量來求解σ2的置信區(qū)間.

2 等尾與最短置信區(qū)間

設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X～Maxwell(σ)的樣本，若統(tǒng)計量L(X1,X2,…,Xn)和U(X1,X2,…,Xn)滿足

P(L<σ2

(4)

則稱(L,U)為σ2的置信水平為1-α的置信區(qū)間.因為

所以式(4)等價于

(5)

2.1 等尾置信區(qū)間

(6)

由于樞軸量T的分布并不對稱，因此σ2的等尾置信區(qū)間長度不是最短的，從而精度也不是最高的.圖1表示在不同的n下樞軸量T的圖像.

圖1 不同樣本容量下樞軸量T的概率密度曲線Fig.1 Probability density curves of T under different values of n

2.2 最短置信區(qū)間

(7)

定理1設(shè)總體X服從Maxwell(σ)，X1,X2,…,Xn為來自該總體的樣本，條件極值問題(7)中的a,b應(yīng)滿足下列方程：

(8)

證明利用拉格朗日數(shù)乘法，令

H(a,b,λ)=1/a-1/b+λ[FT(b)-FT(a)-1+α]，

對a,b分別求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，有

于是

a2fT(a)=b2fT(b)=-1/λ.

(9)

將樞軸量T的概率密度函數(shù)fT(t)代入式(9),化簡得a1+3n/2e-a=b1+3n/2e-b，因此結(jié)論成立.

3 最短置信區(qū)間存在性和唯一性證明

3.1 最短置信區(qū)間的存在性證明

定理2Maxwell分布參數(shù)的最短置信區(qū)間存在.

令g′(w)=0，則有

其中w0=1+3n/2.即g(w)為單峰函數(shù)，當(dāng)0w0時，嚴(yán)格單調(diào)遞減，在w=w0處取得最大值.

因為

由中值定理知：必存在a=a*(0w0),則(a*,b*)必為方程組(7)的最優(yōu)解.證畢.

3.2 最短置信區(qū)間的唯一性證明

定理3Maxwell分布參數(shù)的最短置信區(qū)間是唯一的.

因為

a*2fT(a*)=b*2fT(b*)=-1/λ*>0，a*<3n/2+1

所以

同理，

4 計算結(jié)果與實例分析

4.1 計算結(jié)果

由于式(8)的復(fù)雜性，方程組沒有分析解.本文利用MATLAB來求方程組的數(shù)值解,樣本容量為n∈{2,3,…,20}，結(jié)果如表1所示.

表1 σ2最短置信區(qū)間的精度分析Tab.1 The accuracy analysis of the shortest confidence interval for σ2

由表1可觀察到，在同一置信水平下，最短置信區(qū)間的精度一致優(yōu)于傳統(tǒng)的等尾置信區(qū)間，特別是在小樣本情況下，提升效果更顯著.隨著樣本容量的增大，兩者的差異性越來越小.

4.2 實例分析

采用的實際數(shù)據(jù)來源于文獻[13].選取32個垂直鉆孔機數(shù)據(jù)，立式鏜床的故障時間(h)如下：2 802，2 937，2 136，4 359，4 020，1 781，2 816，2 655，3 886，2 296，3 158，3 695，4 155，3 811，2 380，376，2 172，3 705，2 848，4 339，2 076，2 672，3 632，1 976，1 700，1 596，1 701，3 575，3 802，4 351，4 291，808.

文獻[13]已證明Maxwell分布最適合此數(shù)據(jù).

兩者的絕對誤差為44 441.3，相對誤差為2.45%.最短置信區(qū)間明顯小于等尾置信區(qū)間，說明最短置信區(qū)間的精度更高.