山東 尹承利

題組變式訓(xùn)練(二)
——數(shù)學(xué)文化高考訓(xùn)練題

【編者按】2016年9月26日，教育部考試中心下發(fā)《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，公布了2017年各學(xué)科高考大綱的主要修訂內(nèi)容.數(shù)學(xué)考綱最大的變化就是第一次明確地提出在高考數(shù)學(xué)中考查數(shù)學(xué)文化.一時間，“數(shù)學(xué)文化怎樣考”成為2017屆師生關(guān)注的話題.為此，本刊特歸納一組《數(shù)學(xué)文化高考訓(xùn)練題》，以助力2017屆師生復(fù)習(xí)備考.

【函數(shù)、不等式】

1.“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”——這說明同一事物從不同角度看，我們會有不同的認(rèn)識.在數(shù)學(xué)解題活動中，倘若能恰當(dāng)?shù)馗淖兎治鰡栴}的角度，往往會有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的豁然開朗之感.請閱讀以下問題及其解答：

問題：對任意a∈[-1,1]，不等式x2+ax-2≤0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

解：令f(a)=xa+(x2-2)，則對任意a∈[-1,1]，不等式x2+ax-2≤0恒成立，

類比其中所用的方法，可解得函數(shù)g(x)=2x3-ax2-8x-(a2+4a)(a<1)的零點為________.

【數(shù)列與推理】

1.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：

第二步：將數(shù)列①的各項乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.

則a1a2+a2a3+…+an-1an等于

( )

A.n2B.(n-1)2

C.n(n-1) D.n(n+1)

2.(2012·山東模擬)將石子擺成如圖的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為梯形數(shù)，根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 012項與5的差即a2 012-5=

( )

A.2 018×2 012 B.2 018×2 011

C.1 009×2 012 D.1 009×2 011

3.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.如圖，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的正方形數(shù)都可以看作兩個相鄰的三角形數(shù)之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式是

( )

①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36.

A.①④ B.②⑤ C.③⑤ D.②③

4.欣賞中國古代數(shù)學(xué)詩(明朝·程大位作)：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增.共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？則該塔塔頂有________盞燈.

5.《九章算術(shù)》之后，人們進(jìn)一步用等差數(shù)列求和公式來解決更多的實際問題，《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計)，共織390尺布”，則每天比前一天多織( )尺布.(不作近似計算)

( )

6.下表中數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，其特點是每行、每列都是等差數(shù)列，則表中數(shù)字206共出現(xiàn)________次.

23456…357911…47101316…59131721…611162126…………………

7.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如下圖①②③④是她們刺繡的最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個圖形包含的小正方形個數(shù)為f(n)，

則(Ⅰ)f(n)-f(n-1)=________(n≥2,n∈N)；

(Ⅱ)f(2 015)-f(2 013)=________.

8.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第1個格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外跳到第8個格子的方法數(shù)為

( )

A.8 B.13 C.21 D.34

9.第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽圖案是由下圖中一串直角三角形演化而成的，其OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，記OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的長度所成的數(shù)列為{an}(n∈N*,1≤n≤8).

(1)寫出數(shù)列{an}的通項公式；

(2)如果把圖中的直角三角形繼續(xù)作下去，那么OA2018的長為多少？

10.(2013·湖北文)在平面直角坐標(biāo)系中，若點P(x,y)的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點三角形，對應(yīng)的S=1，N=0，L=4.

(1)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S,N，L分別是 ；

(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數(shù).若某格點多邊形對應(yīng)的N=71，L=18， 則S=________(用數(shù)值作答).

【立體幾何】

1.(2016·黃岡中學(xué)模擬)《九章算術(shù)》商功章有題：一圓臺形谷倉，谷倉口直徑為六尺，谷倉底直徑為一丈八尺，谷倉高一丈八尺，若谷倉屯米高九尺，則谷倉屯米約為( )斛.(1斛≈1.62立方尺，1丈=10尺，π≈3)

A.650 B.950 C.1 950 D.2 850

2.如圖，取一個底面半徑和高都為R的圓柱，從圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐，把所得的幾何體與一個半徑為R的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截這兩個幾何體，截面分別為圓面和圓環(huán)面(圖中陰影部分).設(shè)截面面積分別為S圓和S圓環(huán)，那么

( )

A.S圓>S圓環(huán)B.S圓=S圓環(huán)

C.S圓

【概率、統(tǒng)計】

1.(2012·湖北·13)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3 443，94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99；3位回文數(shù)有90個：101，111,121，…，191，202，…，999.

(1)4位回文數(shù)有________個；

(2)2n+1(n∈N*)位回文數(shù)有________個.

2.如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形的數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，…，記這個數(shù)列的前n項和為S(n)，則S(16)等于

( )

A.144 B.146 C.164 D.461

3.(2007·湖南)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的01三角數(shù)表.

第1行________ 1 1

第2行 1 0 1

第3行 1 1 1 1

第4行 1 0 0 0 1

第5行 1 1 0 0 1 1

…________… …

從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第________行；第61行中1的個數(shù)是________.

5.如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的S為

( )

A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值

B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值

C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值

D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值

參考答案與提示

【函數(shù)、不等式】

【數(shù)列與推理】

3.【解析】這些三角形數(shù)依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形數(shù)是三角形數(shù)中相鄰兩數(shù)之和，易得15+21=36,28+36=64，只有③⑤是對的.故選C.

6.【解析】第i行第j列的數(shù)記為Aij.那么每一組i與j的解就是表中一個數(shù).因為第一行數(shù)組成的數(shù)列A1j(j=1，2，…)是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以A1j=2+(j-1)×1=j+1.所以第j列數(shù)組成的數(shù)列Aij(i=1，2，…)是以j+1為首項，公差為j的等差數(shù)列.所以Aij=(j+1)+(i-1)×j=ij+1.令A(yù)ij=ij+1=206，即ij=205=1×205=5×41=41×5=205×1，所以，表中206共出現(xiàn)4次.

7.【解析】(Ⅰ)根據(jù)前面四個發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

f(2)-f(1)=4×1，

f(3)-f(2)=4×2，

f(4)-f(3)=4×3，

…

f(n)-f(n-1)=4(n-1)(n≥2,n∈N).

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，f(2 015)-f(2 014)=4×2 014，

f(2 014)-f(2 013)=4×2 013，

故f(2 015)-f(2 013)=f(2 015)-f(2 014)+f(2 014)-f(2 013)=4×2 014+4×2 013=16 108.

8.【解析】設(shè)跳到第n個格子的方法種數(shù)有an，則到達(dá)第n個格子的方法有兩類：

①向前跳1格到達(dá)第n個格子，方法種數(shù)為an-1；

②向前跳2格到達(dá)第n個格子，方法種數(shù)為an-2，則an=an-1+an-2，由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的前8項分別是1，1，2，3，5，8，13，21.

10.【解析】(1)觀察圖形，可得S=3,N=1,L=6.

【立體幾何】

【概率、統(tǒng)計】

1.【解析】從左右對稱入手考慮.

(2)首位和末位不能取0，有9種選法，其余各位關(guān)于中間數(shù)對稱，每兩數(shù)都有10種選法，中間數(shù)也有10種選法.故2n+1(n∈N*)位回文數(shù)有9×10n個.

3.【解析】由圖3知第1，3，7行的數(shù)全為1，歸納猜想可知第n次全行的數(shù)都為1的是第2n-1行；由此知第63行全是1，則第62行是1010…101，是1，0相間，第61行是11，00，…，11是兩個1，兩個0相間，共有32個1.