四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 李瑤 張紅

數(shù)學(xué)任務(wù)框架案例分析與教學(xué)啟示—以一堂“‘邊邊角’能否判定三角形全等”公開課為例

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院(610068) 李瑤 張紅

1.問題提出

美國匹茲堡大學(xué)QUASAR(Quantitative Understanding: Amplifying Student Achivement)計(jì)劃的研究者將數(shù)學(xué)任務(wù)分為了高認(rèn)知水平的任務(wù)和低認(rèn)知水平的任務(wù),其中高認(rèn)知水平任務(wù)包括有聯(lián)系的程序型和做數(shù)學(xué);低認(rèn)知水平任務(wù)包括記憶型和無程序化,并建構(gòu)了數(shù)學(xué)任務(wù)框架(圖1),認(rèn)為在該框架的第三個(gè)階段(即任務(wù)實(shí)施階段)是對學(xué)生實(shí)際學(xué)到了什么有重要影響.[1]因此本文將結(jié)合具體的一堂課,利用數(shù)學(xué)任務(wù)框架,重點(diǎn)分析在任務(wù)實(shí)施階段教師如何引導(dǎo)學(xué)生完成教師組織的任務(wù).

圖1 數(shù)學(xué)任務(wù)框架

2.案例描述

“‘邊邊角’能否判斷三角形全等”是滬教版七年級下冊第十四章章末小結(jié)的一段閱讀材料,本堂課執(zhí)教的C老師工作已有10余年,對課堂有較好的把控能力,C教師主要采用了探究式教學(xué)展開本節(jié)課,通過布置一系列教學(xué)任務(wù)推進(jìn)整個(gè)課堂,從而讓學(xué)生在完成任務(wù)的過程中理解三角形全等判定的實(shí)質(zhì),了解作圖的重要性,并在此過程中滲透有序分類、交軌法求動(dòng)點(diǎn)的重要思想方法.

本節(jié)課,教師先從一道習(xí)題復(fù)習(xí)引入,幫助學(xué)生回顧了三角形全等的判定條件,并在這個(gè)過程中滲透分類討論要有序的思想,進(jìn)而自然引出今天的課題“‘邊邊角’能否判定三角形全等”;接著讓學(xué)生說明看了教材中的閱讀材料的收獲,并從師生之間的對話中,將判定三角形是否全等轉(zhuǎn)化為作圖是否只有一個(gè)三角形這樣一個(gè)問題;之后讓同學(xué)參與到作圖的過程中,并討論出在哪些情況“邊邊角”是可以判定三角形全等以及哪些情況不能判定.接下來,筆者將用“選擇性課堂實(shí)錄”[2]這種方法對課堂上老師教學(xué)的精彩片段進(jìn)行描述.

片段一:此片段是教師復(fù)習(xí)引入的階段,教師先在電子白板上展示出了一道習(xí)題(見圖2),以下記錄的是師生間的對話.

復(fù)習(xí)引入

如圖,如已知∠1=∠2,請?zhí)砑右粋€(gè)條件,使△ABC～=△ABD

圖2

老師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全等三角形的判定,那么接下來我們通過一道題來進(jìn)行一下復(fù)習(xí),首先來看這樣一道題目(教師將展示出的題目復(fù)述了一遍).同學(xué)們思考一下,待會(huì)請一些同學(xué)來回答.

(同學(xué)們思考2分鐘左右)

老師:來,A同學(xué)你來說說你是怎么做的.

生A:嗯,可以添加∠3= ∠4,這樣的話就可以用ASA(角邊角).

老師:好,用ASA這樣的方式來判定.(教師在黑板上寫下學(xué)生的做法),還有其他的方法嗎?

生A:還有的話∠C=∠D也可以,那樣就是AAS(角角邊).

老師:哦,∠C=∠D,用的AAS(教師在黑板上寫下生A所說的).

生A:還有BC=BD也行,這個(gè)時(shí)候用的是SAS(邊角邊).

老師:哦,BC=CD也可以,用的是SAS.好,你請坐,那么應(yīng)該在這里呢,首先表揚(yáng)一下A同學(xué),為什么?他在這里回答非常有序.我們可以看到,在這道題目已知的題目是哪幾個(gè)呢?

大部分同學(xué):∠1=∠2,AB=AB.

老師:對,∠1=∠2,AB=AB,也就是說知道一邊一角的情況下,可以添加什么條件來判定三角形全等呢?

少部分同學(xué):可以添加一角或一邊

老師:可以添加一邊或者一角,添加角的時(shí)候,因?yàn)橐呀?jīng)知道了∠1=∠2,那么可以再添加∠3=∠4或者∠C=∠D,所以我們可以發(fā)現(xiàn)剛剛C同學(xué)在討論的時(shí)候很有序,因此我們在討論一些問題的時(shí)候要注意有序分類,做得非常好.好,然后第三種想到了可以填一個(gè)邊,那么可以怎么添加呢?

大部分學(xué)生:可以填BC=CD

老師:對,添加BC=CD,用的是SAS.那么老師有個(gè)疑問了,若添加AC=CD可以嗎?

生B:(小聲的嘟囔著)AC=AD不可以

老師:B同學(xué)你是怎么想的呢?來說說你的想法.

生B:因?yàn)槿绻梢缘脑?就是用的SSA(邊邊角)的方法,SSA不可以判定

老師:好,我們學(xué)習(xí)的判定方法只有四種,特意強(qiáng)調(diào)了沒有SSA,那么老師有一個(gè)問題了,SSA在任意條件下總是不成立嗎?帶著這個(gè)問題開始我們今天的學(xué)習(xí),題目就是《“邊邊角”能否判定三角形全等》.

片段二:此片段是教師讓學(xué)生閱讀課教材上的閱讀材料之后展開的一系列對話,目的在于提出用作圖的方法解決三角形全等的判定問題.

老師:在課前老師已經(jīng)讓同學(xué)們預(yù)習(xí)了閱讀材料,那么接下來請同學(xué)們來談?wù)勀汩喿x完了之后的體會(huì)是什么?或者說你發(fā)現(xiàn)其中的主要內(nèi)容是什么?能不能用簡要的語言來概括一下.誰來說說看?好,C同學(xué),你來說一說

生C:我讀完材料之后發(fā)現(xiàn),SSA一般來說是不能判定三角形全等的但是在一些特殊的情況下是可以的.

老師:你給我們具體說說呢?

生C:取決于頂點(diǎn)的個(gè)數(shù),如果只能畫一個(gè)頂點(diǎn)就可以,否則就不可以.

老師:你是通過畫圖來做的.

生C:嗯,是的.

老師:具體怎么畫的,你說說,

生C:就是先固定三角形的兩個(gè)定點(diǎn),只要在通過條件畫第三個(gè)頂點(diǎn)就可以了.

老師:好的,那么剛剛C同學(xué)講到了他從閱讀材料中知道了通過固定兩點(diǎn)在畫第三個(gè)頂點(diǎn),根據(jù)畫的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定是否全等的.也就是說我們現(xiàn)在把判定三角形是否全等轉(zhuǎn)化為作圖判斷頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題了.

片段三此片段是為了加深學(xué)生們對閱讀材料的理解而掌握具體作圖方法

圖3

圖4

課前作業(yè):閱讀材料P116-117內(nèi)容,畫圖并思考:已知線段c,及角α(0°≤α≤90°),畫出△ABC使AB=c,∠A=α,BC=a線段a的長度取何值時(shí)時(shí),能且只能畫出一個(gè)△ABC?

老師:課前老師布置的習(xí)題同學(xué)們也都做了,老師收上來看了之后發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)對閱讀材料介紹的作圖方法理解還是不夠,這堂課咱們就將作圖進(jìn)行到底.先重新審一下題,首先第一個(gè)問題,老師想要問大家的是,AB=c,∠A=α,BC=a,也就是這個(gè)問題中出現(xiàn)的三個(gè)元素邊c,角α,邊a,用這三個(gè)量畫出的三角形中邊c和邊a以及角α之間有什么位置關(guān)系呢?好,D同學(xué)你來說說看.

生D:我發(fā)現(xiàn)了a和c相鄰的邊,α是邊a的對角

老師:好,也就是你發(fā)現(xiàn)給出的三個(gè)元素之間是SSA的關(guān)系.那么在圖中(見圖4)如果我要畫出邊AB應(yīng)該怎么做呢?

生D:邊c就是邊AB,c的長度知道,A又是固定的,B點(diǎn)可以確定.

老師:那么如何確定△ABC呢?

生D:只需要再確定C點(diǎn)就可以了.

老師:好,請坐.那么問題又來了,C點(diǎn)具有怎樣的特征.(讓學(xué)生思考一會(huì))好,E同學(xué)你來說一下.

生E:我覺得C點(diǎn)一定會(huì)在射線AF上

老師:嗯,對,還有嗎?

生E:…….

老師:仔細(xì)觀察,已知條件還有什么沒用到.

生E:BC=a,哦,我知道了,C點(diǎn)在一個(gè)圓上.

老師:在什么圓上?圓心和半徑是什么?

生E:在以B為心,a為半徑的圓上.

老師:也就是C點(diǎn)應(yīng)該滿足兩個(gè)條件,在以B為心,a為半徑的圓上,還要在射線AF上,那么特征找到了,我們怎么來畫圖呢?

生E:就應(yīng)該在以B為心,a為半徑的圓與射線AF的交點(diǎn)上.

老師:對了,就是在以B為心,a為半徑的圓與射線AF的交點(diǎn)上.

3.案例分析

本節(jié)課的課題是在教材的閱讀材料中給出的,在閱讀材料中通過一個(gè)利用“邊邊角”條件但可以做出兩個(gè)不全等三角形的例子說明“邊邊角”不能作為判定三角形全等的條件,接著,再給出三角形兩邊以及一邊的對角的條件下來討論如何畫出符合條件的三角形,最后,總結(jié)出利用“邊邊角”畫圖的關(guān)鍵;C老師對本節(jié)課內(nèi)容的處理和教材的處理方式大同小異,是對教材內(nèi)容的一種推進(jìn),教學(xué)過程中,重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生將三角形全等的判定轉(zhuǎn)化為作圖問題,并讓參與到具體畫圖的過程中,通過師生對話以及學(xué)生間相互補(bǔ)充從而讓學(xué)生更加明確判定三角形全等的作圖方法.

“QUASAR計(jì)劃”研究者認(rèn)為在任務(wù)實(shí)施階段,學(xué)生和教師都被認(rèn)為是任務(wù)實(shí)施的重要貢獻(xiàn)者,盡管學(xué)生的認(rèn)知參與程度最終決定他學(xué)了什么,但教師對學(xué)生思維和推理的支持方式和程度是決定高水平任務(wù)的重要因素.[1]可見教師在課堂的引導(dǎo)是多么的重要.而在本堂課中,整個(gè)課堂是以教師布置教學(xué)任務(wù),學(xué)生完成任務(wù)的方式進(jìn)行的,教學(xué)中,當(dāng)學(xué)生回答正確時(shí)教師也要求學(xué)生闡明理由并給予肯定;在學(xué)生沒有回答出正確答案的時(shí)候,老師給予引導(dǎo)時(shí)所給出的提示并沒有降低任務(wù)的認(rèn)知水平,更沒有馬上就直接告知正確答案,整個(gè)課堂做到了邏輯清晰、有條不紊,都體現(xiàn)除了老師對課堂的良好的把控能力.總體上看,筆者認(rèn)為教師確實(shí)起到了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的重要作用,而學(xué)生真正成了學(xué)習(xí)的主體.接下來,筆者將具體從以下幾個(gè)方面分析本堂課的出色之處:

(1)選擇高認(rèn)知水平有聯(lián)系程序型任務(wù)而非低認(rèn)知水平簡單記憶型任務(wù).在片段一中,復(fù)習(xí)引入時(shí),C教師并不是機(jī)械的讓學(xué)生回憶三角形全等的判定條件,而是利用一道半開放的習(xí)題來讓學(xué)生復(fù)習(xí)前兩節(jié)課所學(xué)的三角形判定條件,這個(gè)任務(wù)是屬于高認(rèn)知水平任務(wù)中的有聯(lián)系程序型,它需要學(xué)生具有較高的認(rèn)知要求,對學(xué)生來說也是具有一定挑戰(zhàn)性的,并且可以幫助教師檢驗(yàn)和學(xué)生自己鞏固所學(xué)的知識.

(2)留給學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎嫉臅r(shí)間,給予學(xué)生思維發(fā)展的機(jī)會(huì).在片段二中,由于閱讀材料中的內(nèi)容學(xué)生掌握起來有難度,所以教師提前讓學(xué)生閱讀了教材中的材料,讓學(xué)生有適當(dāng)?shù)臅r(shí)間去思考和理解閱讀材料中的作圖方法.同時(shí)讓學(xué)生通過完成課前作業(yè)來實(shí)際運(yùn)用材料中的作圖方法,因?yàn)樽鲌D對于初一學(xué)生來說是有難度的、富有挑戰(zhàn)的,如果直接讓學(xué)生在課堂上進(jìn)行畫圖,可能會(huì)因?yàn)闀r(shí)間的限制而阻礙學(xué)生思維的發(fā)展.

(3)引導(dǎo)過程給學(xué)生搭建思維的“腳手架”.教師通過不斷追問的方式為學(xué)生搭建思維的“腳手架”從而來引導(dǎo)學(xué)生完成設(shè)置的數(shù)學(xué)任務(wù),加強(qiáng)對知識本質(zhì)的理解.比如在片段三中,開始學(xué)生D是沒有想到確定△ABC其實(shí)只需要確定A、B、C三個(gè)點(diǎn)即可,可是在老師的不斷追問下明確了確定△ABC的本質(zhì).另外生E也在老師的一步步引導(dǎo)下知道了確定點(diǎn)C的方法.并且我們可以看到,教師在引導(dǎo)學(xué)生的過程中,并沒有直接告訴學(xué)生結(jié)果,因此,并沒有降低原本設(shè)置的任務(wù)的認(rèn)知水平.在遇到學(xué)生難以完成的教學(xué)任務(wù)時(shí),教師給學(xué)生搭建思維的“腳手架”也是幫助他們完成數(shù)學(xué)任務(wù)十分重要的一種方法.

(4)在教學(xué)過程中有意識的給學(xué)生滲透重要的數(shù)學(xué)思想和方法.在片段一中,學(xué)生在解決添加什么條件能夠判定三角形全等的教學(xué)任務(wù)中,給學(xué)生滲透分類討論要有序的思想.在片段三中,引導(dǎo)生E確定點(diǎn)C位置的過程中也有意識的向?qū)W生滲透交軌法的思想.而這些思想方法為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)也是十分重要的.

4.小結(jié)

本堂課C教師以教學(xué)任務(wù)為核心展開教學(xué),在學(xué)生完成教學(xué)任務(wù)的過程中,老師扮演了一個(gè)組織者和引導(dǎo)者的角色,真正體現(xiàn)了教師是教學(xué)的主導(dǎo),學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.可是,“QUASAR計(jì)劃”的研究者發(fā)現(xiàn),一旦教師組織的任務(wù)進(jìn)入課堂,就會(huì)有許多的因素導(dǎo)致任務(wù)的認(rèn)知水平降低,所以,教師在這個(gè)過程的正確引導(dǎo)就十分重要,這也是我們每個(gè)教育研究者需要學(xué)習(xí)和研究的問題.

[1][美]Stein M.k.等,李忠如譯.實(shí)施初中課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例[M].上海:上海教育出版社,2001.

[2]鮑建生.學(xué)會(huì)觀察學(xué)會(huì)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2003.6

[3]楊文萍,陳鏗.一堂優(yōu)秀“平面”課的實(shí)錄分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2013.3.