廣東省東莞市寮步鎮(zhèn)香市中學(xué)(523400) 柯偉賢

明道 優(yōu)術(shù) 踐行—關(guān)于在坐標(biāo)系中求解三角形面積基本方法的探究

廣東省東莞市寮步鎮(zhèn)香市中學(xué)(523400) 柯偉賢

在平面直角坐標(biāo)系中求解三角形的面積是學(xué)習(xí)函數(shù)過程中常遇見的問題,也是歷年中考常見的題型,這類問題的難度往往較大,學(xué)生常常因?yàn)闆]有掌握解決這類問題的基本方法,從而導(dǎo)致無法快速地解題或者直接無從下手.那么該如何有效地解決在函數(shù)問題中求解三角形的面積問題呢?本文就是針對這個(gè)問題對在坐標(biāo)系中求解三角形面積進(jìn)行了探究,給出了解決這一類問題的基本方法.

1 提煉解題題型,明思維之道

“明”即明白、懂得,“道”即規(guī)律、原則.“明道”即明白原則,掌握規(guī)律.“明道”要求教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)出“心憤口悱”的思維情景,讓學(xué)生得到“舉一反三”的解決問題的方法,因此問題題型的設(shè)計(jì)至關(guān)重要.

在問題解決的過程中,常常遇到一些對于解決問題有技術(shù)支撐的有效的基本思路,基本方法或基本結(jié)論,并且這些思路、方法、結(jié)論對這一類問題有幫助,則可以稱之為“基本題型”,關(guān)于在坐標(biāo)系中探究求解三角形面積的基本方法,這里選擇了以下這四道題型.

例1.1 如圖1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)求S△OAB=?

例1.2 如圖2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,?1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1),求S△ABC=?

例1.3 如圖3,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?1,?2),線段AB交x軸,y軸于點(diǎn)D(1,0),C(0,?1),求S△OAB=?

分析:△OAB的三邊都沒有落在坐標(biāo)軸上,也沒有像例2一樣有平行于坐標(biāo)軸的邊,那該怎么辦呢?

圖1

圖2

圖3

圖4

當(dāng)然也可以選擇頂點(diǎn)O過y軸把△OAB分成兩個(gè)小三角形△OBC和△OAC,而這兩個(gè)小三角形的公共邊OC恰好落在x軸上,所以.

例1.4 如圖4,直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)C(2,3)是直線y=x+1上的一個(gè)點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),求S△ABC=?

分析:△ABC三邊都沒有落在坐標(biāo)軸上,仿照例3選擇合適的頂點(diǎn)把三角形進(jìn)行分割,但是新的問題又來了,這個(gè)圖不可以象例3那樣可以通過x軸或者y軸把三角形分成兩個(gè)小三角形,那又該怎么辦呢?

圖5

這四道基本題型的設(shè)計(jì)由簡單到復(fù)雜,包括了在坐標(biāo)系中求解三角形面積的多種情況,學(xué)生可以由淺入深地進(jìn)行學(xué)習(xí),理解解決這一類問題的基本套路.讓原本比較復(fù)雜的一類問題化歸為同一種方法,從而使這一類問題變得有法可依.

2 形成解題技巧,優(yōu)問題之術(shù)

“優(yōu)術(shù)”即提升方法、技藝的水平,積累實(shí)用的策略,總結(jié)經(jīng)驗(yàn)并從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.“優(yōu)術(shù)”是“明道”后轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法,這需要?dú)w納總結(jié)探究過程中的經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化解決問題的思路,形成解題技巧.

通過以上例題的學(xué)習(xí),我們發(fā)現(xiàn)在坐標(biāo)系中求解三角形面積的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)倪呑鳛槿切蔚牡?因此可以得出在坐標(biāo)系中求解三角形面積的基本方法是:當(dāng)三角形有一邊在落坐標(biāo)軸上(或者有一邊平行于坐標(biāo)軸),則以這條邊為底邊,當(dāng)三角形沒有邊落在坐標(biāo)軸上(或者沒有邊平行坐標(biāo)軸)時(shí),則應(yīng)該選擇合適的頂點(diǎn)過坐標(biāo)軸(或者是過頂點(diǎn)作平行坐標(biāo)軸的直線)把三角形分割成兩個(gè)有公共邊的小三角形,利用兩個(gè)小三角形的面積之和求解原三角形的面積.

優(yōu)術(shù),還在于教師要引領(lǐng)學(xué)生反思思維過程,優(yōu)化解題方法.以上的四道基本題型中我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)三角形沒有邊落在坐標(biāo)軸上(或者沒有邊平行坐標(biāo)軸)時(shí),當(dāng)選擇合適的頂點(diǎn)過坐標(biāo)軸(或者是過頂點(diǎn)作平行于坐標(biāo)軸的直線)把三角形分割成有公共邊的兩個(gè)小三角形,那么這個(gè)三角形的面積與這兩個(gè)小三角形的公共邊有什么關(guān)系呢?接下來進(jìn)一步探討以下這個(gè)基本圖型.

圖6

圖7

如圖6,△ABC沒有邊落在坐標(biāo)軸上,選擇過B點(diǎn)作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)D,直線BD把△ABC分成兩個(gè)△ABD和△CBD,公共邊BD,,由此得到

當(dāng)然,如圖7,我們也可以選擇過C點(diǎn)作平行x軸的直線交AB于點(diǎn)E,由此得到

由此我們可以進(jìn)一步優(yōu)化在坐標(biāo)系中求解三角形面積基本方法,如果三角形沒有邊落在坐標(biāo)軸上(或者沒有邊平行于坐標(biāo)軸)時(shí),則應(yīng)該選擇合適的一頂點(diǎn)過坐標(biāo)軸(或者是過頂點(diǎn)作平行于坐標(biāo)軸的直線)把三角形分割成兩個(gè)有公共邊的小三角形,當(dāng)直線在x軸上或平行于x軸,則三角形的面積=×公共邊×另外兩個(gè)點(diǎn)的垂直距離(即大縱坐標(biāo)?小縱坐標(biāo)).若這條直線在y軸上或平行于y軸,則三角形的面積=×公共邊×另外兩個(gè)點(diǎn)的水平距離(即大橫坐標(biāo)?小橫坐標(biāo)).

3 追求解題效率,踐方法之行

“踐行”就是積極實(shí)踐各種理論和方法,學(xué)以致用.形成解題技巧后,就要在行動(dòng)中考查方法的適用性和實(shí)用性,以提高解題的效率.經(jīng)歷以上的兩個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)掌握了在函數(shù)中求解三角形面積的基本方法,接下來將精選歷年的幾道中考題,通過讓踐方法之行這個(gè)環(huán)節(jié),學(xué)生學(xué)會(huì)知行合一,學(xué)以致用,提高解決這一類問題解題速度和解題質(zhì)量.

例3.1(2013·浙江嘉興)如圖,一次函數(shù)y=kx+1(k0)與反比例函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)A(1,2).直線l⊥x軸于點(diǎn)N(3,0),與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)B,C.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;

(2)求△ABC的面積?

分析:(2)求△ABC的面積,觀察發(fā)現(xiàn)△ABC的一邊BC平行y軸,因此選擇BC為底.

例3.2 (2015四川省巴中市)如圖9,在平面直角坐標(biāo),一次函數(shù)y1=ax+b(a,b為常數(shù),且a0)與反比例函數(shù)(m為常數(shù),且m0)的圖象交于點(diǎn)A(?2,1)、 B(1,n).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

(2)連接OA、OB,求△AOB的面積;

圖8

圖9

圖10

圖11

例3.4 (2012·黔東南州)如圖10,已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(?1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)(不與B,C重合),過M作MN//y軸交拋物線于N,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請用m的代數(shù)式表示MN的長.

(3)在(2)的條件下,連接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面積最大?若存在,求m的值;若不存在,說明理由.

分析:(3)如圖11,求△BNC的面積,直線MN//y軸交BC于點(diǎn)M,把△BNC分成△CMN和△BMN,線段BC為公共邊,所以S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN·(xB?xC)

解:(1)拋物線的解析式y(tǒng)=?x2+2x+3

已知點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)為m,則M(m,?m+3)、N(m,?m2+2m+3);故MN=?m2+2m+3?(?m+3)=?m2+3m(0＜m＜3)

(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);

(2)設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn),當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

圖13

“不憤不悱,不啟不發(fā)”,通過以上“明道、優(yōu)術(shù)、踐行”這三個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生很好地掌握了在坐標(biāo)系中求解三角形面積的基本方法,對這一類問題的解決獲得了實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn),提高了解決這一類問題的速度,增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,而這一類問題的學(xué)習(xí)過程和方法對其他問題的學(xué)習(xí)也有很好地促進(jìn)作用.

[1]章建躍.數(shù)學(xué)教學(xué)中的取勢明道優(yōu)術(shù).中學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)[J].2013(4):編后漫談

[2]卜以樓.取勢明道優(yōu)術(shù)—初中函數(shù)圖象的教學(xué)分析和思考.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考[J].2015(10):13-15